1、第二節(jié) 正項級數(shù)的審斂法教學目的:弄清正項級數(shù)的定義；熟練掌握正項級數(shù)斂散性的常用判別法，靈活運用判別法判斷所給級數(shù)的斂散性.重難點: 靈活運用判別法判斷所給級數(shù)的斂散性.教學方法:啟發(fā)式講授與指導練習相結(jié)合.教學過程:一、正項級數(shù)及其審斂法1.正項級數(shù)：若級數(shù)的各項, 則稱級數(shù)為正項級數(shù).2.【定理1】(基本定理): 正項級數(shù)收斂有界. 且此時說明：因,于是,可見單調(diào)遞增. 故 收斂 收斂 有界. 此時顯然有.（注意：單調(diào)有界數(shù)列收斂）3.【定理2】(比較判別法): 設(shè)與均為正項級數(shù), 且 , , 則 (1) 收斂收斂; (2)發(fā)散發(fā)散.證明: 由條件知, , 那么(1) 收斂有界有界收斂;

2、(2) 發(fā)散無界無界發(fā)散.另證：若收斂，由（1）證明知必收斂，此與題設(shè)發(fā)散矛盾，所以假設(shè)不成立，即發(fā)散.4.【推論】(1) 若級數(shù)收斂且存在, 時恒有: , (為常數(shù)),則級數(shù)收斂.（2）若級數(shù)發(fā)散且存在, 時恒有: ,(為常數(shù)),則級數(shù)發(fā)散.例1 討論級數(shù)的斂散性.解: 若 由于 級數(shù)發(fā)散. 若 由 所以 , 那么 , 可見有界級數(shù)收斂.綜上知：級數(shù)收斂 .（此結(jié)論當定理使用）由級數(shù)得結(jié)論： 設(shè)為正項級數(shù), 那么 若, 且, , 則收斂; 若, 則發(fā)散.例2 (1)證明級數(shù)是發(fā)散的.證明: .(2) 證明級數(shù)是發(fā)散的.證明：因為，且故 級數(shù)是發(fā)散的.例3（1）討論級數(shù)的斂散性.解：，而級數(shù)為

3、收斂的級數(shù)所以級數(shù) 收斂.（2）討論級數(shù)的斂散性.解：，而級數(shù)是收斂的幾何級數(shù)所以級數(shù) 收斂.(3)判斷級數(shù) 的斂散性.解 令 為正項級數(shù).又級數(shù)為收斂的P級數(shù)，所以收斂，由比較判別法知故級數(shù) 收斂.（4）討論級數(shù)的斂散性.提示：收斂正項級數(shù)收斂.（5）判別級數(shù)的斂散性.且收斂.例4 設(shè).（1）求的值.（2）證明當（常數(shù)）時，級數(shù)收斂.（1）解 所以（2）證明 因為 ，且時，收斂，故原級數(shù)收斂.練習：用比較判別法確定下列級數(shù)的斂散性:(1)解該級數(shù)為,由,且發(fā)散,知原級發(fā)散.(2)解 該級數(shù)為,由,且收斂,知原級數(shù)收斂.(3)解 由于,這是一個公比為的幾何級數(shù),因而是收斂的,由比較判別法可知原

4、級數(shù)收斂.(4)（由函數(shù)單調(diào)性知所以函數(shù)單調(diào)遞增，時）解 因為,所以,而調(diào)和級數(shù)發(fā)散,由比較判別法可知原級數(shù)發(fā)散.(5)解 由于,是一個公比為的收斂幾何級數(shù)，所以由比較判別法可知原級數(shù)收斂.(6)解 由, 收斂,知原級數(shù)收斂.例5 討論級數(shù)的斂散性.解：1）時由且收斂可得原級數(shù)收斂.2）時由且發(fā)散可得原級數(shù)發(fā)散.3）時由且發(fā)散可得原級數(shù)發(fā)散.結(jié)論：當通項較容易通過不等式的放縮而找到已知斂散性的級數(shù)的通項時，可以選擇比較判別法.利用比較判別法需要對調(diào)和級數(shù)、幾何級數(shù)、P級數(shù)的斂散性非常熟悉.5【定理3】(比較判別法的極限形式): 設(shè)與均為正項級數(shù),若，則(1)當時,若收斂,則也收斂；(2)當時,

5、若發(fā)散,則也發(fā)散.（3）)當時,若與 有相同的斂散性.結(jié)論的另一種敘述方法： (1)當時,與 有相同的斂散性；(2)當時,若收斂,則也收斂；(3)當時,若發(fā)散,則也發(fā)散.證明:(1)由,當時，, 或 ,若收斂,則也收斂；(2)因為 ,，故，,若收斂,則也收斂,可見,若發(fā)散,則必發(fā)散.補充結(jié)論證明提示（1） 當時,由得對時由正項級數(shù)的比較判別法得若收斂,且，則收斂.若 收斂，且，則收斂；故原結(jié)論成立.（2）當時, 由比較判別法得結(jié)論成立.（3）當時,由無窮大的概念知收斂由正項級數(shù)的比較判別法得收斂，故結(jié)論成立.【推論】(極限法): 設(shè)為正項級數(shù),且,(1)當,時,級數(shù)收斂;(2)當,時,級數(shù)發(fā)散

6、.（證明方法：設(shè)為正項級數(shù),其中，利用比較判別法去證）注意：利用比較的極限形式時常需用到極限的等價無窮小概念，時例6 （1） 判別級數(shù)的斂散性.解: 級數(shù)發(fā)散.（2）：發(fā)散，可推出原級數(shù)發(fā)散.（3）判別級數(shù)的斂散性.解: ,且 是收斂的級數(shù)（）級數(shù)收斂. . （4）討論級數(shù)的斂散性.解：令，則 且發(fā)散正項級數(shù)發(fā)散.(5)判別級數(shù)的斂散性.解：時，且收斂收斂.（6）：，收斂，推出收斂.(7): 提示 令 ，發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.例7 判定級數(shù)的斂散性.解 （1）當時，發(fā)散.（2）當時，令，收斂（），所以原級數(shù)收斂.另證：令 ,收斂（），所以原級數(shù) 收斂.（3）當時，令，收斂（），所以原級數(shù)收斂.另證：

7、令 ,收斂（），所以 原級數(shù)收斂.綜上所述時發(fā)散，時收斂.【結(jié)論】：當時，級數(shù)的通項能與常用的等價無窮小掛鉤，此時考慮用比較判別法的極限形式進行判定.但必須給出通項比值的極限（與無窮大比較）以及已知級數(shù)的斂散性.6【定理4】(比值判別法,達朗貝爾判別法): 設(shè)為正項級數(shù),若,則 (1)時, 級數(shù)收斂；(2) 或時, 級數(shù)發(fā)散；(3)時, 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.證明: (1) 時, 對 , 由于收斂, 故收斂. 級數(shù)收斂.(2) 時, 對 , 可見 級數(shù)發(fā)散.(2) 時, , 或 同樣 級數(shù)發(fā)散.(3)時, 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如: 級數(shù)發(fā)散, 而級數(shù)收斂. 注意到這兩個級數(shù)均有.例8（

8、1）(88.3) 討論級數(shù)的斂散性.解 由 知原級數(shù)收斂.（2）討論級數(shù)的斂散性.解 令，發(fā)散.(3) 判斷級數(shù) 的斂散性.解 令，由比值判別法知故級數(shù) 收斂.(4)解 該級數(shù)的一般項，且 所以 ,故 原級數(shù)收斂.例9 判別級數(shù)的斂散性.解: (1) 由于, 此時無法判斷. (2) 但 ，故得知級數(shù)收斂.（級數(shù)判別法.）另解 令，又令，因為，且收斂，故級數(shù)收斂.例10 （1）求.解: 令 由于 , 所以 級數(shù)收斂, 于是.（2）證明 .證明：設(shè)有級數(shù)，因為 又因為 ，所以 級數(shù) 收斂，于是 .例11 證明級數(shù)是收斂的,并估計誤差.證明: (1) 由于, 故級數(shù)收斂.(2) , .例12 證明級

9、數(shù)是收斂的,并估計誤差.證明：(1) 令 由于, 故原級數(shù)收斂.(2) .【結(jié)論】：對于不便用比較與比較的極限形式完成斂散性判別的級數(shù)，應(yīng)考慮比值判別法，它的特點是用自身的相鄰兩項的后一項與前相鄰一項比值極限判定.但注意極限與1比較大小.但必須注意：比值判別法對級數(shù)失效.練習：用比值判別法(達朗貝爾法則)研究下列各級數(shù)的斂散性:(1)解 該級數(shù)的一般項,因為,所以該級數(shù)收斂.(2)解 該級數(shù)的一般項,因為,所以原級數(shù)收斂.(3)解 該級數(shù)的一般項,因為,原級數(shù)收斂.(4)解 該級數(shù)的一般項,因為所以原級數(shù)收斂.(5)解 該級數(shù)的一般項,因為,所以原級數(shù)收斂.(6)解 該級數(shù)的一般項,因為原級數(shù)

10、發(fā)散. （7）比值法判定：收斂，發(fā)散，（：）收斂.（8），收斂原級數(shù)收斂.（9）：原級數(shù)發(fā)散.7【定理5】(根式（柯西）判別法): 設(shè)為正項級數(shù), 若，則(1)時, 級數(shù)收斂；(2)或時,級數(shù)發(fā)散；(3)時, 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.證明: (1) 時, 對 , 由于收斂, 故級數(shù)收斂.(2) 時, 對 , 可見 級數(shù)發(fā)散.(2) 時, , 或 同樣 級數(shù)發(fā)散. (3) 時, 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如: 級數(shù)發(fā)散, 而級數(shù)收斂. 注意到這兩個級數(shù)均有.()【結(jié)論】：對通項的指數(shù)為與n次冪相關(guān)的級數(shù)可以考慮用根植判別法.例13 判別下列級數(shù)的斂散性（1）解 令，因為，所以 級數(shù) 收斂.（2）解 令，因為，所以 級數(shù) 收斂.例14 判別級數(shù)的斂散性.解: 由于, 所以級數(shù)發(fā)散.例15 設(shè)，并且級數(shù)與都收斂，證明 級數(shù) 收斂.證明 設(shè)則即級數(shù)與都是正項級數(shù).因為級數(shù)與都收斂，所以級數(shù)收斂，而由知，所以由正項級數(shù)比較判別法知級數(shù)也收斂；而，且收斂，故 級數(shù) 收斂.小結(jié)：1.正項級數(shù)多用比較判別法與比值判別法判斷其斂散性. 2利用比較的極限形式判別時注意運用等價無窮小進行轉(zhuǎn)化. 3利用比較判別法時注意運用已