1、5.2拉格朗日（Lagrange）插值可對插值函數(shù)選擇多種不同的函數(shù)類型，由于代數(shù)多項式具有簡單和一些良好的特性，例如，多項式是無窮光滑的，容易計算它的導(dǎo)數(shù)和積分，故常選用代數(shù)多項式作為插值函數(shù)。5.2.1 線性插值問題5.1 給定兩個插值點其中，怎樣做通過這兩點的一次插值函數(shù)？過兩點作一條直線，這條直線就是通過這兩點的一次多項式插值函數(shù)，簡稱線性插值。如圖5.1所示。圖5.1 線性插值函數(shù)在初等數(shù)學(xué)中，可用兩點式、點斜式或截距式構(gòu)造通過兩點的一條直線。下面先用待定系數(shù)法構(gòu)造插值直線。設(shè)直線方程為，將分別代入直線方程得：當時，因，所以方程組有解，而且解是唯一的。這也表明，平面上兩個點，有且僅有

2、一條直線通過。用待定系數(shù)法構(gòu)造插值多項式的方法簡單直觀，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一個方程組才能得到插值函數(shù)的系數(shù)，因工作量較大和不便向高階推廣，故這種構(gòu)造方法通常不宜采用。當時，若用兩點式表示這條直線，則有： （5.1）這種形式稱為拉格朗日插值多項式。，稱為插值基函數(shù)，計算，的值，易見 （5.2）在拉格朗日插值多項式中可將看做兩條直線，的疊加，并可看到兩個插值點的作用和地位都是平等的。拉格朗日插值多項式型式免除了解方程組的計算，易于向高次插值多項式型式推廣。線性插值誤差定理5.1 記為以為插值點的插值函數(shù)，。這里，設(shè) 一階連續(xù)可導(dǎo)， 在上存在，則對任意給定的，至少存在一點 ，使 （5

3、.3）證明令，因是的根，所以可設(shè)對任何一個固定的點，引進輔助函數(shù)：則。由定義可得，這樣至少有3個零點，不失一般性，假定，分別在和上應(yīng)用洛爾定理，可知在每個區(qū)間至少存在一個零點，不妨記為和，即和，對在上應(yīng)用洛爾定理，得到在上至少有一個零點，?，F(xiàn)在對求二次導(dǎo)數(shù)，其中的線性函數(shù))，故有代入，得 所以 即 5.2.2 二次插值問題5.2 給定三個插值點 ，,其中互不相等，怎樣構(gòu)造函數(shù)的二次的（拋物線）插值多項式？平面上的三個點能確定一條次曲線，如圖5.2所示。圖5.2 三個插值點的二次插值仿造線性插值的拉格朗日插值，即用插值基函數(shù)的方法構(gòu)造插值多項式。設(shè) 每個基函數(shù)是一個二次函數(shù)，對來說，要求是它的零

4、點，因此可設(shè)同理，也相對應(yīng)的形式，得將代入，得同理將代入得到和的值，以及和的表達式。 也容易驗證：插值基函數(shù)仍然滿足：二次插值函數(shù)誤差：上式證明完全類似于線性插值誤差的證明，故省略。插值作為函數(shù)逼近方法，常用來作函數(shù)的近似計算。當計算點落在插值點區(qū)間之內(nèi)時叫做內(nèi)插，否則叫做外插。內(nèi)插的效果一般優(yōu)于外插。例5.1 給定。構(gòu)造線性插值函數(shù)并用插值函數(shù)計算和解：構(gòu)造線性插值函數(shù)：分別將代入上式，得，準確值，準確值例5.2 給定。構(gòu)造二次插值函數(shù)并計算。解：，準確值例5.3 要制做三角函數(shù)的函數(shù) 值表，已知表值有四位小數(shù)，要求用線性插值引起的截斷誤差不超過表值的舍入誤差，試決定其最大允許步長。解：設(shè)最

5、大允許步長5.2.3 次拉格朗日插值多項式問題5.3 給定平面上兩個互不相同的插值點 ，有且僅有一條通過這兩點的直線；給定平面上三個互不相同的插值點，有且僅有一條通過這三個點的二次曲線；給定平面上個互不相同的插值點，互不相同是指互不相等，是否有且僅有一條不高于次的插值多項式曲線，如果曲線存在，那么如何簡單地作出這條次插值多項式曲線？分析：次多項式，它完全由個系數(shù)決定。若曲線通過給定平面上個互不相同的插值點，則應(yīng)滿足，事實上一個插值點就是一個插值條件。將依次代入中得到線性方程組： （5.4）方程組的系數(shù)行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式：當互異時，所以方程組（5.4）的解存在且惟一。

6、即問題5.3的解存在而且惟一。通過求解（5.4）得到插值多項式 ，因其計算量太大而不可取，仿照線性以及二次插值多項式的拉格朗日形式，我們可構(gòu)造次拉格朗日插值多項式。對于個互不相同的插值節(jié)點，由次插值多項式的惟一性，可對每個插值節(jié)點作出相應(yīng)的次插值基函數(shù)。要求是，的零點，因此可設(shè)由將代入，得到（5.5）作其組合： （5.6）那么不高于次且滿足，故就是關(guān)于插值點的插值多項式，這種插值形式稱為拉格朗日插值多項式。稱為關(guān)于節(jié)點的拉格朗日基函數(shù)。例5.4 給出下列插值節(jié)點數(shù)據(jù)，做三次拉格朗日插值多項式，并計算（0.6）。-2.000.001.002.0017.001.002.0017.00解：拉格朗日插

7、值基函數(shù)為：三次拉格朗日插值多項式： n次插值多項式的誤差定理5.2 設(shè)是上過的次插值多項式，互不相等，當時，則插值多項式的誤差： 其中(5.7)證明*：記。由于，因而是的根，于是可設(shè)下面的目標是算出，為此引入變量為的函數(shù)： （5.8）令，得令，由定義即至少有個零點，由于，由洛爾定理，在相鄰的兩個零點之間至少有一個零點，即至少有個零點。同理再對應(yīng)用洛爾定理，即至少有個零點，反復(fù)應(yīng)用洛爾定理得到至少有一個零點。另一方面，對求階導(dǎo)數(shù)，有令，有 得到 （5.9）由于的零點與的零點有關(guān)，因而為的函數(shù)。若|可表示為 （5.10）由（5.9）式可以看到，當 是不高于次的多項式時，即。對于函數(shù)，關(guān)于節(jié)點的拉

8、格朗日插值多項式就是其本身，故拉格朗日基函數(shù)滿足令，得到。定理5.2給出了當被插函數(shù)充分光滑時的插值誤差或稱插值余項表達式，但是，在實際計算中，并不知道的具體表示，難以得到的形式或較精確的界限，因此也難以得到界。在實際計算中，可對誤差運用下面的事后估計方法。給出個插值節(jié)點，任選其中的個插值節(jié)點，不妨取，構(gòu)造一個次插值多項式，記為。在個插值節(jié)點中另選個插值點，不妨取，構(gòu)造一個次插值多項式，記為。由定理2可得到 （5.11） （5.12）設(shè)在插值區(qū)間內(nèi)連續(xù)而且變化不大，有，則從而可得到 （5.13） （5.14）拉格朗日插值多項式的算法下面用偽碼描述拉格朗日插值多項式的算法。1：輸入：插值節(jié)點控制數(shù)，插