1、 提綱提綱18-10 勢(shì)壘貫穿（隧道效應(yīng)）勢(shì)壘貫穿（隧道效應(yīng)）18-9 一維無限深方勢(shì)阱一維無限深方勢(shì)阱 隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡STM 薛定諤方程薛定諤方程 標(biāo)準(zhǔn)化條件及解的物理意義。標(biāo)準(zhǔn)化條件及解的物理意義。 幾點(diǎn)討論幾點(diǎn)討論 力場(chǎng)中粒子的薛定諤方程力場(chǎng)中粒子的薛定諤方程 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程18-8 薛定諤方程薛定諤方程 自由粒子的自由粒子的 薛定諤方程薛定諤方程作業(yè)：作業(yè)：18-28、29、3218-8 薛定諤方程薛定諤方程 在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由波函數(shù)在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由波函數(shù) 來描寫；狀態(tài)隨時(shí)間的變化遵循著一定的規(guī)律。來描寫

2、；狀態(tài)隨時(shí)間的變化遵循著一定的規(guī)律。1926年，薛定諤在德布羅意關(guān)系和態(tài)疊加原理年，薛定諤在德布羅意關(guān)系和態(tài)疊加原理 的基礎(chǔ)上，提出了薛定諤方程做為量子力學(xué)的的基礎(chǔ)上，提出了薛定諤方程做為量子力學(xué)的 又一個(gè)基本假設(shè)來描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。又一個(gè)基本假設(shè)來描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。本章將簡單介紹量子體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何用本章將簡單介紹量子體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何用 波函數(shù)波函數(shù)來描述；力學(xué)量如何用來描述；力學(xué)量如何用力學(xué)量算符力學(xué)量算符來來 描述。描述。建立薛定諤方程的主要依據(jù)和思路：建立薛定諤方程的主要依據(jù)和思路：* 要研究的微觀客體具有波粒兩象性，應(yīng)該滿足要研究的微觀客體具有波粒兩象性，應(yīng)該滿足 德

3、布羅意關(guān)系式德布羅意關(guān)系式phhE/,/* 滿足非相對(duì)論的能量關(guān)系式，對(duì)于一個(gè)能量為滿足非相對(duì)論的能量關(guān)系式，對(duì)于一個(gè)能量為E， 質(zhì)量為質(zhì)量為m，動(dòng)量為，動(dòng)量為P的粒子：的粒子：)(22rVmpE* 若若 是方程的解，則是方程的解，則 也是它的解；也是它的解； 若波函數(shù)若波函數(shù) 與與 是某粒子的可能態(tài)，則是某粒子的可能態(tài)，則 也是該粒子的可能態(tài)。也是該粒子的可能態(tài)。121C12211CC因此，因此，波函數(shù)應(yīng)遵從線性方程波函數(shù)應(yīng)遵從線性方程。* 自由粒子的外勢(shì)場(chǎng)應(yīng)為零。自由粒子的外勢(shì)場(chǎng)應(yīng)為零。0)(rV 自由粒子的自由粒子的 薛定諤方程薛定諤方程)(),(0 xpEtetxi沿沿x方向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能

4、為方向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為E和動(dòng)量為和動(dòng)量為 的自由粒子的波函數(shù)的自由粒子的波函數(shù)p),(),(txEittxpix2222px)2(22222mpExmti)2(22222mpExmti為自由粒子的質(zhì)量，因?yàn)閯?shì)能為零，所以為自由粒子的質(zhì)量，因?yàn)閯?shì)能為零，所以mmpE22所以得出一維自由粒子運(yùn)動(dòng)所遵從的薛定諤方程：所以得出一維自由粒子運(yùn)動(dòng)所遵從的薛定諤方程：2222xmti)exp(),(0rpEtitrk一個(gè)動(dòng)能為一個(gè)動(dòng)能為E和動(dòng)量為和動(dòng)量為 ，即，即波矢波矢為為 的自由粒子，在坐標(biāo)表象的波函數(shù)：的自由粒子，在坐標(biāo)表象的波函數(shù)：pk p同樣推廣到三維如下：同樣推廣到三維如下：),(),(trEitt

5、rkk顯然，波函數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得出：顯然，波函數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得出：),(),(trEttrikk波函數(shù)對(duì)空間求導(dǎo)可得出：波函數(shù)對(duì)空間求導(dǎo)可得出：);,(),(trpixtrkxk);,(),(trpiytrkyk);,(),(trpiztrkzk),(),(2222trpxtrkxk),(),(2222trpytrkyk),(),(2222trpztrkzkkkpzyx22222222)(2222222zyx定義算符：定義算符：),(),(222trptrkk則得：則得：mpE22考慮自由粒子的能量：考慮自由粒子的能量：),(2),(22trmttrikk),(),(222trEtrmkk

6、又因?yàn)椋河忠驗(yàn)椋旱贸觯旱贸觯涸S多單色平面波線性疊加的態(tài)仍是上述方程的解。許多單色平面波線性疊加的態(tài)仍是上述方程的解。自由粒子的自由粒子的 薛定諤方程薛定諤方程),(),(trEttrikk量子體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由量子體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由波函數(shù)波函數(shù)來描述，來描述， 力學(xué)量用力學(xué)量力學(xué)量用力學(xué)量算符算符來描述。來描述。在一個(gè)確定的量子體系中測(cè)量某些力學(xué)量的值，在一個(gè)確定的量子體系中測(cè)量某些力學(xué)量的值， 不一定有確定值。若其中某個(gè)力學(xué)量有確定的不一定有確定值。若其中某個(gè)力學(xué)量有確定的 測(cè)量值，則該波函數(shù)所描述的狀態(tài)是該力學(xué)量測(cè)量值，則該波函數(shù)所描述的狀態(tài)是該力學(xué)量 的的本征態(tài)本征態(tài)。下面簡單介紹量子力學(xué)算

7、符和下面簡單介紹量子力學(xué)算符和 經(jīng)典力學(xué)中的力學(xué)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：經(jīng)典力學(xué)中的力學(xué)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：前面已經(jīng)從經(jīng)典自由前面已經(jīng)從經(jīng)典自由 粒子的波函數(shù)得出了粒子的波函數(shù)得出了 它應(yīng)滿足的方程，從它應(yīng)滿足的方程，從 中我們可得到些啟示，中我們可得到些啟示，),(2),(22trmttrikk從上式推導(dǎo)可知若有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：從上式推導(dǎo)可知若有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：EtikkEtixpxi kxkpxi pikkpi),(2),(22trmttrikk可得出：可得出：動(dòng)量動(dòng)量 算符算符kzjyix定義),(),(222trEtrmkk動(dòng)能動(dòng)能 算符算符222mT 力場(chǎng)中粒子的薛定諤方程力場(chǎng)中粒子的薛定諤方程)(rV

8、如果粒子在勢(shì)場(chǎng)如果粒子在勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)，能量：中運(yùn)動(dòng)，能量：)(22rVmpE),()(2),(22trrVmttrikk其薛定諤方程：其薛定諤方程：),(),(trHttrikk)(222rVmH定義哈密頓算符定義哈密頓算符： （也稱能量算符）（也稱能量算符）則薛定諤方程為：則薛定諤方程為：稱稱 為在坐標(biāo)表象中的勢(shì)能算符。為在坐標(biāo)表象中的勢(shì)能算符。)(rV 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程)()(),(:tfrtr設(shè)dttdfritfrrVrtfm)()()()()()()(222兩邊除以兩邊除以 可得：可得：)()(tfrdttdftfirrVrmr)()(1)()()(2)(122若作用在粒子

9、上的勢(shì)場(chǎng)若作用在粒子上的勢(shì)場(chǎng) 不顯含時(shí)間不顯含時(shí)間 t 時(shí)，時(shí)， 在經(jīng)典力學(xué)中這相應(yīng)于粒子機(jī)械能守恒的情在經(jīng)典力學(xué)中這相應(yīng)于粒子機(jī)械能守恒的情 況，薛定諤方程可用分離變量法求它的特解。況，薛定諤方程可用分離變量法求它的特解。)(rV)()()(222rErrVm由于空間變量與時(shí)間變量相互獨(dú)立，所以等式兩邊由于空間變量與時(shí)間變量相互獨(dú)立，所以等式兩邊 必須等于同一個(gè)常數(shù)，設(shè)為必須等于同一個(gè)常數(shù)，設(shè)為E則有：則有：)()(tEfdttdfictiEtf)(ln)exp()(EtiAtf可見可見E具有能量的量綱具有能量的量綱 與自由粒子波函數(shù)類比與自由粒子波函數(shù)類比 它代表粒子的能量。它代表粒子的能

10、量。把常數(shù)把常數(shù)A歸到空間部分，歸到空間部分， 薛定諤方程的特解為：薛定諤方程的特解為：)exp()(),(EtiArtr定態(tài)波函數(shù))()(),(),(rrtrtr對(duì)應(yīng)的幾率密度與時(shí)間無關(guān)。對(duì)應(yīng)的幾率密度與時(shí)間無關(guān)。由這種形式的波函數(shù)所描述的狀態(tài)稱之為定態(tài)。由這種形式的波函數(shù)所描述的狀態(tài)稱之為定態(tài)。 其波函數(shù)為定態(tài)波函數(shù)。其波函數(shù)為定態(tài)波函數(shù)。)()()(222rErrVm定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程下面將舉例求解處于定態(tài)下的粒子具有確定的能量處于定態(tài)下的粒子具有確定的能量E、粒子在空間的粒子在空間的 概率密度分布不隨時(shí)間變化，而且力學(xué)量的測(cè)量值的概率密度分布不隨時(shí)間變化，而且力學(xué)量的測(cè)量值的

11、 幾率分布和平均值都不隨時(shí)間變化。幾率分布和平均值都不隨時(shí)間變化。)exp()(),(EtiArtr18-9 一維無限深方勢(shì)阱一維無限深方勢(shì)阱以一維定態(tài)為例，求解已知?jiǎng)輬?chǎng)的定態(tài)薛定諤方程。以一維定態(tài)為例，求解已知?jiǎng)輬?chǎng)的定態(tài)薛定諤方程。 了解怎樣確定定態(tài)的能量了解怎樣確定定態(tài)的能量E，從而看出能量量子化是，從而看出能量量子化是 薛定諤方程的自然結(jié)果。薛定諤方程的自然結(jié)果。axxV0, 0)(axxxV, 0,)(已知粒子所處的勢(shì)場(chǎng)為已知粒子所處的勢(shì)場(chǎng)為：粒子在勢(shì)阱內(nèi)受力為零，勢(shì)能為零。粒子在勢(shì)阱內(nèi)受力為零，勢(shì)能為零。 在阱外勢(shì)能為無窮大，在阱壁上受在阱外勢(shì)能為無窮大，在阱壁上受 極大的斥力。稱為

12、一維無限深方勢(shì)阱極大的斥力。稱為一維無限深方勢(shì)阱。其定態(tài)薛定諤方程其定態(tài)薛定諤方程：)()()()(2222xExxVdxxdm)(xVxaoaxxxExdxxdm, 0)()()(2222axoxEdxxdm)()(2222在阱內(nèi)粒子勢(shì)能為零，滿足：在阱內(nèi)粒子勢(shì)能為零，滿足：在阱外粒子勢(shì)能為無窮大，滿足在阱外粒子勢(shì)能為無窮大，滿足：方程的解必處處為零方程的解必處處為零。axxx, 00)(根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件，在邊界上根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件，在邊界上0)(, 0) 0(a所以，粒子被束縛在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)所以，粒子被束縛在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。axoxkxmEdxxd)()(2)(2222在阱內(nèi)的薛定諤在阱內(nèi)

13、的薛定諤 方程可寫為：方程可寫為：類似于簡諧振子的方程，其通解：類似于簡諧振子的方程，其通解：)sin()(BkxAx代入邊界條件得：代入邊界條件得：0sin) 0 (BA0)sin()(BkaAa所以，所以，, 3 , 2 , 1; 0nnkaBn不能取零，否則無意義。不能取零，否則無意義。222mEk因?yàn)橐驗(yàn)? 3 , 2 , 1nnka, 3 , 2 , 122222nnmaEn結(jié)果說明粒子被束縛在勢(shì)阱中，能量只能結(jié)果說明粒子被束縛在勢(shì)阱中，能量只能 取一系列分立值，即它的能量是量子化的。取一系列分立值，即它的能量是量子化的。結(jié)論結(jié)論：, 3 , 2 , 1),sin()(naxnAx1

14、)(sin02dxaxnAaaA2由歸一化條件由歸一化條件axnaxnAxn0, 3 , 2 , 1),sin()(axxxn, 0, 0)(一維無限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子其波函數(shù)：一維無限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子其波函數(shù)：討論：# 零點(diǎn)能的存在零點(diǎn)能的存在 稱為基態(tài)能量。稱為基態(tài)能量。22212maE# 能量是量子化的。是由標(biāo)準(zhǔn)化條件而來。能量是量子化的。是由標(biāo)準(zhǔn)化條件而來。 能級(jí)間隔：能級(jí)間隔：22212) 12(manEEEnnn當(dāng)當(dāng) 能級(jí)分布可視為連續(xù)的。能級(jí)分布可視為連續(xù)的。0/2/,nEEnnnE)(xnn# 稱稱 為量子數(shù)；為量子數(shù)； 為本征態(tài)；為本征態(tài)； 為本征能量。為本征能量。o一

15、維無限深方勢(shì)阱中粒子的能級(jí)、波函數(shù)和幾率密度一維無限深方勢(shì)阱中粒子的能級(jí)、波函數(shù)和幾率密度穩(wěn)定的駐波能級(jí)穩(wěn)定的駐波能級(jí)n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)能量本征值能量本征值 對(duì)應(yīng)的能量本征函數(shù)對(duì)應(yīng)的能量本征函數(shù) 組成組成完備完備的集合。能量量子數(shù)的集合。能量量子數(shù)n從從1至至 nE)(xnnmmn , 0在坐標(biāo)表象中任何一個(gè)疊加態(tài)的波函數(shù)都可用這一在坐標(biāo)表象中任何一個(gè)疊加態(tài)的波函數(shù)都可用這一 組完備的本征函數(shù)展開。這組完備集合滿足組完備的本征函數(shù)展開。這組完備集合滿足正交性正交性。mnadxaxnaxma)sin()sin(20nmmn , 1所謂所謂疊加態(tài)疊加態(tài)，就是各本征態(tài)以一定的幾率、，就是各本征態(tài)以一

16、定的幾率、 確定的本征值、獨(dú)立完整的存在于其中。確定的本征值、獨(dú)立完整的存在于其中。實(shí)驗(yàn)上物理量的測(cè)量值，是各參加疊加態(tài)實(shí)驗(yàn)上物理量的測(cè)量值，是各參加疊加態(tài) 的可能的本征態(tài)的本征值?？梢杂帽菊鲬B(tài)的可能的本征態(tài)的本征值?？梢杂帽菊鲬B(tài) 出現(xiàn)的幾率來計(jì)算物理量的平均值。出現(xiàn)的幾率來計(jì)算物理量的平均值。18-10 勢(shì)壘貫穿（隧道效應(yīng)）勢(shì)壘貫穿（隧道效應(yīng)）axxxV,0,0)(axVxV0,)(0在經(jīng)典力學(xué)中在經(jīng)典力學(xué)中,若若 ,粒子的動(dòng)能粒子的動(dòng)能 為正為正,它只能在它只能在 I 區(qū)中運(yùn)動(dòng)。區(qū)中運(yùn)動(dòng)。0VE 0VVOaIIIxIII定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程 的解又如何呢？的解又如何呢？0),()(

17、212122xxEdxxdmaxxExVdxxdm0),()()(22202222axxEdxxdm),()(2323220, 0)()(12212xxkdxxdaxxkdxxd0, 0)()(221222axxkdxxd, 0)()(322322021)(2EVmk222mEk 令：三個(gè)區(qū)間的薛定諤方程化為：三個(gè)區(qū)間的薛定諤方程化為：0VVaoxIIIIII0,Re)(1xAexikxikx若考慮粒子是從若考慮粒子是從 I 區(qū)入射，在區(qū)入射，在 I 區(qū)中有入射波區(qū)中有入射波 反射波；粒子從反射波；粒子從I區(qū)經(jīng)過區(qū)經(jīng)過II區(qū)穿過勢(shì)壘到區(qū)穿過勢(shì)壘到III 區(qū)，區(qū)， 在在III區(qū)只有透射波。粒子在

18、處的幾率要大區(qū)只有透射波。粒子在處的幾率要大 于在處出現(xiàn)的幾率。于在處出現(xiàn)的幾率。0 xax其解為：其解為：axTexxk0,)(12axCexikx,)(3根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件：)0()0(21)()(32aa0201|)(|)(xxdxxddxxdaxaxdxxddxxd|)(|)(32求出解的形式畫于圖中。求出解的形式畫于圖中。定義粒子穿過勢(shì)壘的貫穿系數(shù)：定義粒子穿過勢(shì)壘的貫穿系數(shù)：2123| ) 0(| )(|aP) 02exp()2exp(| ) 0(| )(|112222kTakTaP) )(22exp()2exp(01EVmaak0VVaoxIIIIII隧道效應(yīng)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，勢(shì)壘

19、的寬度約時(shí)，勢(shì)壘的寬度約50nm 以上時(shí)，以上時(shí)， 貫穿系數(shù)會(huì)小六個(gè)數(shù)量級(jí)以上。隧道效應(yīng)在貫穿系數(shù)會(huì)小六個(gè)數(shù)量級(jí)以上。隧道效應(yīng)在 實(shí)際上已經(jīng)沒有意義了。量子概念過渡到經(jīng)典了。實(shí)際上已經(jīng)沒有意義了。量子概念過渡到經(jīng)典了。eVEV50 隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡STM由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于 表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱悖砻孢吔缰畠?nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱悖?而是在表面以外呈指數(shù)形式衰減，衰減長度越為而是在表面以外呈指數(shù)形式衰減，衰減長度越為1nm。只要將原子線度的極細(xì)探針只要將原子線度的極細(xì)探針 以及被研究物質(zhì)的表面作為以及被研究物質(zhì)的表面作為 兩個(gè)電極，當(dāng)樣品與針尖的兩個(gè)電極，當(dāng)樣品與針尖的 距離非常接近時(shí)，它們的表距離非常接近時(shí)，它們的表 面電子云就可能重疊。面電子云就可能重疊。若在樣品與針尖之間若在樣品與針尖之間 加一微小電壓加一微小電壓Ub電子電子 就會(huì)穿過電極間的勢(shì)就會(huì)穿過電極間的勢(shì) 壘形成隧道電流。壘形成隧道電流。隧道電流對(duì)針尖與樣品間的距離十分敏感。隧道電流對(duì)針尖與樣品間的距離十分敏感。 若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品 方向上