1、第四章 向量組的線性相關(guān)性 基礎(chǔ)練習(xí)1. 設(shè)有n維向量組與若存在兩組不全為零的數(shù)和使則（ ）（A）和都線性相關(guān) (B) 和都線性無(wú)關(guān)(C) 線性無(wú)關(guān)(D) 線性相關(guān)2. 設(shè)與為兩個(gè)n維向量組，且，則（ ）（A）當(dāng)時(shí)，兩向量組等價(jià)； （B）兩向量組等價(jià)；（C）；（D）當(dāng)向量組被向量組線性表示時(shí)，兩個(gè)向量組等價(jià).3. 設(shè)是4階方陣，且，則中（ ） (A) 必有一列元素全為零； （B）必有兩列元素成比例； (C)必有一列向量是其余列向量的線性組合；（D）任一列向量是其余列向量的線性組合.4. 設(shè)是矩陣，是矩陣，則( )（A）當(dāng)時(shí)，必有； （B）當(dāng)時(shí)，必有（C）當(dāng)時(shí)，必有； （D）當(dāng)時(shí)，必有5. 設(shè)向

2、量組線性無(wú)關(guān)，向量可由線性表示，而向量不能由線性表示，則對(duì)于任意常數(shù)k，必有（ ）（A）線性無(wú)關(guān)；（B）線性相關(guān)；（C）線性無(wú)關(guān)；（D）線性相關(guān).6. 設(shè)有向量組，與，則向量組的極大線性無(wú)關(guān)組是（ ）（A）； (B) ； (C) ； (D) .7. 設(shè)有向量組線性無(wú)關(guān)，則a，b，c必須滿足關(guān)系式 .8.向量組的秩等于 .9. 已知向量組的秩為2，則t .10. 設(shè)矩陣，向量，已知與線性無(wú)關(guān)，則a .11. 向量空間的維數(shù)是 ，它的基向量 在基下的坐標(biāo)是 .12. 設(shè)有向量組 ，當(dāng)k為何值時(shí)， 能由線性表示？ 13. 設(shè)有向量組求向量組的秩和它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.14. 設(shè)有向量組 ，試把表為

3、的線性組合. 15. 求方程組的基礎(chǔ)解系和通解.16. 求方程組的通解. 提高練習(xí)1. 已知 （1）a,b為何值時(shí)，不能表示為的線性組合；（2）a,b為何值時(shí)，有的唯一線性表示，并寫出該表達(dá)式.2. 設(shè)向量線性相關(guān)，而其中任何r-1個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，證明存在不全為零的數(shù)使.3. 設(shè)線性無(wú)關(guān)，證明 線性無(wú)關(guān).4. 驗(yàn)證向量是的一個(gè)基，并分別將向量用這個(gè)基表示.5. 已知的兩個(gè)基，求基A到基B的過(guò)渡矩陣C.6. 設(shè)由向量生成的向量空間為V1，由向量生成的向量空間為V2，試證V1= V2.7. 設(shè)的3個(gè)基分別為 1) 求由基（2）到基（1）的過(guò)渡矩陣；2) 求向量在基（2）下的坐標(biāo)；3) 求向量在基（

4、1）下的坐標(biāo)；4) 求由基（2）到基（3）的過(guò)渡矩陣.8. 設(shè)m個(gè)n維向量線性無(wú)關(guān)，P為n階方陣，證明：向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是.9. 已知向量組（1）：向量組（2）：具有相同的秩，且可由向量組（2）線性表示，求a，b的值.10. 已知3階方陣A與3維向量x，使得向量組線性無(wú)關(guān)，且滿足 ；1) 記，求3階方陣B，使;2） 計(jì)算行列式.11. 討論并求解方程組 .12. 設(shè)有3維列向量 問(wèn)取何值時(shí)，（1）可由線性表示，且表達(dá)式唯一？（2）可由線性表示，但表達(dá)式不唯一？（3）不能由線性表示？13. k為何值時(shí)，線性方程組 有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮個(gè)解？在有解時(shí)求出其全部解.14 已知（1）a、b為

5、何值時(shí)，不能表示為的線性組合？（2）a、b為何值時(shí)，可表示為的線性組合？并寫出該表示式.15. 已知下列線性方程組(1) 求出方程組的通解;(2) 當(dāng)中的參數(shù)m、n、t為何值時(shí)，方程組與同解？第四章參考解答 基礎(chǔ)練習(xí)：1. （D）提示：由題設(shè)知，又知不全為零，線性相關(guān).2.（D）提示：設(shè)向量組：向量組（因向量組A可被向量組B表示），則，所以，故選（D）3.（C）提示：因，則，A經(jīng)初等列變換化為階梯陣B，B必有零列，該列就是其余列的線性組合.4.（B）提示：時(shí)，又，則，AB為降階方陣，所以.5.（A）提示：由可由線性表示知，那么又線性無(wú)關(guān)，且不能由線性表示，則，即線性無(wú)關(guān).這個(gè)結(jié)論肯定了（A）而

6、排除了（B）,對(duì)條件（C）,取即與題設(shè)矛盾，可排除. 對(duì)于（D）,取時(shí)與（A）中相同，已知（A）正確，從而否定（D）.6.（B）7. .提示：線性無(wú)關(guān)，即，由此求得.8. 向量組的秩為2. 提示：因?yàn)?9. t=3. 提示： 向量組的秩為210. . 提示：時(shí)，（向量個(gè)數(shù)），則與線性相關(guān).11. 的維數(shù)是2，它的基.向量的坐標(biāo)是（3，4）.提示：對(duì)中任意向量，向量線性無(wú)關(guān).12. . 13. 秩為3，是它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.14. .15. 基礎(chǔ)解系為，通解為（k為任意常數(shù)）.16. 提高練習(xí)：1. 解 設(shè)有數(shù)，使即 （1）當(dāng)a1，b時(shí)，方程組無(wú)解，此時(shí)不能表示為的線性組合；（2）當(dāng)a1，b

7、時(shí)，方程組有唯一的解，此時(shí)有的唯一線性表示，求解線性方程組 .2. 解： 反證法：若 至少有一個(gè)，那么，由于r-1個(gè)向量是線性無(wú)關(guān)的，必有，這樣，線性無(wú)關(guān)，與假設(shè)矛盾.3. 提示：利用過(guò)渡矩陣可逆.4. 提示：與等價(jià)，則是的一個(gè)基，并且.5. 6. 提示：只需證， ,所以，,由此V1= V2.7. 解：1）;2）設(shè)在基（2）下的坐標(biāo)為，已知在基（1）下的坐標(biāo)為，根據(jù)坐標(biāo)變換公式所以在基（2）下的坐標(biāo)為0，0，-1，1.3) 在基（1）下的坐標(biāo)所以，在基（1）下的坐標(biāo)是-8，1，3，0.4）設(shè)由基（2）到基（3）的過(guò)渡矩陣為Q，它可以認(rèn)為是由基（2）到基（1）（過(guò)渡矩陣C），再由基(1)到基(3

8、)的變換，設(shè)由基(1)到基(3)的過(guò)渡矩陣為G，則，于是由基(2)到基(3)的過(guò)渡矩陣為.8. 提示：已知線性無(wú)關(guān)，則，所以9. 提示：，則且為一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，因，則，即，又可由向量組（2）線性表示，即可由最大無(wú)關(guān)組線性表示，那么，則.10. 提示： 1) ， 故2) 由，所以 11. 提示： （1）有唯一解，這時(shí)唯一解為 .（2） 時(shí)無(wú)解.（3） 有無(wú)窮多解，這時(shí)通解為 （k1，k2為任意常數(shù)）.12.提示：（1）可由線性表示有唯一解，且； （2）可由線性表示，但表達(dá)式不唯一有無(wú)窮多解；（3）不能由線性表示無(wú)解13. 提示：（1）時(shí)，有唯一解 ；（2）k1時(shí)，無(wú)解；（3） k=4時(shí)有無(wú)窮多解，全部解為 （k為任意常數(shù)）.14. 提示：設(shè)，則本題是要求a、b為何值時(shí)，有解和無(wú)解.（1）且時(shí)，不能由線性表示 ；（2） 時(shí)，可由唯一線性表示 ；當(dāng)且時(shí)，可由線性表示為（為任意常數(shù)）15. 提示：先求出（1）的解