1、教案5：定比分點與向量中常見的結論一、課前檢測1.（豐臺一模理6）在平面直角坐標系中作矩形,已知,則·的值為（ D ）（A）0 （B）7 （C）25 （D）2.（宣武一模理4）已知兩個向量a=（1，2），b=（x，1），若（a+2b）/（2a 2b），則x的值是（ C ）A.1 B.2 C. D.3.設向量，則“”是“”的（ A ）（A）充分但不必要條件 （B）必要但不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件二、知識梳理1.線段定比分點公式：如圖，設. （注：）1）則定比分點向量式：2）定比分點坐標式：設P（x,y）（分點），P1（x1,y1）（起點），P2（x2,y2）

2、（終點）。則特例：當=1時，就得到中點公式： ，實際上，對于起點相同，終點共線三個向量，（O與P1P2不共線），總有=u+v，u+v=1，即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量，且系數和為1。 ？（三角形內角平分線定理）解讀：2.設、不共線，點P在AB上，則=+且+=1，、R.，不共線，若=+，且+=1，R，R，求證：A、B、P三點共線.提示：證明與共線.當=時，=（+），此時P為AB的中點，這是向量的中點公式.解讀：3已知向量起點與終點坐標，求向量的坐標：向量坐標與點坐標的關系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若A(x，y)，則=（x,y）；當向量起點不在原點時，向量坐

3、標為終點坐標減去起點坐標，即若A（x1,y1）、B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)解讀：4.向量模的坐標形式：=;解讀：5.求向量的夾角：cos=注：為銳角,不同向；為直角；為鈍角,不反向.解讀：6.平面兩點間的距離公式：已知A（x1,y1）、B（x2,y2）=解讀：7.與向量同向的單位向量：；與向量平行的單位向量：。與向量平行的單位向量為：與向量垂直的單位向量為：。解讀：8.三角形的五個“心”：重心：三角形三條中線交點.外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內心：三角形三內角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.旁心：三角形一內角的平分線與另兩條內角的外角平分線

4、相交一點.解讀：9.三角形中向量性質： 1）過邊的中點.2）； 為的重心； 為的垂心； 為的內心；所在直線過內心.解讀：10.（1）；（2）.但可以推出：。解讀：11.三角形重心坐標公式：ABC的頂點，重心坐標：注意：在ABC中，若0為重心，則，這是充要條件.解讀：12.三角形五“心”向量形式的充要條件設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內心.（5）為的的旁心.解讀：13.設、是平面內不共線的兩向量，若，則。解讀：14.設、是平面內不共線的兩向量，解讀：15.不共線向量無除法運算。解讀：16.首尾相接的向量之和：解讀：17.在ABC

5、中，解讀：18.直線的方向向量有無數個。其中，（1，k）與是較特殊的兩個。為直線的傾斜角、k為直線的斜率。解讀：19.重要結論：1），則三點、P、Q共線。2）若點P為AB的中點。解讀：20.四邊形中的向量問題：1）平行四邊形兩對角線的平方之和等于四邊平方之和。即2）在四邊形ABCD中，若四邊形ABCD為平行四邊形。注：若在平面中，若，則推不出ABCD為平行四邊形，有可能四點共線。3）在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD為菱形。4）在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD為菱形。5）在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD為梯形。6）在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD為矩形。7

6、）在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD為矩形。解讀：三、典型例題分析例1 已知A（-1，2），B（2，8），= ，= -，求點C、D和向量的坐標分析：待定系數法設定點C、D的坐標，再根據向量 ， 和 關系進行坐標運算，用方程思想解之解：設C、D的坐標為、，由題意得=（），=（3，6）， =（），=（-3，-6） 又= ，= - （）=（3，6）， （）=-（-3，-6） 即 ()=(1,2) ， ()=(1,2)且，且 且 ，且 點C、D和向量 的坐標分別為（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）小結：本題涉及到方程思想，對學生運算能力要求較高變式訓練1 已知點，點在線段的中垂線

7、上，則點的橫坐標的值是（ ）A. B. C. D. 小結與拓展：例2 已知一個平行四邊形的頂點，對角線的交點為，則它的另外兩個頂點的坐標為 變式訓練2 已知P1(3,2)，P2（8，3），若點P在直線P1P2上，且滿足|P1P|=2|PP2|，求點P的坐標。錯解：由|P1P|=2|PP2|得，點P 分P1P2所成的比為2，代入定比分點坐標公式得P（）錯因：對于|P1P|=2|PP2|這個等式，它所包含的不僅是點P為 P1，P2 的內分點這一種情況，還有點P是 P1，P2的外分點。故須分情況討論。正解：當點P為 P1，P2 的內分點時，P 分P1P2所成的比為2，此時解得P（）； 當點P為 P1

8、，P2 的外分點時，P 分P1P2所成的比為-2，此時解得P（13，4）。 則所求點P的坐標為（）或（13，4）。點評：在運用定比分點坐標公式時，要審清題意，注意內外分點的情況。也就是分類討論的數學思想。變式訓練3 若點分所成的比為，則分所成的比為（ ）A. B. C. D. 變式訓練4 設線段的長為5cm，寫出點分有向線段所成的比為（1）點在線段上，則=_.（2）點在的延長線上，則=_.（3）點在的反向延長線上，則=_.小結與拓展：例3 已知三角形的三個頂點為，（1）求三邊的長；（2）求邊上的中線的長；（3）求重心的坐標；（4）求的平分線的長；（5）在上取一點，使過且平行于的直線把的面積分成的兩部分，求點的坐