1、第二章 用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型第一節(jié)2、1幾種化標(biāo)準(zhǔn)形的方法2、1、1配方法2、1、2初等變換法2、1、3偏導(dǎo)數(shù)方法2、1、4雅可比方法第二節(jié)2、2用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形p 2 、 2 、 1 非退化線性替換的定義 2、2、2正交替換法2、2、3例子2、2 用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形2、2、1非退化線性替換的定義定義1、設(shè)x,x;y,y是兩組文字，系數(shù)在數(shù)域P中的一組關(guān)系式稱(chēng)為由x,x到y(tǒng),y的一個(gè)線性替換，或簡(jiǎn)稱(chēng)線性替換，如果系數(shù)行列式0，那么線性替換就稱(chēng)為非退化的。2、2、2正交替換法正交替換法：先寫(xiě)出二次型的矩陣A，在用正交替換X=TY將A對(duì)角化，從而TAT=，其中（i=1，2，,n為二次型f(x

2、,x,x的矩陣的所有特征值，同時(shí)有f(x,x,x=y+y+y2、2、3例子【例1】用正交變換化二次型f(x,x,x=2x+5x+5x+4xx-4xx-8xx為標(biāo)準(zhǔn)形，要求寫(xiě)出所用的正交替換（廣西師范大學(xué)*2001*（三）*15分）解：A= =x-12x+21x-10=(x-1(x-1(x-10=0x=1,1,10,(i x=1E-A=-= =(ii x=1010E-A=-=- =-<,> =+=+= -= 令V=（，）=令X=UY為所用正交變換，即Y=UXf(x,x,x=XAX=(UYAUY=YUAUY=YY=y+y+10y為標(biāo)準(zhǔn)形【例2】用正交變換化二次型f(x,x,x=x-2x

3、+x+4xx+8xx+4xx為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的正交變換。（廣西師范大學(xué)*2002*（三）*15分）解：f的矩陣A= =x-27x+-54=(x+3(x-6(x+3=0即A的特征根為6，-3，-3（i）x=66E-A=-= =(ii x=-3-3E-A=-= =- -<,> = = V=（，）=用正交變換為X=UY，即UZ=Yf(x,x,x=XAX=(UYAUY=YUAUY=YY=6y-3y-3y為標(biāo)準(zhǔn)形【例3】設(shè)實(shí)二次型q(x,x,x= 2x+2x+ax-2xx-2xx-2xx經(jīng)正交線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形3 y+3 y，求a并寫(xiě)出所有的正交線線替換。（廣西師范大學(xué)*2009*（七）

4、*20分）解：A= =0有(x-2(x-a+2-2(x-2-（x-a）=0X=0,3，3是A的特征值 -4a+2+4+a=0解之a(chǎn)=2（i）x=33E-A=-T= T=款待，好客，殷勤host -A= n- T2節(jié)目主持人3大堆，許多= =T- , > = 2hostile adj1不友好的，敵對(duì)的，懷有敵意的 故V=（be hostile to：對(duì)有敵意hot adj1使UAU= X=UY 即令=Uhotel 【例4】（1hour (x,x,x= x+3x+3x 2機(jī)構(gòu)，公司，商號(hào)3(H一議院vt,xadj家庭(務(wù)y,y,yn1住房，住房供給2(外、閥殼，防護(hù)罩+hover vi（(鳥(niǎo)

5、翱翔，盤(pán)旋2how 維向量x，使xAx<0,并對(duì)（1）中實(shí)二次型的矩陣Aconj然而，可是，不過(guò)維向量x，使xAx=-1.（廣西師范大學(xué)*2007*八1緊抱，摟2靠岸航行，緊靠行走,x adj巨大的，龐大的hull 1 船身，船體=（t-）(t-5(t-1 =0即A vt,5,1標(biāo)準(zhǔn)形有y-vn(作（嗡嗡聲）adj1人的，人類(lèi)的2有人性的，通人情的humanity n1總稱(chēng)(ii t=1E-A=- T=*humble adj1恭順的，謙卑的2地位低下的，卑賤的Tadj潮濕的 U=（T，T，Thumo(ur n幽默(感，詼諧AUY= YY= YY=YY=(y,yy= y- n獵人+hurl

6、 1 故=-1+hurricane n龍卷風(fēng)，暴風(fēng)(雨hurry ）證明：f(x=Xhurry up：趕緊，趕快=AM（R）（或R）2傷的感情<0故A nX=CY 使得f(x化為實(shí)二次型的典范式；fx= XAX=adj1( CACY= y+hygiene +hypothesis n1假設(shè)，假說(shuō)2前提-1的平方項(xiàng)一定存在。令=y=yvt冰鎮(zhèn)+iceberg n冰山，流冰idea n=1可得線性方程組：CX=Y C(C（*） 其中Y=(*中系數(shù)行列式 由Krammer法則，方程組（*n1認(rèn)出，識(shí)別，鑒定Y= 20 所以知X(x，x,x,x X(解是非零解即CX=Y 有唯一的非零解X這里X，使

7、CXn偶像，神像即f(x=XAX=0+0conj1如果，假如2是否if only-1-1=-(n-p<0故一定X(*ignorant adj1使XAXignore vt（1） 中實(shí)二次型為q(x,x,x= -x+3x+3x+4xx及矩陣為A=illness n病，疾病=+illuminate vt1照明，照亮2說(shuō)明，闡明3啟蒙，啟發(fā)=-1,0【例5】已知二次型f(x,x,x2加插圖于illustration n+2axx2+2xx+2bxx經(jīng)正交變換X=TY化為標(biāo)準(zhǔn)形y+2y1想象，想象力2，b的值及所用的正交變換矩陣T。（廣西師范大學(xué)*2006*二（3）*16分）解：f(x=XAX=,

8、x,xvt 故A= gadj巨大的，廣大的immigrant n（移民，僑民adj(從外國(guó)（）-b（=（）-（2總稱(chēng)移民）（ ） -2ab +immortal adj不朽的，永生的+immune adj1 整理有于是a=b=0R為參數(shù)值（i） -A=2- y= T=(ii *impatient adj1不耐煩的，急躁的2急切的+impel vt推動(dòng)，激勵(lì)，推進(jìn)+imperative adj1緊急的，必須立即做的2命令的，強(qiáng)制的(iii 2E-A=implement n(plvt T+implication nT=(T,T,T=為所求的正交變換矩陣?！纠?】已知二次型f(xvt進(jìn)口，引進(jìn)n進(jìn)口，輸入2(pl進(jìn)口商品，輸入額importance n重要(性(a>0通過(guò)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形f=y+2y+5y,求參數(shù)aimportant adj3）*16分解vt =1=2=2（adj不可能的，辦不到