1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值問(wèn)題1 .利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域.(2)求f(x).(3)若求極值，則先求方程f(X)0的全部實(shí)根，再檢驗(yàn)f(X)在方程根的左右兩側(cè)值的符號(hào)，求出極值(當(dāng)根中有參數(shù)時(shí)，要注意討論根是否在定義域內(nèi))若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0的根的大小或存在情況，從而求解2 .求連續(xù)函數(shù)yf(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟：(1)求函數(shù)yf(x)在a,b內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.例1.(2018北京,18,13分)設(shè)函數(shù)f(

2、x)ax24a1x4a3ex.若曲線yf(x)在點(diǎn)1,f1處的切線與x軸平行，求a；(2)若f(x)在x2處取得極小值,求a的取值范圍.解析(1)因?yàn)閒(x)ax24a1x4a3ex,所以f(x)ax22a1x2ex，f(1)1ae.由題設(shè)知f'(1)=0,即1ae0,解得a1.此時(shí)f(1)3e0.所以a的值為1.(2)由(1)得f(x)ax22a1x2exax1x2ex.1.1一,右a-,則當(dāng)x,2時(shí)f(x)0;2a當(dāng)x2,時(shí)，f(x)0.所以f(x)在x2處取得極小值.11一右a一,則xQ2時(shí)，x20,ax1-x10,所以f(x)0,22所以2不是f(x)的極小值點(diǎn).1 綜上可知，

3、a的取值范圍是1,。2方法總結(jié)：函數(shù)極值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)已知導(dǎo)函數(shù)圖象判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).(2)已知函數(shù)求極值.求f'(x)一求方程f'(x)=0的根一列表檢驗(yàn)f'(x)在f'(x)=0的根的附近兩側(cè)的符號(hào)一下結(jié)論.(3)已知極值求參數(shù).若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處取得極值，則f'(x0)=0,且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)相反.例2.(2017北京，19,13分)已知函數(shù)f(x)excosxx.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)0,f(0)處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0

4、,上的最大值和最小值.2解析本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.(1)因?yàn)閒(x)excosxx,所以f(x)excosxsinx1,f(0)0.又因?yàn)閒(0)1,所以曲線yf(x)在點(diǎn)0,f(0)處的切線方程為y1.(2)設(shè)h(x)excosxsinx1,0,_上單調(diào)遞減2則h(x)excosxsinxsinxcosx2exsinx.當(dāng)x0,一時(shí)，h(x)0,所以h(x)在區(qū)間2所以對(duì)任意x0,-有h(x)h(0)0,即f(x)0.2所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0上單調(diào)遞減，2因此f(x)在區(qū)間0,上的最大值為f(0)1,最小值為f.222解題思路：(1)先求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)

5、的幾何意義求出切線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式求出切線方程。(2)設(shè)h(x)excosxsinx1,對(duì)h(x)求導(dǎo)，進(jìn)而確定h(x)的單調(diào)性，最后求出最值方法總結(jié)1 .求切線方程問(wèn)題：(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即切線的斜率；(2)求出指定點(diǎn)處的函數(shù)值；(3)求出切線方程.2 .利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性：(1)求出函數(shù)f(x)的定義域；(2)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)；令f(x)0得到f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；令f(x)0得到f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間例3.(2014北京，18,13分，已知函數(shù)f(x)xcosxsinx,x0.，2求證：f(x)0;sinx,(

6、2)若ab,對(duì)x0,恒成立，求a的最大值與b的最小值.x2解析(1)由f(x)xcosxsinx得f(x)cosxxsinxcosxxsinx.因?yàn)樵趨^(qū)間0上f(x)xsinx0,所以f(x)在區(qū)間0上單調(diào)遞減.，2，2從而f(x)f(0)0.sinx一.sinx(2)當(dāng)x0時(shí)，“sn上a”等價(jià)于“sinxax0"，“sUb”等價(jià)于xx“sinxbx0”.令g(x)sinxcx,則g(x)cosxc.當(dāng)c0時(shí)，g(x)0對(duì)任意x0,恒成立.2當(dāng)c1時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意x0,g(x)cosxc0,2所以g(x)在區(qū)間0,一上單調(diào)遞減.從而g(x)g(0)0對(duì)任意x0,-恒成22當(dāng)0c1時(shí)，存在唯一的Xo0,使得g(Xo)COSXoc0.g(x)與g(x)在區(qū)間0,上的情況如下2x0,x0x0x。，一2g(x)+0-g(x)因?yàn)間(x)在區(qū)間0,X0上是增函數(shù)，所以g(X0)g(0)0.進(jìn)一步，“g(x)0對(duì)任意x0,-恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)22綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)0時(shí)，g(x)0對(duì)任意x恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)c1時(shí)，g(x)0對(duì)任意x0,恒成立.2所以，若asmb對(duì)任意xx2.0,一恒成立，則a的取大值為一，b的取小值為1.2思路分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最