1、朗培教育橢圓專題解析1. 橢圓定義：（1）第一定義：平面內與兩個定點的距離之和為常數(shù)的動點的軌跡叫橢圓,其中兩個定點叫橢圓的焦點.當時, 的軌跡為橢圓 ; ; 當時, 的軌跡不存在; 當時, 的軌跡為 以為端點的線段（2）橢圓的第二定義:平面內到定點與定直線(定點不在定直線上)的距離之比是常數(shù)()的點的軌跡為橢圓（利用第二定義,可以實現(xiàn)橢圓上的動點到焦點的距離與到相應準線的距離相互轉化）.2.橢圓的方程與幾何性質:標準方程性質參數(shù)關系焦點焦距范圍頂點對稱性關于x軸、y軸和原點對稱離心率準線 考點1 橢圓定義及標準方程 題型1:橢圓定義的運用例1 (湖北部分重點中學2009屆高三聯(lián)考)橢圓有這樣

2、的光學性質：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球（小球的半徑不計），從點A沿直線出發(fā)，經橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經過的路程是OxyDPABCQA4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能 解析按小球的運行路徑分三種情況:(1),此時小球經過的路程為2(ac);(2), 此時小球經過的路程為2(a+c);(3)此時小球經過的路程為4a,故選D【名師指引】考慮小球的運行路徑要全面【新題導練】1.短軸長為，離心率的橢圓兩焦點為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交橢圓

3、于A、B兩點，則ABF2的周長為（ ）A.3 B.6 C.12 D.24解析C. 長半軸a=3，ABF2的周長為4a=122.已知為橢圓上的一點，分別為圓和圓上的點，則的最小值為（ ） A 5 B 7 C 13 D 15 解析B. 兩圓心C、D恰為橢圓的焦點，的最小值為10-1-2=7題型2 求橢圓的標準方程 例2 設橢圓的中心在原點，坐標軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為4，求此橢圓方程.【解題思路】將題中所給條件用關于參數(shù)的式子“描述”出來解析設橢圓的方程為或，則，解之得：，b=c4.則所求的橢圓的方程為或.【名師指引】準確把握圖形特征，正確轉

4、化出參數(shù)的數(shù)量關系警示易漏焦點在y軸上的情況【新題導練】3. 如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是_.解析(0,1). 橢圓方程化為+=1. 焦點在y軸上，則>2，即k<1.又k>0，0<k<1. 4.已知方程,討論方程表示的曲線的形狀解析當時，方程表示焦點在y軸上的橢圓，當時，方程表示圓心在原點的圓，當時，方程表示焦點在x軸上的橢圓5. 橢圓對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點構成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離是，求這個橢圓方程.解析 ，所求方程為+=1或+=1.考點2 橢圓的幾何性質 題型1:求橢圓的離心率（或范

5、圍）例3 在中，若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率 【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率解析 ，【名師指引】（1）離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確定，離心率也隨之確定（2）只要列出的齊次關系式，就能求出離心率（或范圍）（3）“焦點三角形”應給予足夠關注【新題導練】6.如果一個橢圓的長軸長是短軸長的兩倍,那么這個橢圓的離心率為 . . . . 解析選7.已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為 解析由，橢圓的離心率為題型2:橢圓的其他幾何性質的運用（范圍、對稱性等）例4 已知實數(shù)滿足,求的最大值與最小值【解題

6、思路】 把看作的函數(shù) 解析 由得,當時,取得最小值,當時,取得最大值6【新題導練】9.已知點是橢圓（，）上兩點,且,則= 解析 由知點共線,因橢圓關于原點對稱,10.如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點則_解析由橢圓的對稱性知： 考點3 橢圓的最值問題例5 橢圓上的點到直線l:的距離的最小值為_【解題思路】把動點到直線的距離表示為某個變量的函數(shù) 解析在橢圓上任取一點P,設P(). 那么點P到直線l的距離為：【名師指引】也可以直接設點，用表示后，把動點到直線的距離表示為的函數(shù)，關鍵是要具有“函數(shù)思想”【新題導練】11.橢圓的內接矩形的面積的最

7、大值為 解析設內接矩形的一個頂點為，矩形的面積12. 是橢圓上一點，、是橢圓的兩個焦點，求的最大值與最小值解析 當時，取得最大值，當時，取得最小值13.已知點是橢圓上的在第一象限內的點，又、，是原點，則四邊形的面積的最大值是_解析 設，則考點4 橢圓的綜合應用題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問題例6 已知橢圓的中心為坐標原點,一個長軸端點為,短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且（1）求橢圓方程；（2）求m的取值范圍【解題思路】通過，溝通A、B兩點的坐標關系，再利用判別式和根與系數(shù)關系得到一個關于m的不等式解析（1）由題意可知橢圓為焦

8、點在軸上的橢圓，可設由條件知且，又有，解得 故橢圓的離心率為，其標準方程為： （2）設l與橢圓C交點為A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）>0 （*）x1x2， x1x2 3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 m2時，上式不成立；m2時，k2，因3 k0 k2>0，1<m< 或 <m<1容易驗證k2>2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范圍為（1，）（，1） 【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯

9、問題是高考熱點之一，應充分重視向量的功能【新題導練】14.設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于、兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是 （ ） A. B. C. D. 解析 ，選A.15. 如圖，在RtABC中，CAB=90°，AB=2，AC=。一曲線E過點C，動點P在曲線E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變，直線l經過A與曲線E交于M、N兩點。 （1）建立適當?shù)淖鴺讼担笄€E的方程； （2）設直線l的斜率為k，若MBN為鈍角，求k的取值范圍。解：（1）以AB所在直線為x軸，AB的中點O為原點建立直角坐標系，則A（1，0），B（1，0）由題設可得

10、動點P的軌跡方程為，則曲線E方程為（2）直線MN的方程為由方程有兩個不等的實數(shù)根MBN是鈍角即解得：又M、B、N三點不共線綜上所述，k的取值范圍是基礎鞏固訓練1. 如圖所示,橢圓中心在原點,F是左焦點,直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為( ) A B C D 解析 B . 2. 設F1、F2為橢圓+y2=1的兩焦點，P在橢圓上，當F1PF2面積為1時，的值為A、0B、1C、2D、3解析 A . ， P的縱坐標為，從而P的坐標為，0， 3.橢圓的一條弦被平分,那么這條弦所在的直線方程是 A B C D解析 D. ,兩式相減得：，4.在中，若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率 解析5. 已

11、知為橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點,若, 則此橢圓的離心率為 _. 解析 三角形三邊的比是6.在平面直角坐標系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以O為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 解析綜合提高訓練7、已知橢圓與過點A(2，0)，B(0，1)的直線l有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率求橢圓方程解析直線l的方程為：由已知由得：，即由得：故橢圓E方程為8.已知A、B分別是橢圓的左右兩個焦點，O為坐標原點，點P）在橢圓上，線段PB與y軸的交點M為線段PB的中點。 （1）求橢圓的標準方程； （2）點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于ABC，求的值。解析（1）點是線段的中點 是

12、的中位線又 橢圓的標準方程為=1 （2）點C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個焦點ACBC2a，AB2c2 在ABC中，由正弦定理， 9. 已知長方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中點為原點建立如圖8所示的平面直角坐標系.()求以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的標準方程;OABCD圖8()過點P(0,2)的直線交()中橢圓于M,N兩點,是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.解析 ()由題意可得點A,B,C的坐標分別為.設橢圓的標準方程是.橢圓的標準方程是()由題意直線的斜率存在,可設直線的方程為.設M,N兩點的坐標分別為聯(lián)立方程: 消去整理得, 有若以MN為直徑的圓恰好過原點,則,所以,所以,即所以, 即 得所以直線的方程為,或