1、解三角形的知識點和題型匯總及練習一、知識必備：1直角三角形中各元素間的關系：在ABC中，C90°，ABc，ACb，BCa。（1）三邊之間的關系：a2b2c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關系：AB90°；（3）邊角之間的關系：（銳角三角函數(shù)定義）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素間的關系：在ABC中，A、B、C為其內角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）三角形內角和：ABC。（2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積

2、的兩倍a2b2c22bccosA； b2c2a22cacosB； c2a2b22abcosC。 3三角形的面積公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）absinCbcsinAacsinB；4解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等主要類型：（1）兩類正弦定理解三角形的問題：第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角. 第2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三

3、角形的問題：第1、已知三邊求三角.第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.5三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。（1）角的變換因為在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.6求解三角形應用題的一般步驟：（1）分析：分析題意，弄清已知和所求；（2）建模：將實際問題轉化為數(shù)學問題，寫出已知與所求，并畫出示意圖；（3）求解：正確運用正、余弦定理求解；（4）檢驗：檢驗上述所求是否符

4、合實際意義。二、典例解析題型1：正、余弦定理例1（1）在中，已知，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形。題型2：三角形面積例2在中，求的值和的面積。解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由計算它的對偶關系式的值。 , +得。 得。從而。題型3：三角形中的三角恒等變換問題例3在中，A、B、C所對的邊分別是、，已知，則( )A. B. C. D.題型4：正、余弦定理判斷三角形形狀例4在ABC中，若2cosBsinAsinC，則ABC的形狀一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosBsinC =sin（AB）

5、=sinAcosB+cosAsinBsin（AB）0，AB題型5：三角形中求值問題例5的三個內角為，求當A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；當sin = ，即A=時, cosA+2cos取得最大值為。點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉化為關于一個角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的性質求得結果。題型6：正余弦定理的實際應用例6如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點的仰

6、角分別為，于水面C處測得B點和D點的仰角均為，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離（計算結果精確到0.01km，1.414，2.449） 解:在ABC中，DAC=30°, ADC=60°DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=180°60°60°=60°，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA，        在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距離約為0.33km。 三、思維總結1解斜三角形的常規(guī)

7、思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用余弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；（4）已知三邊a、b、c，應余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C。2三角學中的射影定理：在ABC 中，3兩內角與其正弦值：在ABC 中，4解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應結合“三角形中大邊對大角定理及幾何作

8、圖來幫助理解”。三、課后訓練1.若的三個內角滿足，則 （ ）（A）一定是銳角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是鈍角三角形. (D)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C為鈍角2.在ABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，則A=( )（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，所以cosA=，所以A=3003.在中，a=15,b=10,A=60°，則=A B C D 【答案】D【解析】根據(jù)正弦定理可得解得，又因為，則，故B為銳角，所以，故D正確.4. 在ABC中，角A，B，C所對的邊分別

9、為，b，c，若，b=2，sinB+cosB=，則角A的大小為（ ）A B C D5. 在中，角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c，若角2B=A+C，且=（ ）A BC D26. 在中，若，則是 （ ）A等邊三角形 B等腰三角形 C銳角三角形D直角三角形7. 在中, 已知則 ( ) A 2 B 3 C 4 D 58.若(a+b+c)(b+ca)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ABC是（ ） A直角三角形 B等邊三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形9、設A、B、C為三角形的三內角,且方程(sinBsinA)x2+(sinAsinC)x +(sinCsinB)=0有等根，那么角B

10、（ ） AB>60° BB60° CB<60° DB 60°10、D,C,B三點在地面同一直線上,DC=a,從C,D兩點測得A點仰角分別是, (<),則A點離地面的高度AB等于（ ）ABA B D CC D 11.在中,分別是角的對邊,且,則角的大小為 12.A為ABC的一個內角,且sinA+cosA=, 則ABC是_ _三角形.13、在ABC中，若SABC= (a2+b2c2),那么角C=_.14、在ABC中，a =5,b = 4,cos(AB)=,則cosC=_.15.在銳角中，則的值等于 ， 的取值范圍為 . 解析 設由正弦定理得

11、由銳角得，又，故，16、在ABC中,求分別滿足下列條件的三角形形狀： B=60°,b2=ac； b2tanA=a2tanB； sinC= (a2b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(AB).分析：化簡已知條件，找到邊角之間的關系，就可判斷三角形的形狀. 由余弦定理 ，. 由a=c及B=60°可知ABC為等邊三角形. 由A=B或A+B=90oABC為等腰或Rt. ，由正弦定理：再由余弦定理：.由條件變形為.ABC是等腰或Rt. 17.在中，角所對的邊分別為且滿足（I）求角的大??；（II）求的最大值，并求取得最大值時角的大小解析：（I）由正弦定理得因為所以 （II）= 又，所以即時 取最大值2 綜上所述，的最大值為2，此時18.在中，分別為內角的對邊，且 （）求的大??；（）求的最大值.解：（）由已知，根據(jù)正弦定理得即 由余弦定理得 故 ，A=120