1、第四節(jié)函數(shù)的奇偶性及周期性知識能否憶起一、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱二、周期性1周期函數(shù)對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期2最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期小題能否全取1(2012·

2、廣東高考)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()Aysin xByx3Cyex Dyln 解析：選D四個選項中的函數(shù)的定義域都是R.ysin x為奇函數(shù)冪函數(shù)yx3也為奇函數(shù)指數(shù)函數(shù)yex為非奇非偶函數(shù)令f(x)ln ，得f(x)ln ln f(x)所以yln為偶函數(shù)2已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab 的值是()A B.C. D解析：選Bf(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.3(教材習(xí)題改編)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x4)f(x)，則f(8)的值為()A1 B0C1 D2解析：選Bf(x)為奇函數(shù)且f(x4

3、)f(x)，f(0)0，T4.f(8)f(0)0.4若函數(shù)f(x)x2|xa|為偶函數(shù)，則實數(shù)a_.解析：法一：f(x)f(x)對于xR恒成立，|xa|xa|對于xR恒成立，兩邊平方整理得ax0，對于xR恒成立，故a0.法二：由f(1)f(1)，得|a1|a1|，故a0.答案：05(2011·廣東高考)設(shè)函數(shù)f(x)x3cos x1.若f(a)11，則f(a)_.解析：觀察可知，yx3cos x為奇函數(shù)，且f(a)a3cos a111，故a3cos a10.則f(a)a3cos a11019.答案：9 1.奇、偶函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分

4、條件；(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；反之亦然；(3)若奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，則f(0)0；(4)利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱可知，奇函數(shù)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱可知，偶函數(shù)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反2若函數(shù)滿足f(xT)f(x)，由函數(shù)周期性的定義可知T是函數(shù)的一個周期；應(yīng)注意nT(nZ且n0)也是函數(shù)的周期函數(shù)奇偶性的判斷典題導(dǎo)入例1(2012·福州質(zhì)檢)設(shè)Q為有理數(shù)集，函數(shù)f(x)g(x)，則函數(shù)h(x)f(x)·g(x)()A是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)B是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)C既是奇函數(shù)也是偶

5、函數(shù)D既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)自主解答當(dāng)xQ時，xQ，f(x)f(x)1；當(dāng)xRQ時，xRQ，f(x)f(x)1.綜上，對任意xR，都有f(x)f(x)，故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)g(x)g(x)，函數(shù)g(x)為奇函數(shù)h(x)f(x)·g(x)f(x)·g(x)f(x)g(x)h(x)，函數(shù)h(x)f(x)·g(x)是奇函數(shù)h(1)f(1)·g(1)，h(1)f(1)·g(1)1×，h(1)h(1)，函數(shù)h(x)不是偶函數(shù)答案A由題悟法利用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)首先求函數(shù)的定義域，定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件

6、；(2)如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，可進(jìn)一步判斷f(x)f(x)或f(x)f(x)是否對定義域內(nèi)的每一個x恒成立(恒成立要給予證明，否則要舉出反例)注意判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(x)與f(x)的關(guān)系，只有對各段上的x都滿足相同的關(guān)系時，才能判斷其奇偶性以題試法1判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)3x3x；(3)f(x)；(4)f(x)解：(1)由得x±1，f(x)的定義域為1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)±f(x)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(2)f(x)的定義域為R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)

7、為奇函數(shù)(3)由得2x2且x0.f(x)的定義域為2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)(4)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，當(dāng)x>0時，f(x)(x)22(x22)f(x)；當(dāng)x<0時，f(x)(x)22(x22)f(x)；當(dāng)x0時，f(0)0，也滿足f(x)f(x)故該函數(shù)為奇函數(shù)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用典題導(dǎo)入例2(1)(2012·上海高考)已知yf(x)x2是奇函數(shù)，且f(1)1.若g(x)f(x)2，則g(1)_.(2)(2012·煙臺調(diào)研)設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0，)上為減函數(shù)，且f(2)0，則不等式>0的解集為()A(2,0

8、)(2，)B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)自主解答(1)yf(x)x2是奇函數(shù)，且x1時，y2，當(dāng)x1時，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.(2)f(x)為偶函數(shù)，>0.xf(x)>0.或又f(2)f(2)0，f(x)在(0，)上為減函數(shù)，故x(0,2)或x(，2)答案(1)1(2)B本例(2)的條件不變，若n2且nN*，試比較f(n)，f(1n)，f(n1)，f(n1)的大小解：f(x)為偶函數(shù)，所以f(n)f(n)，f(1n)f(n1)又函數(shù)yf(x)在(0，)為減函數(shù)，且0<n1<n<n1，f(

9、n1)<f(n)<f(n1)f(n1)<f(n)<f(n1)f(1n)由題悟法函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式(2)已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性求參數(shù)常常采用待定系數(shù)法：利用f(x)±f(x)0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式，由系數(shù)的對等性可得知字母的值(3)奇偶性與單調(diào)性綜合時要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反以題試法2(1)(2012·徐州模擬)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則ab_.(2)已知定義在R上的奇函數(shù)滿足f(

10、x)x22x(x0)，若f(3a2)>f(2a)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：(1)當(dāng)x<0時，則x>0，所以f(x)x2x，f(x)ax2bx，而f(x)f(x)，即x2xax2bx，所以a1，b1，故ab0.(2)因為f(x)x22x在0，)上是增函數(shù)，又因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，要使f(3a2)>f(2a)，只需3a2>2a，解得3<a<1.答案：(1)0(2)(3,1)函數(shù)的周期性及其應(yīng)用典題導(dǎo)入例3 (2012·浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x0,1時，f(x)x1，則f

11、_.自主解答依題意得，f(2x)f(x)，f(x)f(x)，則fff1.答案由題悟法1周期性常用的結(jié)論：對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(xa)f(x)，則T2a；(2)若f(xa)，則T2a；(3)若f(xa)，則T2a.2周期性與奇偶性相結(jié)合的綜合問題中，周期性起到轉(zhuǎn)換自變量值的作用，奇偶性起到調(diào)節(jié)符號作用以題試法3設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x2,4時，求f(x)的解析式解：(1)證明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)

12、(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,41下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()Ayx3Bysin xCyx Dyx答案：A2(2012·考感統(tǒng)考)設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時，f(x)2x(1x)，則f()A BC. D.解析：選A由題意得ffff.3(2012·北京海淀區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)x|x|2x，則下列結(jié)論正確的是()Af(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，)Bf(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(，1)Cf(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(1,

13、1)Df(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(，0)解析：選C將函數(shù)f(x)x|x|2x去掉絕對值得f(x)畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(1,1)上單調(diào)遞減4(2013·吉林模擬)已知函數(shù)f(x)|xa|xa|(a0)，h(x)則f(x)，h(x)的奇偶性依次為()A偶函數(shù)，奇函數(shù) B奇函數(shù)，偶函數(shù)C偶函數(shù)，偶函數(shù) D奇函數(shù)，奇函數(shù)解析：選Df(x)|xa|xa|xa|xa|f(x)，故f(x)為奇函數(shù)畫出h(x)的圖象可觀察到它關(guān)于原點對稱或當(dāng)x>0時，x<0，則h(x)x2x(x2x)h(x)，當(dāng)x&l

14、t;0時x>0，則h(x)x2x(x2x)h(x)x0時，h(0)0，故h(x)為奇函數(shù)5(2013·杭州月考)已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)2x2xm(m為常數(shù))，則f(1)的值為()A3 B1C1 D3解析：選A函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)0，即f(0)20m0，解得m1.則f(x)2x2x1，f(1)212×113，f(1)f(1)3.6若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a()A. B.C. D1解析：選Af(x)是奇函數(shù)，f(1)f(1)，a13(1a)，解得a.7(2013·孝感模擬)已知f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x&l

15、t;0時，f(x)x2x，則當(dāng)x>0時，f(x)_.解析：x>0，x<0，f(x)f(x)(x)2(x)x2x，故x>0時，f(x)x2x.答案：x2x8.(2012·“江南十?！甭?lián)考)定義在2,2上的奇函數(shù)f(x)在(0,2上的圖象如圖所示，則不等式f(x)>x的解集為_解析：依題意，畫出yf(x)與yx的圖象，如圖所示，注意到y(tǒng)f(x)的圖象與直線yx的交點坐標(biāo)是和，結(jié)合圖象可知，f(x)>x的解集為.答案：9已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為3，且x時，f(x)log2(3x1)，則f(2 011)_.解析：f(2 011)

16、f(3×6701)f(1)f(1)log2(31)2.答案：210已知函數(shù)f(x)x2(x0，常數(shù)aR)(1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；(2)若f(1)2，試判斷f(x)在2，)上的單調(diào)性解：(1)當(dāng)a0時，f(x)x2，f(x)f(x)，函數(shù)是偶函數(shù)當(dāng)a0時，f(x)x2(x0，常數(shù)aR)，取x±1，得f(1)f(1)20；f(1)f(1)2a0，即f(1)f(1)，f(1)f(1)故函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)若f(1)2，即1a2，解得a1，這時f(x)x2.任取x1，x22，)，且x1<x2，則f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)

17、(x1x2).由于x12，x22，且x1<x2.故x1x2<0，x1x2>，所以f(x1)<f(x2)，故f(x)在2，)上是單調(diào)遞增函數(shù)11已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求實數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)設(shè)x<0，則x>0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，于是x<0時，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象知所以1a3，故實數(shù)a的取值范圍是(1,312已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的

18、圖象關(guān)于直線x1對稱(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；(2)若f(x)(0<x1)，求x5，4時，函數(shù)f(x)的解析式解：(1)證明：由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，得f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2)又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故有f(x)f(x)故f(x2)f(x)從而f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)0.x1,0)時，x(0,1，f(x)f(x)，又f(0)0，故x1,0時， f(x).x5，4，x41,0，f(x)f(x4).從而，x5，4時，函數(shù)f(x).1設(shè)f(x)是

19、奇函數(shù)，且在(0，)內(nèi)是增函數(shù)，又f(3)0，則x·f(x)<0的解集是()Ax|3<x<0，或x>3Bx|x<3，或0<x<3Cx|x<3，或x>3Dx|3<x<0，或0<x<3解析：選D由x·f(x)<0，得或而f(3)0，f(3)0，即或所以x·f(x)<0的解集是x|3<x<0，或0<x<32(2012·江蘇高考)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，則a3b的值為_解析：因為f(x)是

20、定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以ff，且f(1)f(1)，故ff，從而a1,3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，故b2a.由得a2，b4，從而a3b10.答案：103(2012·煙臺模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域是(0，)，且滿足f(xy)f(x)f(y)，f1，如果對于0<x<y，都有f(x)>f(y)，(1)求f(1)；(2)解不等式f(x)f(3x)2.解：(1)令xy1，則f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)f(x)f(3x)2f，f(x)ff(3x)f0f(1)，fff(1)，ff(1)，則解得1x<0.故不等式的解集為1,0)1已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)g(x)x，則f(1)，g(0)，g(1)之間的大