1、應(yīng)用圖形的旋轉(zhuǎn)變換巧解“難題”（一）正三角形類型在正ABC中，P為ABC內(nèi)一點，將ABP繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)600，使得AB與AC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖（1-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（1-1-b）中的一個CP中，此時AP也為正三角形。 圖（1-1-a） 圖（1-1-b）例1. 如圖：（1-1）：設(shè)P是等邊ABC內(nèi)的一點，PA=3， PB=4，PC=5，則APB的度數(shù)是_. 圖（1-1） 圖（1-2） 簡解：在ABC的外側(cè)，作BA=CAP，且A=AP=3，連結(jié)B。則BACAP。易證AP為正三角形，PB為RtAPB=AP+PB=+=1500（二）正方形類型在正方形ABC

2、D中，P為正方形ABCD內(nèi)一點，將ABP繞B點按順時針方向旋轉(zhuǎn)900，使得BA與BC重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，將圖（2-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（2-1-b）中的CP中，此時BP為等腰直角三角形。 圖（2-1-a） 圖（2-1-b）例2 . 如圖（2-1）：P是正方形ABCD內(nèi)一點，點P到正方形的三個頂點A、B、C的距離 分別為PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面積。 圖（2-1） 圖（2-2）簡解：作AED使DAE=BAP，AE=AP連結(jié)EP，則ADEABP（SAS） 同樣方法，作DFC且有DFCBPC。易證EAP為等腰直角三角形，又AP=1PE= 同理，PF=3

3、EDA=PBA，F(xiàn)DC=PBC 又PBA+PBC=900EDF=EDA+FDC+ADC= 900+900=1800點E、D、F在一條直線上。EF=ED+DF=2+2=4，在EPF中，EF=4，EP=，F(xiàn)P=3由勾股定理的逆定理，可知EPF為RtS正方形ABCD =SRtEPF+SRtEPA+SRtPFC=3+=8例3 .如圖（3-1）正方形ABCD中,邊長AB=，點E、F分別在BC、CD上,且BAE=300, DAF=150。求AEF的面積。(第十一屆希望杯邀請賽試題)圖（3-1）簡解： 延長CB至使得B=DF，連結(jié)A，則RtABRtADF（SAS）。AE =300 +150=450，F(xiàn)AE=

4、900 -300 -150=450易證AEFAE(SAS) EA =FEA=600，F(xiàn)EC=600, 在RtABE中, AB=，BAE=300BE=1, CE=-1, FE=2CE=2(-1), E=EF=2(-1)所以,SAEF= SAFE=AB·E=ÎÎ2(-1)=3-（三）等腰直角三角形類型在等腰直角三角形ABC中，C=Rt, P為ABC內(nèi)一點，將APC繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)900，使得AC與BC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖（3-1-b）中的一個CP為等腰直角三角形。 圖（3-1-a） 圖（3-1-b）例4如圖（4-1），在ABC中，ACB =900，BC=

5、AC，P為ABC內(nèi)一點，且PA=3，PB=1，PC=2。求BPC的度數(shù)。 圖（4-1） 圖（4-2）簡解：在RtABC的外側(cè)，作BC=ACP，且C=CP=2，連結(jié)P。則BCACP。易證RtCP為等腰直角三角形，在PB中，B=3，BP=1，P=2，由勾股定理的逆定理可知，PB為Rt為Rt，PB=900BPC=CP+PB=450+=1350例5. 如圖（5-1），在ABC中，BAC =900，AB=AC，ABC內(nèi)一點O，AO=2cm,如果把ABO繞A點按逆時針方向轉(zhuǎn)動900，使AB與AC重合，則O點經(jīng)過的路徑長為_。 圖（5-1）例6 如圖（6-1），五邊形ABCDE中， ABC=AED=900，

6、AB=CD=AE=BC+DE=1，則這個五邊形ABCDE的面積等于_。（2003年寧波市至誠杯競賽題） 圖（6-1） 圖（6-2）簡解：延長DE至使得E=BC，連結(jié)A，則AEABC（SAS） AB=CD=AE=BC+DE=1，CD =D CADAD（SSS）SABCDE=2 SCDA=2（11）=1（四） 三角形與圓混合類型將CAD繞A點按順時針方向旋轉(zhuǎn)600到BA，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，將圖（3-1-a）中的DC與BD組合在一條直線上，見圖（3-1-b）此時BD是個平角，AD為正三角形。 圖（3-1-a） 圖（3-1-b）例7 如圖（7-1），正三角形ABC內(nèi)接于O，P是劣弧上任意一點，PA=2，則四邊形ABPC的面