1、第10章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定與振動10.1 結(jié)構(gòu)屈曲問題概述 工程中由于結(jié)構(gòu)失穩(wěn)而導(dǎo)致的事故時有發(fā)生，1907年加拿大魁北克大橋桁架下弦桿失穩(wěn)毀橋和1922年美國華盛頓劇院薄壁大梁失穩(wěn)倒塌均釀成慘劇。隨著工程結(jié)構(gòu)向高層、大跨度方向發(fā)展以及大量新型、高強、輕型超薄結(jié)構(gòu)的廣泛應(yīng)用，結(jié)構(gòu)的部件或整體失穩(wěn)的可能性增大。除了壓桿失穩(wěn)外，各種實際工程結(jié)構(gòu)，如拱、剛架、窄梁、薄壁柱、薄板、扁殼、圓柱殼等都可能產(chǎn)生失穩(wěn)或稱屈曲。結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題雖有各種不同定義，但都是研究系統(tǒng)在外界微小干擾時系統(tǒng)狀態(tài)是否也微小的問題。結(jié)構(gòu)的屈曲問題可大致分為如下幾種類型33：1 據(jù)結(jié)構(gòu)承載形式分為靜力屈曲和動力屈曲，后者由于時間參數(shù)的引

2、入而更復(fù)雜。2 結(jié)構(gòu)屈曲時的材料性質(zhì)分為彈性屈曲、塑性屈曲和彈塑性屈曲。后者由于彈塑性交界處材料性質(zhì)的變化使理論分析變得十分困難。3 按屈曲的性質(zhì)（參照靜力屈曲的研究成果和方法）分為：分叉屈曲，極值屈曲和跳躍屈曲（snap through buckling）。4 按照屈曲后路徑是否穩(wěn)定分為：穩(wěn)定、不穩(wěn)定和同時具有穩(wěn)定及不穩(wěn)定后屈曲路徑的屈曲。5 根據(jù)外力與時間的關(guān)系分為自治系統(tǒng)屈曲和非自治系統(tǒng)屈曲。早在1744年歐拉（Euler,L.）就進行了彈性壓桿屈曲的理論計算。1889年恩格塞（Engesser,F.）給出了塑性穩(wěn)定的理論解。1891年布里安（Bryan,G.H.）作了簡支矩形板單向均勻

3、受壓的穩(wěn)定分析。薄壁桿件的彎扭屈曲問題在20世紀(jì)30年代也基本得到解決。對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題的長期研究，極大豐富和發(fā)展了經(jīng)典的彈性穩(wěn)定理論，已具有重大的工程實用價值。20世紀(jì)60年代和70年代開展的對動態(tài)屈曲浩瀚領(lǐng)域的深入研究，有可能揭示屈曲、分叉和混沌之間存在的內(nèi)在聯(lián)系。從非線性的角度出發(fā)，研究彈塑性系統(tǒng)內(nèi)屈曲向混沌的演化，具有十分重要的意義。應(yīng)力波在動力屈曲問題中的引入，較好地解釋了屈曲局部化現(xiàn)象。對于一個動力學(xué)系統(tǒng)，當(dāng)受到一個任意微小的擾動之后，若始終在原始形態(tài)附近的一個有界鄰域內(nèi)運動，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。喪失這一性質(zhì)的荷載為臨界荷載，與之密切相關(guān)的特征量還有屈曲模態(tài)和屈曲時間。由于時間參數(shù)的引

4、入，使動態(tài)屈曲較靜態(tài)屈曲復(fù)雜得多。但結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域目前仍注重于靜力屈曲的線性和非線性理論。采用大型有限元程序精細地分析屈曲和后屈曲過程，計及各種非線性效應(yīng)的影響，仍是今后的一個發(fā)展方向。根據(jù)結(jié)構(gòu)經(jīng)受任意微小外界干擾后，能否恢復(fù)初始平衡狀態(tài)，可把平衡狀態(tài)分為穩(wěn)定、不穩(wěn)定和隨遇三種，研究結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的主要目的就在于防止不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的發(fā)生。由失穩(wěn)前后平衡和變形性質(zhì)，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)一般可分為如下兩大類：(a) 分支點失穩(wěn)(b) 極值點失穩(wěn)(c) 跳躍屈曲圖10.1.1 靜力屈曲分類第一類，完善體系（受壓桿均為理想軸壓桿）的分支點失穩(wěn)（分叉屈曲），失穩(wěn)前后平衡狀態(tài)所對應(yīng)的變形性質(zhì)發(fā)生改變，分支點處平衡具有兩重性，

5、分支點處的荷載即為臨界荷載；第二類，非完善體系（受壓桿或有初曲率或有偏心荷載等“初始缺陷”）的極值點失穩(wěn)（極值屈曲），失穩(wěn)前后變形性質(zhì)沒有變化，桿件產(chǎn)生附加撓度，力-位移關(guān)系曲線存在極值點，該點對應(yīng)的荷載即為臨界荷載（低于歐拉荷載，即兩端鉸支軸心壓桿的臨界荷載），達到時結(jié)構(gòu)被壓潰，故常稱之為壓潰荷載。工程中大量穩(wěn)定問題都屬于第二類，但因為第一類穩(wěn)定問題在數(shù)學(xué)上容易作為特征值問題處理，力學(xué)上表達明確，而且它的臨界荷載又近似地代表相應(yīng)的第二類穩(wěn)定問題的上限，所以多化為第一類失穩(wěn)問題來處理。值得一提的是還存在一類僅發(fā)生在扁平二桿桁架或扁平三鉸拱和扁殼的失穩(wěn)現(xiàn)象，當(dāng)荷載、變形達到一定程度時，可能從凸形

6、受壓的結(jié)構(gòu)翻轉(zhuǎn)成凹形的受拉結(jié)構(gòu)，這種急跳現(xiàn)象本質(zhì)上也屬極值點失穩(wěn)（跳躍屈曲）。穩(wěn)定性分析有基于小變形的線性理論和基于大變形的非線性理論。非線性理論考慮有限變形對平衡的影響，分析結(jié)果與實驗結(jié)果較吻合，但分析過程復(fù)雜。不管是第一類穩(wěn)定問題，還是第二類穩(wěn)定問題，它們都是一個變形問題，穩(wěn)定計算都必須根據(jù)其變形狀態(tài)來進行，有時還要求研究超過臨界狀態(tài)之后的后屈曲平衡狀態(tài)。10.2 桿件結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計算10.2.1 壓桿穩(wěn)定計算方法分析分支點失穩(wěn)時，常用靜力法和能量法來確定臨界荷載。靜力法根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征（即平衡形式的二重性），尋找平衡路徑交叉的分支點，可精確得到理論上的臨界荷載值。不論是有限自由度體系

7、還是無限自由度體系，都需要截取隔離體，列平衡方程。前者是代數(shù)方程，后者得出撓曲線近似微分方程，據(jù)此轉(zhuǎn)化成穩(wěn)定特征方程，從中求得最小特征根，即為臨界荷載Pcr 。能量法根據(jù)臨界狀態(tài)的能量特征（即勢能為駐值，且位移有非零解）提出的，它為復(fù)雜穩(wěn)定問題提供近似解法。其計算精度取決于所選彈性曲線與實際撓曲線的接近程度（Pcr計算結(jié)果總是偏高），不僅必須滿足位移邊界條件，也應(yīng)盡可能滿足力的邊界條件。往往取橫向荷載下的撓曲線或級數(shù)形式的曲線作為近似撓曲線。實施步驟歸納為：(1)假設(shè)壓桿失穩(wěn)時的彈性曲線；(2)寫出應(yīng)變能和外力功的表達式；(3)利用勢能駐值條件建立位移（或獨立參數(shù)）的齊次方程組；(4)由位移有

8、非零解的條件，得穩(wěn)定方程D = 0及其最小特征值Pcr 。在穩(wěn)定狀態(tài)下，微小的擾動使體系在原平衡位置作固有振動，其振動頻率將隨壓力的大小而有所不同，當(dāng)壓力達到某一臨界值時，微小振動的頻率將趨于零。因此，研究平衡穩(wěn)定性的動力準(zhǔn)則就轉(zhuǎn)化為自振頻率的動力特性計算，據(jù)此確定臨界荷載的方法稱動力法。 例1 圖10.2.1所示中心受壓剛性桿，總質(zhì)量為m ，沿桿長l均勻分布；上端自由，下端彈性固定，彈簧的轉(zhuǎn)動剛度為c。失穩(wěn)時該單自由度體系轉(zhuǎn)動了角度并處于平衡狀態(tài)。試求臨界荷載值Pcr，并分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解：一、靜力法對于新的平衡狀態(tài)（轉(zhuǎn)角為），由靜力平衡條件 對于微小位移，有sin，上式改寫成：

9、(10.2.1)由于失穩(wěn)時，0，只有臨界荷載 。二、能量法體系總勢能表達式為 =U+V其中：外力勢能為V=-P=-Pl(1-cos)；彈簧的彈性勢能（應(yīng)變能）為U=c2/2 圖10.2.1 例10-1圖故體系總勢能為 =c2/2-Pl(1-cos) 令 =0，并注意到變分的任意性，得 c-Plsin=0 (10.2.2) 因此， 或?qū)懗?（其中 ）為了進一步判斷平衡的穩(wěn)定性，要研究2=(c-Plcos)2的正負(fù)號（2恒為正）。當(dāng) Pc/l時，只有=0才能滿足式（10.2.2），這時c-Plcos0,平衡狀態(tài)穩(wěn)定。當(dāng)P=c/l，也只有=0才能滿足式（10.2.2），這時c-Plcos=0，平衡狀

10、態(tài)是隨遇的。僅當(dāng)Pc/l時，因sin，除零解外有多解，使c-Plcos0，平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。三、動力法34設(shè)剛性桿的微段dz質(zhì)量為dm。根據(jù)達朗伯原理，所有力對桿下端A取矩，列動平衡方程，得體系的運動方程： 或 （10.2.3）其中 由式（10.2.3）可知，自振頻率 ；而臨界狀態(tài)時 =0即 （結(jié)果與前一致）。單根等截面彈性壓桿在各種剛性支承理想約束下的臨界荷載，已由材料力學(xué)求得，據(jù)此可估計彈性支承壓桿的臨界荷載值范圍。桿系結(jié)構(gòu)中其它桿件對壓桿的作用也可因此簡化成彈性支承的作用。對于階梯形變截面壓桿，可分段列微分方程，并聯(lián)立求解；對于截面按指數(shù)規(guī)律變化的有實用價值的壓桿，可通過求解變系數(shù)微分

11、方程得出穩(wěn)定方程。對于彈性介質(zhì)上的壓桿，用能量法確定其臨界荷載較為方便。 例2 試求圖10.2.2a所示桿件體系壓桿失穩(wěn)時的臨界荷載。 解：結(jié)構(gòu)中，DC、CB、BA三根剛性桿是兩個自由度的中心壓桿，保持直線平衡狀態(tài)。若C、B鉸點出現(xiàn)水平位移y1、y2，則壓桿失穩(wěn)，出現(xiàn)新的平衡狀態(tài)。其它桿件對C、B點起彈性約束作用，可簡化為受彈性支承的壓桿穩(wěn)定問題求解。計算簡圖如圖10.2.2b所示。彈簧剛度系數(shù)k1、k2由EFG桿和HK桿的彎曲變形用單位荷載法確定：。 用靜力法求解。取為隔離體，由，得 再取為隔離體，由，得 考慮整體平衡，由 ，得 再由 ，得 整理得，以y1和y2為參數(shù)的齊次線性方程組由于壓桿

12、失穩(wěn)，y1和y2不全為零，則有穩(wěn)定方程展開上式，整理得 解得 取其最小根，并代入k1、k2值，得圖10.2.2 例10-2圖 例3 （1）單自由度非完善體系，試求極值點失穩(wěn)的臨界荷載6。 解：(1)按非線性理論計算設(shè)體系發(fā)生圖10.2.3b所示失穩(wěn)變形狀態(tài)，為有限值，剛性桿BD長l=h/cosh，得幾何關(guān)系 (a)由圖10.2.3c，有 b)圖10.2.3 例10-3圖考慮剛性桿平衡，由，得 將(a)、(b)式代入上式整理得 (c)由，得極值點位置： (d)極值點臨界荷載為： (e)由式(c)和式(e)作P-圖和Pcr-圖如圖10.2.4a、b。圖10.2.4 兩種理論計算曲線(2)按線性理論

13、計算由于是微量，并且由線性幾何關(guān)系，有 ，于是 得 ， 作不同偏角的P-關(guān)系曲線圖如圖10.2.4c。如上分析可見：初偏角影響臨界荷載，對穩(wěn)定性不利。非線性理論分析表明存在極值點失穩(wěn)，與實際吻合。線性理論下不存在極值點，計算出的Pcr偏大，不安全。非完善體系的臨界荷載應(yīng)由非線性理論確定。對于壓桿的非彈性屈曲，采用折算模量和切線模量計算，可分別得到實際臨界荷載的上下限。屈曲后強度由于結(jié)構(gòu)變形過大，承載能力增加較小，一般不予利用。10.2.2 典型桿結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性 組合壓桿 由于承重的需要或構(gòu)造上的原因而在工程施工中廣為應(yīng)用的組合壓桿，通常是由兩個型鋼（肢桿）用若干聯(lián)接件相聯(lián)組成的“空腹柱”，按其聯(lián)

14、接件形式分綴條式和綴板式兩種。組合壓桿的臨界荷載比截面和柔度相同的實腹壓桿的臨界荷載小，究其原因是組合壓桿中的肢桿僅在一定的節(jié)間距離由聯(lián)結(jié)件聯(lián)牢，屈曲時剪力產(chǎn)生的變形比較大。當(dāng)組合壓桿的節(jié)間數(shù)目較多時，其臨界荷載可用實體壓桿公式近似計算，但對公式中的剪切剛度項需另行處理，以反映聯(lián)接件的作用，并考慮剪切變形對失穩(wěn)臨界荷載的影響35。 圓環(huán)和圓拱 局部水壓力作用下的圓環(huán)和圓弧拱，豎向均布荷載作用下的拋物線拱及填土荷載作用下的懸鏈線拱等，當(dāng)外荷載較小時，都處于中心受壓狀態(tài)（忽略超靜定拱軸向變形影響）。當(dāng)荷載達到臨界值時，將失穩(wěn)而偏離原軸線位置，并同時產(chǎn)生彎矩。對于圓環(huán)和圓弧拱，用靜力法建立圓弧形曲桿

15、的彎曲平衡微分方程(用徑向位移w和荷載q表示)： 式中，d為微段兩端截面的相對轉(zhuǎn)角，R為半徑。令 ， 代入解得 （n=0,1,2,）當(dāng)n=2時，得q的最小正值，即臨界荷載: qcr=3EI/R3 兩鉸圓拱的失穩(wěn)有對稱和反對稱兩種形態(tài)，最小臨界荷載對應(yīng)于反對稱失穩(wěn)。但三鉸圓拱的最小臨界荷載通常是由對稱失穩(wěn)情況所控制。 窄條梁的側(cè)向穩(wěn)定 承受平面彎曲的梁為了增大其承載能力，經(jīng)常把截面制成高而窄的形式，這種窄條梁當(dāng)其荷載達到臨界值時（這時梁截面上的壓應(yīng)力達到臨界值），將喪失平面彎曲形式的穩(wěn)定性，梁將偏離原彎曲平面而同時發(fā)生斜彎曲和扭轉(zhuǎn)。因此需要根據(jù)新的平衡位置，建立兩個彎曲微分方程和一個扭轉(zhuǎn)微分方程

16、聯(lián)立求解，即得控制方程 令 ， 解得穩(wěn)定方程為 ，其最小正根為 于是得臨界彎矩為 ，可見與側(cè)向抗彎剛度EIy和抗扭剛度GIt均有關(guān)。 剛架的穩(wěn)定計算 剛架是梁柱組合的高次超靜定結(jié)構(gòu)，為土建工程中鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)和鋼結(jié)構(gòu)的主要結(jié)構(gòu)形式。剛架體系桿件多，在計算受壓桿的臨界荷載時需考慮桿件之間的相互作用。常用的計算方法有： (1) 簡化為單根彈性支承壓桿 將直接承受軸向壓力的桿件獨立出來，把其余部分的作用化為某種彈性支承，得到原體系的計算簡圖。但僅在彈簧剛度（或柔度）極易求得的情況下，例如只有一根桿件處于壓屈狀態(tài)，其余組成彈簧的桿件互不重復(fù)、互不干擾，才宜于作這種簡化。如圖10.2.5a將遇到確定彈簧

17、剛度的困難，但圖10.2.5b則不然，因為右柱為兩端鉸結(jié)壓桿。需要注意，右柱雖簡化成彈簧卻不提供反力，反而加劇側(cè)移，其剛度為負(fù)值。(2)位移法 此經(jīng)典解法是在位移法典型方程中考慮軸向壓力影響，修正剛度系數(shù)；令自由項都等于零；利用該齊次方程組具有非零解的條件得到剛架穩(wěn)定方程，可（查表）算出臨界荷載。(3)矩陣位移法(有限單元法) 對于壓桿單元，在普通單剛上疊加單元幾何剛度矩陣，以考慮軸向壓力對剛度的影響。整體剛度方程為（K-S）=0,方程右邊的荷載列陣為零矩陣。 根據(jù)失穩(wěn)時的靜力特征 0， 故 得 K-S=0，把臨界荷載問題轉(zhuǎn)化為求矩陣最小特征值問題（見4.4例4-11）。(a) (b) 圖10

18、.2.5 剛架穩(wěn)定計算簡圖10.3 薄板的彈性屈曲 薄板屈曲的微分方程式當(dāng)板的厚度t與最小寬度b的比值在1/801/100t/b1/51/3時，稱為薄板。薄板橫向剪力引起的剪切變形與彎曲變形相比，可忽略不計。假定等厚度薄板的材料是各向同性的勻質(zhì)體，且符合虎克定律。薄板屈曲的臨界荷載可通過求解中性平衡微分方程獲得，也可用能量法、變分法和有限元法求解。薄板的坐標(biāo)和應(yīng)力分量如圖10.3.1所示。計算實際工程的薄板問題時，常采用小撓度理論，并作如下三個基本假設(shè)：(1) 薄板具有一定的抗彎剛度，其垂直于中面的撓度w遠小于其厚度t,忽略彎曲引起的薄膜效應(yīng)。(2) 直法線假設(shè)。應(yīng)力分量z、zx和zy遠小于其

19、余三個應(yīng)力分量x、y和xy，前者引起的應(yīng)變可忽略。因此垂直于中面的直線段，彎曲后仍保持為無伸縮的直線，并垂直于彈性曲面。(3) 薄板彎曲時中面內(nèi)的各點都沒有平行于中面的位移，即為中性層。彎曲成的彈性曲面在xy面上的投影形狀保持不變。根據(jù)假設(shè)，薄板彎曲問題可簡化為平面應(yīng)力問題，變形特征可用線性偏微分方程描述。與桿件的屈曲不同，薄板屈曲的臨界荷載并不代表其破壞荷載，還需考慮其屈曲后強度?？紤]薄板中面力以及平行六面體表面由于微彎狀態(tài)具有的力矩、扭矩和剪力沿三個坐標(biāo)軸方向的平衡條件（圖10.3.2），可得到有關(guān)薄板屈曲的三個平衡方程式： (10.3.1)為了簡化，可進一步將三式組成一式： (10.3.

20、2)上式包含四個未知量，需考慮幾何條件和物理條件，補充三個方程后才能求解。 圖10.3.1 薄板示意圖 圖10.3.2 薄板中面內(nèi)力 分析薄板彎曲時的幾何關(guān)系，將幾何方程中的應(yīng)變分量用撓度w表示，代入物理方程（廣義虎克定律），得出用位移分量w表示應(yīng)力分量的彈性方程。在平行六面體的側(cè)面上應(yīng)力的合力矩就是作用在該側(cè)面上的各個內(nèi)力矩。于是積分得出三個力矩-位移方程： (10.3.3)式中， 是單位寬度板的抗彎剛度，相當(dāng)于梁的抗彎剛度EI；上式相當(dāng)于梁的彎矩-曲率關(guān)系式。將式（10.3.3）代入式（10.3.2），可得 或 (10.3.4)其中，是拉普拉斯算子。上式即薄板彈性屈曲的微分方程式，是以撓度

21、w為未知量的四階常系數(shù)線性偏微分方程。方程右邊項與中面內(nèi)力（荷載）有關(guān)，如果用薄板單位面積橫向荷載q替換，方程即為薄板彎曲的彈性曲面微分方程。 單向均勻受壓薄板的臨界荷載圖10.3.3為一四邊簡支的矩形薄板，在x軸方向承受均布壓力px（以拉為正）。假設(shè)板的支承條件容許板邊在板平面內(nèi)自由移動，當(dāng)板受壓時不致在板的中面內(nèi)引起附加的荷載。將Nx=-px，Ny=Nxy=0，代入式（10.3.4），得屈曲方程為 (10.3.5)由于沿板的簡支邊無撓度和無彎矩，不僅保持直邊，且其曲率為零，則邊界條件為： (當(dāng)x=0 和 x=a時) 和 (當(dāng)y=0和y=b時)設(shè)該屈曲方程的解為雙重三角級數(shù)： (10.3.6

22、)上式顯然滿足邊界條件，對上式的w求偏導(dǎo)數(shù)后代入式（10.3.5），得 (10.3.7)若Amn=0,則w=0，與中性平衡微彎狀態(tài)不符，只能中括號內(nèi)算式為零，即 (10.3.8)臨界荷載應(yīng)是使板保持微彎狀態(tài)的最小荷載，故取n=1,即在y方向板彎成一個半波，于是 (10.3.9)式中：屈曲系數(shù) ，可見該問題臨界荷載大小取決于板的尺寸a/b。由 ，得 ；代入上式，得 （當(dāng)a/b時，k接近于4）故最小的臨界荷載為 (10.3.10)但上式僅當(dāng)a/b是整數(shù)是才是正確的。否則應(yīng)由式（10.3.9）計算。由式（10.3.9）求得臨界應(yīng)力 (10.3.11)上式說明，臨界應(yīng)力與板的寬厚比的平方成反比，與板的

23、長度無關(guān)。 四邊固定正方形板單向均勻受壓屈曲如圖10.3.4所示一四邊固定的正方形板，在x方向均勻受壓。板的邊界條件為：在x=0和x=a處， 在y=0和y=a處，。討論該薄板屈曲時的臨界荷載。薄板屈曲問題同樣可以用能量法求解。求出薄板在中性平衡狀態(tài)時的總勢能（包含應(yīng)變能U和荷載勢能-W）后，就可用勢能駐值原理、瑞利-里茲法、迦遼金法和有限單元法求解薄板的臨界荷載。在線性理論中，薄板的應(yīng)變能可應(yīng)用材料力學(xué)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)比能表達式，并代入物理方程和彈性方程積分得出： (10.3.12)外力勢能等于外力所作功的負(fù)值，可取寬為dy的板條，視為軸心壓桿，先求得板條彎曲時外荷載所作的功，然后在整塊板積分，即

24、得 (10.3.13)設(shè) ，該位移函數(shù)滿足邊界條件。在求出w的各階導(dǎo)數(shù)后，代入式（10.3.12）和式（10.3.13）計算U和W，則總勢能為 由中性平衡概念和勢能駐值原理 求得臨界荷載為 用級數(shù)求出的精確解為 ，可見能量法結(jié)果偏大約5.9% 。 圖10.3.3 四邊簡支板單向均勻受壓 圖10.3.4 四邊固定方板單向均勻受壓 四邊簡支矩形板非均布壓力下屈曲 分析如圖10.3.5所示簡支矩形板（板厚為t）在軸向壓力和彎矩共同作用下的屈曲問題。設(shè)邊緣最大壓應(yīng)力為1，離板上邊緣為y處的應(yīng)力為 (10.3.14)當(dāng)為壓應(yīng)力時取為正值，均勻受壓時=0，純彎曲時=2，壓彎共同作用時02。 矩形板在單向受

25、壓時將屈曲成幾個相等的半波并形成與x軸垂直的直的節(jié)線，因此可把每一個半波的板段看成是一個四邊簡支的矩形板，即把相鄰兩節(jié)線看成是兩簡支對邊，在a范圍內(nèi)在x方向只出現(xiàn)一個半波。取一個滿足簡支邊邊界條件的位移函數(shù)： 用能量法求解?？倓菽鼙硎緸? = U-W 其中，U用式（10.3.12）計算得：式中，i =1, 2, 3, , 而j只取使（i+j）為奇數(shù)時的數(shù)值。 在求得總勢能后，由可得包含Ai的齊次代數(shù)方程組，再由系數(shù)行列式等于零求得臨界應(yīng)力 (10.3.15)在=2的純彎曲中，當(dāng)a/b=2/3時，k值最小。因此，一塊長板在純彎曲時可屈曲成許多長度為2b/3的半波。在一定的荷載作用下（為定值），屈

26、曲系數(shù)k隨板的長寬比而變化。除純彎曲外，其余各種值時，最小k值均發(fā)生在a/b=1.0時。圖10.3.5 矩形板非均勻受壓 (a) 四邊簡支方板x向均勻受壓 (b) 屈曲后的應(yīng)力分布 圖10.3.6 薄板屈曲后應(yīng)力 單向受壓板的屈曲后性能薄板的屈曲荷載不是它的破壞荷載，它的承載能力可大大超過其臨界荷載。為了研究板的屈曲后性能，必需應(yīng)用板的有限變形理論（大撓度理論）。假定薄板的撓度遠小于中面尺寸，則在板的有限變形理論中，除了應(yīng)考慮薄膜應(yīng)變外，其它小撓度理論的基本假設(shè)仍屬有效?？紤]平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件，并利用廣義虎克定律，可導(dǎo)出卡門板的大撓度方程。板的大撓度微分方程組無法求得精確的解析解，只能得出

27、近似解和數(shù)值解。用迦遼金法可解得外加平均壓應(yīng)力和板中心撓度的關(guān)系式為 (10.3.16)式中，cr是彈性屈曲的臨界應(yīng)力。單向受壓、四邊簡支正方形薄板的屈曲后性能有：(1)當(dāng)荷載達到彈性屈曲臨界應(yīng)力后，板開始側(cè)向變形，產(chǎn)生撓度，當(dāng)撓度為有限值時，板的剛度逐漸加大，產(chǎn)生屈曲后強度，板能繼續(xù)承載，與柱屈曲后的破壞不同。(2)板在屈曲后的應(yīng)力分布規(guī)律與屈曲前相比有兩個主要差別：屈曲前無y方向的正應(yīng)力y，而屈曲后有y，且在板的長度中間為拉應(yīng)力（薄膜拉應(yīng)力）；屈曲前x方向的正應(yīng)力x沿板寬均布，而屈曲后邊緣附近的正應(yīng)力x大于板寬度中間的x（圖10.3.6）。(3)在x方向，屈曲前各條纖維具有相同的剛度，屈曲

28、后邊緣部分的纖維具有較大的剛度，而中間部分的纖維剛度較差，因此屈曲后繼續(xù)施加的荷載大部分由剛度較大的邊緣部分來承擔(dān)，從而引起沿寬度方向應(yīng)力的不均勻分布。10.4 結(jié)構(gòu)振動微分方程近幾十年來結(jié)構(gòu)動力學(xué)由于有限元法、子結(jié)構(gòu)綜合法等方法的出現(xiàn)和數(shù)字計算機的廣泛應(yīng)用，已取得驚人的進展。但結(jié)構(gòu)動力學(xué)所依據(jù)的數(shù)學(xué)模型仍按系統(tǒng)參數(shù)的空間分布，分為離散型和連續(xù)型兩大類。離散系統(tǒng)的運動為常微分方程所支配，而連續(xù)系統(tǒng)的運動則為偏微分方程所支配。完全描述一個系統(tǒng)運動所需的獨立坐標(biāo)的最小數(shù)目稱為系統(tǒng)的自由度，對于完整系，自由度與廣義坐標(biāo)的數(shù)目相同。通常稱描述動力位移的數(shù)學(xué)表達式為結(jié)構(gòu)的運動方程。研究不同自由度系統(tǒng)運動

29、時，應(yīng)首先建立運動（振動）控制微分方程。 運動方程的建立 最直接而且方便的建立運動方程的方法是動靜法。該法根據(jù)達朗伯原理和采用等效粘滯阻尼理論，將慣性力、阻尼力假想地作用于質(zhì)量上，再考慮作用于結(jié)構(gòu)上的動荷載。于是作用于質(zhì)量上的所有力保持動力平衡，這樣就把動力問題轉(zhuǎn)化成假想的力系平衡的靜力問題來處理，用寫靜力方程的方法寫出體系的運動方程。當(dāng)進行體系的位移和內(nèi)力等響應(yīng)計算時，按動力平衡概念，仍可采用結(jié)構(gòu)靜力學(xué)方法計算。用動靜法（或稱直接平衡法）建立有限自由度體系運動方程的一般步驟為： 根據(jù)問題的具體情況和對計算精度的要求，確定動力自由度數(shù)目，建立計算模型（建模）。 建立坐標(biāo)系，給出各自由度的位移參

30、數(shù)。 沿質(zhì)量各自由度方向加上慣性力和阻尼力； 通過分析質(zhì)量平衡或考慮變形協(xié)調(diào)，建立體系的運動方程，具體方法有兩種：剛度法（列動力平衡工程）和柔度法（列位移方程)。剛度法取每一運動質(zhì)量為隔離體，分析質(zhì)量所受的全部外力。它既有動荷載、慣性力和阻尼力，還有體系變形所產(chǎn)生的阻止質(zhì)量沿自由度方向運動的恢復(fù)力（也稱約束反力、彈性力）。建立質(zhì)量各自由度的瞬時“動平衡”方程，即可得到體系的運動方程。柔度法以結(jié)構(gòu)整體為研究對象，假想加上全部慣性力和阻尼力，與動荷載一起在任意t時刻視作靜力荷載，用結(jié)構(gòu)靜力分析中計算位移的方法，求j自由度方向單位廣義力（Xj=1）作用下，第i(i=1,2,)自由度方向的位移系數(shù)ij

31、和荷載引起的i自由度方向位移iP，然后根據(jù)疊加原理列出該時刻第i自由度方向位移的協(xié)調(diào)條件，即可得到體系的運動方程。還可應(yīng)用虛位移原理和哈密頓原理，建立結(jié)構(gòu)體系運動微分方程36。對于更復(fù)雜的體系，特別是對質(zhì)量和彈性只在有限區(qū)域是分布的體系，不直接利用作用于體系內(nèi)的慣性力或保守力，而用體系的動能和位能的變分來代替這些力的作用，有時更能奏效。引入廣義坐標(biāo)qi的概念和拉格朗日系統(tǒng)，定義拉格朗日函數(shù)L=T-V（也稱動勢，其中T為體系動能，V為體系位能），則運動方程可取拉格朗日方程的形式，即 （10.4.1）式中，Qi*為與非有勢力（如阻尼力）相對應(yīng)的廣義力。上式構(gòu)成n個非齊次、非線性、二階微分方程組。非

32、線性微分方程組的一般解是不存在的，在給定情況下，可采用某種簡化假定，把方程線性化后再求解。 建立運動方程實例在實際問題中，可能有干擾力不直接作用在質(zhì)點上，如圖10.4.1a所示。這時用動靜法中的柔度法較為簡便。寫出質(zhì)點在各外力作用下的位移為 整理即得質(zhì)點m的振動微分方程： （其中 ） (10.4.2)對于典型的二層剪切型框架（圖10.4.1b），只考慮橫梁的質(zhì)量（m1和m2）,而不考慮其變形，層間剛度為k1和k2，不考慮柱的質(zhì)量。采用動靜法中的剛度法列其自由振動的運動方程時，可先求出結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，如 k11=k1+k2，k21=k12=-k2，k22=k2，考慮各質(zhì)量在水平方向上的動力平衡，

33、列出平衡方程，即得運動微分方程： (10.4.3)若對上述框架應(yīng)用拉格朗日方程?？紤]在自由振動中，體系雖不受任何外力，但應(yīng)把彈性反力作為質(zhì)點所受主動力看待，彈性反力為有勢力。設(shè)m1和m2的水平位移分別為w1(x,t)和w2(x,t)，這時動能T和位能（勢能）V分別為 以L=T-V代入式（10.4.1）可得運動方程： (10.4.4)與式（10.4.3）一致。 (a) 柔度法 (b) 剛度法建立運動方程實例用動靜法列運動方程時，也可以應(yīng)用虛位移原理。只是在列虛功方程時，需要把所有非理想約束的約束反力都看作主動力。如圖10.4.2a所示兩根剛桿AB與BC以鉸B相連。剛桿AB具有均布質(zhì)量，其集度為，

34、BC為無重剛桿。兩個彈簧剛度分別為K1、K2，兩個阻尼器的阻尼常數(shù)分別為c1、c2，軸向力N不隨時間變化。顯然，這是一個具有理想約束的單自由度體系，但體系較復(fù)雜。若用虛功原理列其運動方程，將更為方便37。選取B點的豎向位移Z(t)為廣義坐標(biāo)。當(dāng)以體系的平衡位置作為運動起始的零位置時，重量對運動不起影響。外力、彈性反力、阻尼力都視為主動力，再加上假想的慣性力和慣性力矩，體系受力及可能位移示于圖10.4.2b。其中，。暫不考慮軸力N影響（產(chǎn)生幾何剛度，可使廣義剛度減小），寫出諸外力在虛位移Z上所作的虛功為 由于虛位移Z是任意的，所以方括號內(nèi)必為零，即得出系統(tǒng)運動方程（簡化形式）： (10.4.5)

35、式中，廣義質(zhì)量，廣義阻尼系數(shù)，廣義剛度，廣義荷載，它們都對應(yīng)于該體系的廣義坐標(biāo)Z(t)。 (a) (b)圖10.4.2 例虛功原理應(yīng)用示 單自由度體系無阻尼自由振動微分方程 ，有阻尼自由振動微分方程 ，式中，k為衰減系數(shù)，2k=c/m，c為阻尼系數(shù)，m為質(zhì)量。阻尼比=k/=c/ccr。強迫振動微分方程： （不計阻尼）； （計阻尼）。 多自由度體系（不計阻尼）自由振動微分方程矩陣表達式：（柔度法）；（剛度法）。 微分方程一般解： 多自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動微分方程（不計阻尼）：（柔度法），（剛度法）多自由度體系有阻尼時的運動方程，一般形式為（剛度法）式中M、C、K為動力特性矩陣，分別

36、稱質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣（方陣），F(xiàn)為動荷載列陣。需要指出，體系運動方程中的柔度矩陣與剛度矩陣互為逆矩陣，但對應(yīng)矩陣元素不存在互為倒數(shù)的關(guān)系，而且柔度矩陣和剛度矩陣并不等同于力法或位移法中的柔度矩陣和剛度矩陣，因為前者的質(zhì)量自由度數(shù)不同于后者的基本未知量數(shù)。 無限自由度體系 梁自由振動基本微分方程 通解 自振頻率 ( i=1,2,3,；k為頻率特征值)振型函數(shù) 實際的無限自由度體系常用以下三種方法簡化為有限自由度體系：集中質(zhì)量法（將結(jié)構(gòu)的分布質(zhì)量按一定規(guī)則集中到結(jié)構(gòu)的某個或某些位置上，認(rèn)為其它地方?jīng)]有質(zhì)量，形成有限個質(zhì)點）；廣義坐標(biāo)法（當(dāng)用一系列滿足位移邊界條件的位移函數(shù)的線性組合來近似表示位移

37、曲線時，組合系數(shù)即為體系的廣義坐標(biāo)，其個數(shù)與自由度數(shù)相等，具體應(yīng)用如Ritz法和振型分解法）；有限單元法（將結(jié)構(gòu)劃分為若干個具有分布質(zhì)量的單元。體系的自由度數(shù)為單元結(jié)點可發(fā)生的獨立位移未知量的總個數(shù)）。此外，還可用其它能量法求連續(xù)分布質(zhì)量的無限自由度體系的基頻。10.5 結(jié)構(gòu)的動力特性動荷載是時間和位置（坐標(biāo)）的函數(shù)，有確定性與非確定性之分。結(jié)構(gòu)受確定性荷載（周期或非周期）作用時的響應(yīng)分析通常稱為結(jié)構(gòu)振動分析。結(jié)構(gòu)在非確定性荷載（隨機荷載）作用下的響應(yīng)分析，稱為結(jié)構(gòu)的隨機振動分析。脈動風(fēng)和地震地運動對建筑物產(chǎn)生的荷載以及車輛荷載都是隨機荷載，但已發(fā)生的地震作用等荷載（樣本）卻都是確定性荷載。在

38、動力分析中，結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)不僅與荷載的幅值及其變化規(guī)律有關(guān)，而且還與結(jié)構(gòu)的動力特性有關(guān)。由結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度分布和能量耗散等導(dǎo)出的結(jié)構(gòu)自振頻率、結(jié)構(gòu)振型、結(jié)構(gòu)阻尼，稱為結(jié)構(gòu)動力特性。對于動力特性相同的不同結(jié)構(gòu)，在相同的動荷載作用下，它們的動力響應(yīng)（位移、速度和加速度等）是一樣的。 結(jié)構(gòu)的自振頻率 結(jié)構(gòu)在外界干擾消失后仍在其靜力平衡位置附近繼續(xù)振動，這樣的振動稱為結(jié)構(gòu)的自由振動。自由振動時的頻率稱自振頻率（或固有頻率）。一般來說，自振頻率的個數(shù)與結(jié)構(gòu)的動力自由度數(shù)目相等。自振頻率按從小到大的順序排列成頻譜，不同類型的結(jié)構(gòu)，頻譜具有稀疏型或密集型等不同的特點。頻譜中最小的頻率稱為結(jié)構(gòu)的基本頻率（簡稱基

39、頻）。單自由度體系的自振頻率 = （k、m為結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量）。 (10.5.1)有阻尼自振頻率，小于無阻尼自振頻率，但二者差異甚小，實際分析中一般不計阻尼對頻率的影響。多自由度體系的自振頻率則由如下頻率方程（特征方程）求得：或 (10.5.2)式中，K、M都是結(jié)構(gòu)動力特性矩陣。質(zhì)量矩陣M有集中質(zhì)量矩陣和一致質(zhì)量矩陣之分，前者是對角陣，在分析中可消去轉(zhuǎn)動自由度，進行靜力凝聚。而一致質(zhì)量陣采用計算剛度系數(shù)時所用的插值函數(shù)，集成的方法也同剛度矩陣，因而有許多非對角線項，導(dǎo)致質(zhì)量耦合，在分析中必須包括所有的轉(zhuǎn)動和平移自由度。 結(jié)構(gòu)的振型 當(dāng)結(jié)構(gòu)按頻譜中的某一自振頻率作自由振動時，各質(zhì)點的位移相互間比

40、值不隨時間變化，任何時刻都保持特定的位移形狀的振動模式稱為結(jié)構(gòu)的主振型（簡稱振型）。與基頻對應(yīng)的振型稱結(jié)構(gòu)的基本振型。對線性系統(tǒng)（線彈性），結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)可用結(jié)構(gòu)振型的線性組合來表示。位移幅值向量的齊次方程（K-i2M）= 0或（M -i I）=0 (10.5.3)稱為振型矩陣方程，稱振型向量矩陣。振型向量具有正交性。n個自由度體系有n個振型向量i (i =1,2, n)，存在：和 (10.5.4)即振型向量對應(yīng)于不同自振頻率的振型向量之間存在著對質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的權(quán)正交。正交性可用來檢驗所求得的振型是否正確；在已知振型的情況下，可用于計算該振型對應(yīng)的自振頻率 。振型向量的正交性也是振型

41、疊加法計算動力響應(yīng)的理論依據(jù)。 結(jié)構(gòu)的阻尼 由于振動過程存在能量耗散，實際結(jié)構(gòu)的自由振動總是衰減的，直到最后恢復(fù)靜止的平衡。能量的耗散作用稱阻尼。產(chǎn)生阻尼的因素很多，也很復(fù)雜，如結(jié)構(gòu)材料的內(nèi)摩擦，各構(gòu)件連接處的摩擦以及周圍介質(zhì)的阻力等。阻尼的作用機理尚未搞清楚，目前通常采用的等效粘滯阻尼理論只是一種假設(shè)，即作用于質(zhì)量的阻尼力與質(zhì)量的運動速度成正比，與速度方向相反。在多自由度體系的運動方程中，引入阻尼矩陣C，其元素cij 的物理意義是：第j個位移方向單位速度所引起的第i個位移方向的阻尼力，稱為粘阻影響系數(shù)。在用振型疊加法時，為了使方程解耦，假設(shè)體系的阻尼矩陣對振型滿足正交性條件，并引入廣義粘阻系

42、數(shù)Cj* 。通常假設(shè)阻尼矩陣C為質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合，表達為：C = aM + bK，稱比例阻尼或瑞利（Rayleigh）阻尼，式中，a、b為兩個常數(shù)。則 (10.5.5)而，且，于是可得 ，在實際問題中通常根據(jù)兩個已知的不相等的j和由實驗測得的阻尼比j來計算a、b的值。10.6 振型疊加法和直接積分法 結(jié)構(gòu)體系運動方程結(jié)構(gòu)體系運動方程是一個二階線性微分方程組，方程表示與加速度有關(guān)的慣性力，與速度有關(guān)的阻尼力以及與位移有關(guān)的彈性力等左邊項與右邊項外荷載的動力平衡。方程用矩陣表示為 (10.6.1)式中右邊項，地震荷載表示為為地面運動加速度；風(fēng)荷載，第一項指紊流引起的受迫干擾力，第二

43、項指引起自激振動的空氣力；在橋梁車振運動方程中，右邊項表示車輛-橋梁的相互作用力等效到自由度r的作用力。在數(shù)學(xué)上，該運動方程可以用求解常系數(shù)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)過程來求得方程組的解。但矩陣階數(shù)高、方程耦聯(lián)，除非利用系數(shù)矩陣的特殊性質(zhì)，否則計算工作量相當(dāng)大。在實用上，主要采用兩種求解方法進行動力分析。一是頻域的振型疊加法（也稱振型分解法），二是時域的直接積分法（也稱逐步積分法）。初看起來，這兩種方法似乎完全不同，事實上它們有著密切的關(guān)系。振型疊加法本質(zhì)上是把平衡方程中的有限元位移（幾何坐標(biāo)）基變換為廣義位移（正則坐標(biāo)）基。實用有效的變換矩陣是振型向量矩陣。多自由度體系的動力位移一般主要由前幾階較低頻率

44、的振型組成，高階振型的影響較小，可只取少數(shù)幾個振型參與計算，使得到的新系統(tǒng)剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣帶寬比原來系統(tǒng)矩陣小，而且振型的正交性使原微分方程解耦，從而大大減少計算工作量。然而直接積分法在數(shù)值積分前沒有把方程變換成另一種形式，所需的運算次數(shù)直接正比于分析中的時間步數(shù)，所以求較短時間的響應(yīng)或作時間歷程的仿真，用直接積分法是很有效的。但有限元網(wǎng)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定了系統(tǒng)矩陣的高階和稀疏（優(yōu)化編碼所得到的最小帶寬是有限的），其分析計算量相當(dāng)大。 振型分解法 進行正規(guī)坐標(biāo)變換，把一個多自由度體系的n個耦合的運動方程，轉(zhuǎn)換成一組n個非耦合方程是動力分析振型疊加法的基礎(chǔ)。該法能用于解任何線性結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。

45、把結(jié)構(gòu)的位移向量Y按振型進行分解，阻尼用振型阻尼比表示，利用振型的正交性得到相互獨立的關(guān)于正則坐標(biāo)的n個單自由度運動方程，從而把n個自由度體系在任意動荷載作用下的響應(yīng)的計算問題簡化為n個單自由度體系的計算問題，在分別用杜哈梅積分求得各正則坐標(biāo)的解答后，再轉(zhuǎn)換為幾何坐標(biāo)。因此解法的實質(zhì)和關(guān)鍵就是將動位移Y分解為各主振型的疊加，求出各質(zhì)點位移后，即可計算其它動力響應(yīng)，如加速度、慣性力、動內(nèi)力等。方法步驟如下： 求體系的自振頻率和對應(yīng)的振型；對于無阻尼自由振動，矩陣運動方程歸結(jié)為特征問題，用式（10.5.2）和式（10.5.3）確定振型矩陣和頻率向量。 計算廣義質(zhì)量和廣義荷載 ，,；依次取每一個振型

46、向量i計算。然后用每個振型的廣義質(zhì)量、廣義力、振型頻率i和給定的振型阻尼比i寫出n個振型的解耦的運動方程： (10.6.2) 用杜哈梅積分求解正則坐標(biāo)下單自由度振動方程對荷載的振型響應(yīng)：（無阻尼）； （10.6.3） 計算體系的位移響應(yīng)向量（幾何坐標(biāo)）； 上式表示各振型貢獻的疊加。對于大多數(shù)類型的荷載，各個振型所起的作用一般是頻率最低的振型最大，高振型則趨于減小。因而疊加過程通常不需要包含所有的高振型，根據(jù)計算精度和可靠性要求，限定所要考慮的振型數(shù)。所求出的結(jié)構(gòu)位移時程函數(shù)可作為動力荷載作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的基本度量，其它響應(yīng)都能直接由位移求出。但在計算力時所包含的振型分量要比計算位移使更多一些，以確保