1、雙曲線解答題52 280、設(shè)雙曲線 篤一與=1(a>0,b>0)上一點M(xo,yo),左、右焦點為Fi、F2,離心 a b率為e,記r|MF, ,r2 = MF2| ,求證該雙曲線的焦半徑公式是：ri= a +ex；3, r2 = a ex381、求證：以雙曲線焦半徑為直徑的圓，必與以雙曲線實軸為直徑的圓相切82、求證：等軸雙曲線上任一點到中心的距離是這點到兩個焦點的距離的比例 中項83、 已知雙曲線的焦點為Fi、F2( F1F2 = 2c),實軸長為2a試證明：平面內(nèi)到兩 焦點Fi、F2的距離的平方差的絕對值等于(2a)2的點的軌跡是已知雙曲線的兩條 準(zhǔn)線84、等軸雙曲線的頂點

2、A,平行于實軸的弦MN,求證： AMN是直角三角形.85、 求證：雙曲線上任一點到兩條漸近線的距離的積等于定值.2 286、經(jīng)過雙曲線y 1的右焦點F的直線丨與一條漸近線丨1垂直于A，交8 16另一條漸近線丨2于B，求證：線段AB被雙曲線的左準(zhǔn)線平分。2 287、已知雙曲線C:篤-爲(wèi) JF1、F2分別是它的左右焦點 拋物線I的焦點與a bC的右焦點重合,l的準(zhǔn)線與C的左準(zhǔn)線重合,P是C和I的一個交點.求證:|PF1L|F1F2|=1.丨 PF2 I | PF1 |288、點P在雙曲線-a2 y b2=1 上,F1、F2為焦點, PF1F2的內(nèi)切圓切x軸于A點,如圖,求證：A為雙曲線的頂點.2

3、289、已知AB是雙曲線務(wù)-占=1過焦點F1的任意一條弦，以AB為直徑的圓 a2 b2被F1相應(yīng)的準(zhǔn)線截得圓弧 MN,求證：弧MN的度數(shù)為定值.90、求證：經(jīng)過雙曲線上任一點，作兩條直線分別平行于兩條漸近線，則圍成的平行四邊形的面積為定值91、 F1MF2的頂點Fl、F2是雙曲線b2x2-a2y2=a2b2的兩個焦點，點M在雙曲線2 白上若/ FiMF2=r,求證： F1MF2的面積 S=b2ctg.22 292、AB是雙曲線篤-爲(wèi)=1的一條弦,AB的中點為M,雙曲線中心為O,如果AB、a bb2OM的斜率分別為k、ko,求證：kko= .a93、設(shè)一直線交雙曲線于點 A、B,交雙曲線的漸近線

4、于點 C、D,求證：AC = BD2 294、已知點A是雙曲線篤-與=1上的動點，0是雙曲線中心，線段0A的中點a b為M.試求點M的軌跡方程，并證明點M的軌跡是與已知雙曲線離心率相等的雙 曲線.95、 證明：兩條準(zhǔn)線把兩焦點間的線段分成 1： 2： 1的雙曲線是等軸雙曲線.96、設(shè)雙曲線的實軸長、虛軸長、焦距、離心率分別為 2a、2b、2c、e;焦點到 相應(yīng)準(zhǔn)線的距離叫焦準(zhǔn)距，記為p;過焦點垂直于實軸的弦叫通徑，其長度記為d.求b2證：（1）p= （2）d = 2ep.c97、設(shè)雙曲線的焦點在漸近線上的射影為 G,求證：G是準(zhǔn)線與漸近線的交點2 298、已知直線I和雙曲線 篤-篤=1（a&g

5、t;0,b>0）及其漸近線依次交于 A,B,C,D a b四點（如圖）,求證：|AB|=|CD|.99、證明：雙曲線的一條漸近線和一條準(zhǔn)線交于 H點則由雙曲線中心O到H 的線段長等于雙曲線的實半軸長.2 2100、雙曲線 令-占 i（b>a>0）上有兩點A、B,它們與中心O的連線互相垂a b直，求證丄丄是定值.|OA OB2 2101、雙曲線X2 - y2 =1中一條準(zhǔn)線和一漸近線的交點為 M，與這條準(zhǔn)線相對a b102、設(shè)A、B是等軸雙曲線x2-y2=a2的兩個頂點,應(yīng)的焦點為F,求證：MF與這條漸近線垂直。MN是該雙曲線垂直于x2 2103、設(shè)F1、F2為雙曲線_2 y

6、- 1 (a>0, b>0)的左焦點和右焦點，P是其右a b支上的一點(非頂點)，設(shè)/ PF1F2=a，/ PF2F1= B , e為雙曲線的離心率,e -1求證：tg ctg.22 e+1104、求證：雙曲線的漸近線、過焦點與該漸近線垂直的直線以及對應(yīng)此焦點 的準(zhǔn)線經(jīng)過同一點。105、過點P( 2,2 )的直線被雙曲線x2- 2y2=8截得的弦MN的中點恰好為P,求|MN|的值.，點M(3.2,2.4)是其準(zhǔn)線和漸近線的交點,求106、已知雙曲線以兩坐標(biāo)為對稱軸 此雙曲線的方程.2 2107、一個圓的圓心在雙曲線7-=1(a0,b0)的右焦點F2上該圓過雙曲線的中心，交雙曲線于點

7、P直線PF1(F1是雙曲線的左焦點)是該圓的切線，求雙曲 線的離心率e.108、已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為(、3,0)(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線I: y =kx2與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B,且OAQB 2（其中O為原點），求k的取值范圍雙曲線解答題5 解答與提示80、提示：利用雙曲線第二定義81、提示：利用雙曲線定義和三角形中位線定理證明兩圓圓心距等于半徑之 和或半徑之差的絕對值。82、利用焦半徑公式.2 283、設(shè) Fi (- c, 0)、F2(c, 0), M(x , y)為軌跡上任意一點，則 |(x+c) +y -222a $(x - c)

8、+y |=4a 所以 x =c84、提示：證明MA、NA的斜率乘積為-1a2b285、提示：用距離公式計算，定值為爭a +b_5L2286、F （2 i 6,0）, I _h =丨:y -（x - 2、6）,代入漸近線方程 -02 8 16得.設(shè)AB中點的坐標(biāo)為（X0, 1y0),則 X0=(xa + xb)=2.632 _丁左準(zhǔn)線方程為x=-<6，二AB被左準(zhǔn)線平分387、證明:|PFj咪|=又|PF1|-|PF2|=2aAa| PF1 | - | PF2 | 2a|F1F2 |_ 2ca | PF2 |c|PR |PFi | |FiF2 |PF _ | PF1 |PFi | - |

9、PF2 I IF1F2 IIRF2 |= I PF2 |88、證明： 如圖：|PFi|=|PM|+ |MFi|=|PM|+ |FiA| |PF?|=|PN|+ |NF2|=|PN|+ |F2A| 又|PF1|PF2|=2a |FiA| + |F2A|=|FiF2|=2c, |PM|=|PN|得 |FiA| |F?A|=|FiF2| |F2A| |F2A|=2a 2|F?A|=2c 2a： |F2A|=c a A(a,O)即卩A為雙曲線一個頂點，同理可證，點P在左支上時，點A ' ( a,0).89、先證圓與準(zhǔn)線相交,然后得弧MN的弧度數(shù)為2arccose為雙曲線離e 心率).90、定值

10、為-ab,a> b為雙曲線的實半軸長、虛半軸長.291、提示：在厶F1MF2中使用余弦定理，并結(jié)合|MFi - MF2 =±2a93、提示：設(shè)雙曲線方程為92、提示：類比于橢圓。b2x2-a2y2=a2b2,則漸近線方程為b2x2-a2y2=0,再設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理證明線段AB與CD的中點重合.94、x2=1離心率都為(2)2a2 b2la95、略96、略97、 略98、證明：若直線I不與x軸垂直，則可設(shè)I的方程為y=kx+m,代入雙曲線方程 b2x2 a2y2 a2b2=0,并整理得 (b2 a2k2)x2 2a kmx a2(m2+b2)=0,設(shè)A(X1,y1),D(

11、X2,y2),則捲 x?二2a2km2 2 2b-a k.再將y=kx+m代入雙曲線漸近線方程得 b2x2 a2y2=0,并整理得(b2 a2k2)x2 2a2kmx a2m2=0,設(shè) B(X3,y3),C(X4,y4),則2a2kmX3 X422 2 .二 X1+X2=X3+X4.b -a k這說明線段AD的中點和線段BC的中點重合,故|AB|=|CD|.99、略100、定值為4-4，.提示：選擇中心為極點的極坐標(biāo)系a ba2X =101、解：M : $ c，M(,辿)，F(xiàn)(c, 0)，bc cy = _ x. aKMF=-a，二MF與漸近線y= -x垂直 ba102、略解.記/ MAX=

12、a，/ MBX= B ,貝U 0v a V B V 90°. 由對稱性/ MNA=2 a，/ MBN=2 B ,設(shè) M(X1，y1)(x1>0，y1>0)，則 X12 y12=a2.tg a =tgZ MAX=也tg B = / MBN= y，% + aXj - a2 tga tg B = 七 =1二 tga =tg B =tg(900 B ).X1 +aX1 -a x1 - a0v 90 B V 90 ， 0V a V 90 . a =90 B 由此，可得結(jié)論，/ MAN +Z MBN=1800.103、提示：應(yīng)用正弦定理及比例的性質(zhì).104、略22 22105、2 3

13、0 106、=1 或-篁丄=1.169256 162 2107、 解：雙曲線 務(wù)-£ =1(a>0,b>0)沖心(0,0),c2=a2+b2,a b左焦點F1(-1,0),右焦點F2(c,0)圓的方程為(x-c)2+y2=c2由題意,PF1為圓的切線 PFPF2, |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2(1)又點 P在雙曲線上，.|PF1|-|PF2|=2 又|P冋I是圓的半徑， |PF2匸c,2 2 2|PF1|=2a+c,|F1F2|=2c代入(1)式，得(2a+c) +c =(2c),22c 2 c4cJ+4ac-2c2=0,A ()2 -2() -2 =0.a a1 z . 3，又 e> 1,二 e=1,3.a2 2108、解：（1）設(shè)雙曲線方程為 篤一爲(wèi)“（a 0,b0）.a b由已知得a = ：. 3,c=2,再由a2 b2 = 2,得b =1.2故雙曲線C的方程為-y2 =1.32(2)將 y 二 kx 一 2代入-y2 = 1 得(1 - 3k2)x2 - 6 2kx - 9 二 0.3由直線 I 與雙曲線交于不同的兩點得21 -3k-0,，(62k)2 36(1 -3k2)=36(1-k2) 0.1即 k2 飛且k2 ：1.設(shè) A(XA,yA),B(XB,yB)，貝U3XAXb6、2k1