1、第3章線性時不變（LTI)連續(xù)系統(tǒng)的時域分析本章內容：3.1線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的固有響應與強迫響應3.2零輸入響應與零狀態(tài)響應3.3卷積積分和沖激響應既具有線性特性又具有時不變特性的系統(tǒng)稱為線性時不變系統(tǒng)，簡稱LTI系統(tǒng)。 系統(tǒng)分析的步驟：1、建立系統(tǒng)的數學模型2、利用數學工具解方程3、對所得的解賦予物理解釋3.1 線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的固有響應與強迫響應第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析一、一、 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的數學描述連續(xù)時間系統(tǒng)的數學描述 單輸入-單輸出系統(tǒng)的激勵為 ，響應為 ，則描述LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的激勵與響應之間關系的數學模型為n階常系數線性微分方程，即：式中 和 均為常數，第

2、3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 x t y t( )(1)()(1)1010( )( )( )( )( )( )nnmmnmmytayta y tb xtbxtb x t,0,1,ia in,0,1,jbjm1na 二、二、n n階常系數微分方程的求解法階常系數微分方程的求解法經典時域分析方法 所謂經典時域分析方法就是指借助高等數學中的經典結論，直接對微分方程求解其齊次解和特解的過程。第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析則微分方程的完全解可表示為hp( )( )( )y ty ty t其中h( )y t為方程的齊次解， 為方程的特解。p( )y t1、齊次解的求法齊次解滿足齊次方程 001

3、111tyatyatyatynnn 齊次解形式如下：h1( )(intiiytc e單實根時）式中ic將在求得全解后，由系統(tǒng)初始條件確定， i 取決于特征方程 11100nnnaaa12,n L表3.2-1列出了特征根取不同值時所對應的齊次解，其中的根 。 第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析表3.1-1 不同特征根所對應的齊次解形式（教材P50) 特征根 齊次解 單實根 r重實根 一對共軛復根 R重共軛復根 ( )hy ttCetrrrretCtCtC)(0011)sincos(21tCtCet121122000cos()cos().cos()RtRtRRRRtAtetAtetA t et其

4、中 、 和 iCiAi等為待定系數。2、特解的求法特解的形式主要取決于激勵信號，見表3.1-2第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析表3.1-2不同激勵所對應的特解形式(教材P50)激勵 備注B（常數）AA（待定常數） 不等于特征根 等于特征單根 R重特征根 所有特征根均不等于零 R重等于零的特征根( )x ttetp e10ttp tep e1110RtRtttRRp t eptep tep emt1110mmmmp tptp tp1110()Rmmmmtp tptp tpcost或sintcossinptqt所有特征根均不等于j( )pyt特解 經典方法求解LTI連續(xù)系統(tǒng)的n 階常系數線性微

5、分方程的齊次解和特解步驟如下：1、根據 n階常系數線性微分方程的齊次方程，求解齊次方程的特征根，并得出齊次解 的形式。2、根據激勵函數的形式及齊次方程的特征根，確定特解 的形式。3、將特解的形式代入 n階常系數線性微分方程，通過平衡方程兩邊的系數，從而求出特解的系數。4、將系統(tǒng)的初始狀態(tài)代入方程的全解，從而求出齊次解的系數。則系統(tǒng)的響應就是方程的全解，即 。第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析)(tyh)(typ)()()(tytytyph齊次解的函數形式僅依賴于系統(tǒng)本身的特征，而與激勵信號的函數形式無關，因此，在系統(tǒng)分析中齊次解常稱為系統(tǒng)的自由響應 (natural responses) 或

6、固有響應(inherent response)，固有響應的頻率稱為系統(tǒng)的固有頻率(inherent frequency),所以，固有頻率就是方程的特征根。特解的形式與系統(tǒng)有關，但主要取決于激勵信號，常稱之為強迫響應(imposed response)。第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析例3.1-1：寫出如圖3.1-1RLC電路關于 和的微分方程。第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 tus tu解: 根據基爾霍夫電壓定律和電流定律，先建立方程 )3(0)2() 1 (21121udtdiLuuudtdiLRiiiicscc對上面第二、第三兩式求導，考慮到：第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

7、ciicidtducc21可得：dtduciidtidLdtdiRs212121022221dtdudtidLcii根據上二式，整理可得： tutudttdudttuddttuds21)(222233第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析例3.1-2：一個連續(xù)系統(tǒng)的方程描述如下：系統(tǒng)初始狀態(tài)為 ，求系統(tǒng)的固有響應和強迫響應。 2 22)(2)(3)(tttytyty1)0(, 1)0(yy解: 根據微分方程的齊次方程0232求出解齊次方程的特征根為2, 121故系統(tǒng)的固有頻率為2, 121由此可得出齊次解的形式為： 212( )() ( )tthy tc ec eu t第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)

8、的時域分析由激勵函數的形式及齊次方程的特征根，確定特解的形式。2210( )pytp tptp代入微分方程2 22)(2)(3)(tttytyty通過平衡方程兩邊的系數，從而求出特解的系數。得, 2, 112PP20P微分方程的特解為 2( )22pyttt則方程的全解2212( )() ( )22tty tc ec eu ttt第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析將系統(tǒng)的初始狀態(tài) 代入方程的全解得：1)0(, 1)0(yy121,2cc 則系統(tǒng)的響應就是方程的全解，即22( )(2) ( )22tty teeu ttt其中，齊次解常稱為系統(tǒng)的自由響應，特解的形式主要取決于激勵信號，常稱之為強

9、迫響應。第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析3.2 零輸入響應與零狀態(tài)響應根據線性系統(tǒng)的線性性質，一個線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的完全響應也可分為零輸入響應和零狀態(tài)響應。零輸入響應是激勵為零時僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所引起的響應，用 表示；零狀態(tài)響應是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，僅由輸入信號 所引起的響應，用 表示。這樣，LTI系統(tǒng)的全響應將是零輸入響應和零狀態(tài)響應之和，即( )xy t tf( )fyt xfy tytyt第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析零輸入、零狀態(tài)響應方法求解LTI連續(xù)系統(tǒng)的 n階常系數線性微分方程的具體步驟如下：1、 根據n階常系數線性微分方程的齊次方程，求解齊次方程的特征根，當齊次方

10、程的特征根為單根時，零輸入響應的形式 ，并將系統(tǒng)的初始狀態(tài)代入齊次方程的解，從而求出零輸入響應（齊次解）的系數。itniixxeCty1)()(tu2、根據激勵函數的形式及齊次方程的特征根，確定特解的形式。第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析3、將特解的形式代入n階常系數線性微分方程，通過平衡方程兩邊的系數，從而求出特解的系數。4、將系統(tǒng)的零初始狀態(tài)代入方程的零狀態(tài)響應解從而求出零狀態(tài)響應中齊次解部分的系數。則系統(tǒng)的響應就是方程的全解，即)()()(1tytueCtyPitniiff)()()(tytytyxf第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)的全響應可以分為自由響應和強迫響應，也可分為

11、零輸入響應和零狀態(tài)響應，它們的關系是：)()()(1tytueCtyPitniiitniixeC1)()(1tytueCPitniif自由響應 強迫響應 零輸入響應 零狀態(tài)響應第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 兩種分解方式有明顯的區(qū)別。雖然自由響應和零輸入響應都是齊次方程的解，但二者的系數各不相同， 僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所決定，而Ci要由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和激勵信號共同來確定。在初始狀態(tài)為零時，零輸入響應等于零，但在激勵信號的作用下，自由響應并不為零。也就是說，自由響應包含零輸入響應和零狀態(tài)響應的一部分。xiC第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析例3.2-1：一個連續(xù)系統(tǒng)的方程描述如下：系統(tǒng)初始

12、狀態(tài)為 ，求系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應。 2 22)(2)(3)(tttytyty1)0(, 1)0(yy解: 根據微分方程的齊次方程0232求出解齊次方程的特征根為2, 121由此可得出零輸入響應的形式為： )(tyxtxec1txec220t第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析將初始值代入，得：1)0(21xxxCCy12)0( 21xxxCCy解得零輸入響應的系數為2, 321xxcc零輸入響應的形式為)(tyxte3te220t特解的形式0122)(ptptptyp代入微分方程，通過平衡方程兩邊的系數，從而求出特解的系數：, 2, 112PP20P第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

13、 零狀態(tài)響應解的形式為：)(tyftfec1()()22tuectf222tt 將系統(tǒng)的零初始狀態(tài) 代入零狀態(tài)響應解得：0)0(, 0)0(yy0, 221ffcc則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應解為:)(tyf)(2tuet222tt系統(tǒng)的全響應解為：22)()2()(22tttueetytt第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析例3.2-2已知某LTI系統(tǒng) 的響應是（1）求系統(tǒng)零輸入響應和零狀態(tài)響應；（2）)()()(tftyty)()35()(2tueetytt若 ，求系統(tǒng) 的零輸入響應； )()()(tftyty10)0(y（3）求 的零狀態(tài)響應；) 2() () (tftyty（4）求 的零狀態(tài)響應

14、。)(2)()()(tftftyty第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析解：（1）由齊次方程 得齊次方程的特征根為故可得系統(tǒng)的零輸入響應為零狀態(tài)響應為011( )5( )txy te u t2( )3( )tfyteu t（2）0)()(tytyxx)()(tuCetytx(0)10y又10C 則可得此時系統(tǒng)零輸入響應( )10( )txy te u t第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析（3）由（1）得輸入f(t)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為:2( )3( )tfyteu t故輸入f(t-2)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為:2(2)( )3(2)tfyteu t（4）由（1）得輸入f(t)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為

15、:)(3)(2tuetytf輸入 時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為:)(tf 223( )6( )3 ( )ttdeu teu ttdt 第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析故輸入時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為:22( ) 6( )3 ( )23( )3 ( )ttfyteu tteu tt 第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析3.3 卷積積分和沖激響應3.3.1單位沖激響應和單位階躍響應1.定義： LTI連續(xù)系統(tǒng)，當其初始狀態(tài)為零時，輸入為單位沖激函數 時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，用h(t)表示。即：)(t( )0, ( )h tTtLTI)(th)(t0t) 1 ()(t零狀態(tài))(th2

16、、h(t)的求解方法第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析由于沖激響應h(t) 是 時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，所以微分方程可改寫為: 從方程可以看出，等式右邊不僅含有沖激函數項，還有其高階導數項。沖激響應h(t) 具有以下特點：( )( )f tt1010d( )d ( )d( )d ( )( )( )ddddnmnmnmh th tttaaa h tbbbtttttLL(1) 由于t0時， 及其各階導數均為零，此時等式右邊恒等于零，這時沖激響應與微分方程的零輸入響應有相同的形式；( ) t第3章 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析(2) 沖激響應h(t)的函數形式與 的值的相對大小有直接的關系，即 包含的

17、奇異函數項必須與等式右邊的各奇異項相平衡。n，m( )h t因此，在假定特征方程的特征根 均為單根的情況下，則:當 時，inmnm時，h(t)必須含有 的項；( ) t當n4 區(qū)間，0)()(21tftf綜上所述， 的結果如下：)()(21tftf), 4(04 , 2)4(212 , 010 , 2)2(21)2,(0)()(21tttftf第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2、當用定義式計算卷積積分時，正確地選取積分的下限和上限是關鍵的步驟?？煞忠韵聨追N情況考慮：)(2tf（1）若 ， 為無時限信號，卷積的結果仍是無時限信號，則上、下限可寫為：, )(1tf1212( )( )( )( )()

18、y tf tf tff td0t1212( )( )( )( )()y tf tf tff td0t第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析（2）若 為無時限信號， 為因信號，卷積的結果仍是無時限信號，則上、下限可寫為)(1tf)(2tf1212( )( )( )( )()ty tf tf tff td0t1212( )( )( )( )()ty tf tf tff td0t（3）若 ， 均為因果信號，則上、下限可寫為)(1tf)(2tf12( )( )( )0y tf tf t0t12120( )( )( )( )()ty tf tf tff td0t第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析（4）若 為因果信號

19、， 為反因果信號，則上、下限可寫為)(1tf)(2tf1212( )( )( )( )()ty tf tf tff td0t具體情況還要具體分析。12120( )( )( )( )()0y tf tf tff tdt例3.3-3 計算下列信號的卷積積分。（1）（2）（3）第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析tetf21)()()(2tuetft)()(21tuetft)()(2tuetft)()(21tuetft)()(2tuetft解 ： (1)（2）2()3122( )( )( )13ttttty tf tf te edee de2()12002( )( )( )( )() ( )tttttty

20、 tf tf teede u te deeu t（3）第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2()120332( )( )( )()()()( )11()( )33tttttty tf tf te ueu tde ute de u te de ute u t第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析三、 卷積的性質 1、交換律 卷積積分滿足交換律，即 上式說明兩信號的卷積積分與次序無關。 2、分配律 卷積積分滿足分配律，即 1221( )( )( )( )f tf tf tf t1231213( ) ( )( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf tf t3、結合律卷積積分滿足結合律，即 1

21、23123( ) ( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf t4、微分特性 兩個函數卷積后的導數等于其中一個函數的導數與另一個函數的卷積，即 證明： 同理可以證明 211212df ( )df ( )d( )( )( )( )dddttf tf tf tf tttt1212(1)221112dd( )( )( )()ddddf ()df ( )( )d( )( )( )ddf tf tff tttttff tf tfttt(1)112212df ( )d( )( )( )( )( )ddtf tftftftfttt第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析5、積分特性 兩個函數卷積后

22、的積分等于其中一個函數的積分與另一個函數的卷積，即 證明：同理可以證明 121212( )( )d( )d( )( )( )dtttffff tf tf121212( 1)1212( )( )d( ) ()dd( )()dd( )( )d( )( )ttttfffffff tff tft ( 1)121212( )( )d( )d( )( )( )ttffff tftf t第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析6、卷積的微積分 ()( )()()( )121212( )( )( )( )( )( )ijijjif tf tftftftft四、與奇異信號的卷積 1、與沖激函數的卷積 函數 與單位沖激函數

23、 卷積的結果仍然是函數 本身，即 。 證明： (3-67) 這個性質在信號與系統(tǒng)課程中有著很重要的用途，并且可以進一步擴展。 (1) 延時特性( )f t( )t( )f t( )( )( )f ttf t( )( )( ) ()d( ) ()d( )f ttftf ttf t 000( )()( ) ()d()f tt tft tf t t 第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 也可以利用以上的微分性質，可以得出：（2）微分特性00( )()()f tttf tt( )( )( )f ttf t00( )()()f tttf tt()()( )( )( )mmf ttft( )( )00( )()

24、()mmf tttftt第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2、與階躍函數的卷積 函數 與階躍函數 卷積的結果是相當于對函數 進行積分，即 。 證明：利用卷積的積分性質有 還有 所以 其實它對應著卷積積分中的積分特性。 ( )f t( )u t( )f t( 1)( )( )( )f tu tft( 1)( 1)( )( )( )( )( )( )f ttf ttf tu t( 1)( 1)( 1)( )( )( )( )( )f ttfttftt( 1)( )( )( )( )df tu tftf第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析五、卷積的性質在求解卷積運算中的應用例3.3-4 求 的解。解：2e(

25、)( )tu tu t( 1)2222220e( )( )e( )e( )de1eed( )( )( )022tttttu tu tu tutu tu tu t例3.3-5 求解圖3.1中 ， 函數卷積 的結果。 ( )f t( )g t( )( )f tg t圖3.1 例3.3-5圖第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析解：由于 ， ( )( )(1)f tu tu t( )2 ( )g tu t( )( )f tg t(-1)(1)( )( )ftgt( 1)( )( )(1) (1)fttu ttu t(1)( )2 ( )gtt( 1)(1)( )( ) ( )(1) (1) 2 ( )ftg

26、ttu ttu tt結果的圖形如圖3.1(c)所示。2( )2(1) (1)tu ttu t第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析六、六、 系統(tǒng)的卷積分析法系統(tǒng)的卷積分析法 ( )( )( )fytf th t略證：任一連續(xù)信號 可以分解成一系列矩形脈沖之和，把激勵分解為許多高度為 ，寬度為 的窄脈沖之和。在 的極限情況下，此時可寫為： tf()f n()(1)u tnu tn 1nu tnu tnf tf n 0nd , ( )* ( )f tftdf tt 第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析考慮任意激勵信號 ，若LTI系統(tǒng)在窄脈沖作用下的零狀態(tài)響應為 ，則根據線性非時變系統(tǒng)的零狀態(tài)線性性質和平移不變性

27、，在以上一系列窄脈沖作用下，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應近似為第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析)(tf()nh tn ()fnnytf nh tn 在 的極限情況下，則有：0nd , ( )* ( )fytfh tdf th t3.3.3 沖激響應表示的系統(tǒng)特性 由于沖激響應 直接描述了系統(tǒng)的特性，因此對于各類系統(tǒng)及相互組合的系統(tǒng)，完全可以對各個子沖激響應進行研究后，得出總的沖激響應 。一、級聯系統(tǒng)的沖激響應 幾個系統(tǒng)相互級聯，如圖3.18所示。假定第一級的沖激響應為 第二級的沖激響應為 ，總的沖激響應為 。( )h t( )h t1( )h t2( )h t( )h t圖圖3.2 級聯系統(tǒng)的沖激響應模型級

28、聯系統(tǒng)的沖激響應模型第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 從圖3.2可以得到以下的結論： 121211( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )y tx th ty tx th th tx tx th t1( )( )Niih th t 式中的( )ih t表示各子系統(tǒng)的沖激響應，共有N級級聯。12( )( )( ) ( )( )h ty tx th th t14444 424444 4 3 由此得出，對于級聯系統(tǒng)，系統(tǒng)總的沖激響應為各自沖激響應的卷積積分，即第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 幾個系統(tǒng)相互并聯，如圖3.3所示。假定第一個的沖激響應為 ，第二個的沖激響應為 ，總的沖激響

29、應為 。1( )h t2( )h t( )h t圖圖3.3 并聯系統(tǒng)的沖激響應模型并聯系統(tǒng)的沖激響應模型二、并聯系統(tǒng)的沖激響應由圖3.3可以得到以下的結論：12111222( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )y tx tx tx tx th ty tx th tx th tx tx th t第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 由此得出，對于并聯系統(tǒng)，系統(tǒng)總的沖激響應為各自沖激響應的和，即1( )( )Niih th t( )ih t12( )( )( ) ( )( )h ty tx th th t14444 424444 4 3 式中的 表示各子系統(tǒng)的沖激響應，共有N級并聯。