1、上次課內(nèi)容復(fù)習(xí)上次課內(nèi)容復(fù)習(xí)設(shè)設(shè) 415003112101A 121113121430B練習(xí)練習(xí). 5 671026 2 17 10AB 設(shè)設(shè) A 為為 n1 矩陣矩陣, 且且 ATA = 1, En 為為 n階單位矩陣階單位矩陣, B = En - - 2AAT , 證明證明: B 為對稱矩陣為對稱矩陣,且且 B2 = En . , 設(shè)設(shè) A, B 為為 n 階方陣階方陣, 為數(shù)為數(shù), 則有則有(1) |AT| = |A| ;(2) |A| = n |A| ;(3) |AB| = |A| |B| .nnnnnn*AAAAAAAAAA212221212111 行列式行列式 |A| 的各個元素的

2、代數(shù)余子式的各個元素的代數(shù)余子式 Aij 所構(gòu)成的如下方陣所構(gòu)成的如下方陣稱為方陣稱為方陣 A 的的, 試證試證AA = AA = |A|E .復(fù)數(shù)復(fù)數(shù), 記記.aAij)(A稱為稱為 A 的的 當(dāng)當(dāng) A = (aij) 為復(fù)矩陣時為復(fù)矩陣時, 用用表示表示 aij 的共軛的共軛aij;(1)BABA;(2)AA.(3)BAAB共軛矩陣有以下運算規(guī)律共軛矩陣有以下運算規(guī)律(設(shè)設(shè) A ,B 為復(fù)矩陣為復(fù)矩陣, 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù), 且運算都是可行的且運算都是可行的):在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，將兩個坐標(biāo)軸同中，將兩個坐標(biāo)軸同時繞原點旋轉(zhuǎn)時繞原點旋轉(zhuǎn) 角角( (逆時針為正，順時針為負(fù)

3、逆時針為正，順時針為負(fù)) )，任何一點任何一點 在兩個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別記為在兩個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別記為（x，y）與（）與（u，v）則不難得到）則不難得到就得到一個新的直角坐標(biāo)系就得到一個新的直角坐標(biāo)系 (見圖見圖 2. 4) 平面上平面上OMSQTPNRxyuv.cossin,sincosvuTPSQONyvuTQOSOMx利用矩陣乘法可將上述關(guān)系式表示為利用矩陣乘法可將上述關(guān)系式表示為(1).cossinsincosvuyx(2).cossinsincosyxvu將將 uOv 坐標(biāo)系繞原點旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系繞原點旋轉(zhuǎn) ，就又回到，就又回到 xOy 坐坐標(biāo)系標(biāo)系因此有因此有將將 （）代入（）得（）代

4、入（）得.cossinsincoscossinsincosvuvuvu若記若記,Acossinsincos,-BcossinsincosABBAE則不難驗證矩陣則不難驗證矩陣 A，B 有如下性質(zhì)有如下性質(zhì)設(shè)給定一個線性變換設(shè)給定一個線性變換) 1 (,22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay它的系數(shù)矩陣是一個它的系數(shù)矩陣是一個 n 階矩陣階矩陣 A，若記，若記,2121nnyyyYxxxX則線性變換則線性變換 (1) 可記作可記作Y = AX . (2)按克拉默法則，若按克拉默法則，若 | A | 0，則由，則由 (1) 可解出可解

5、出, )(|12211nniiiiyAyAyAAx即即 x1 , x2 , , xn 可用可用 y1 , y2 , , yn 線性表示為線性表示為)3(,22112222121212121111nnnnnnnnnnybybybxybybybxybybybx其中其中,|1jiijAAb 并且這個表示式是唯一的并且這個表示式是唯一的.(3) 是一個從是一個從 y1 , y2 , , yn 到到 x1 , x2 , , xn 的線性的線性變換，稱為線性變換變換，稱為線性變換 (1) 的的.若把若把 (3) 的系數(shù)矩陣記作的系數(shù)矩陣記作 B，則，則 (3) 也可記作也可記作X = BY (4)我們從我

6、們從 (2) 、(4) 兩式分析變換所對應(yīng)的方陣兩式分析變換所對應(yīng)的方陣 A與逆變換所對應(yīng)的方陣與逆變換所對應(yīng)的方陣 B 之間的關(guān)系之間的關(guān)系. 用用 (4) 代入代入(2)，可得，可得Y = A( BY ) = ( AB )Y ，由此可得由此可得 AB = E .用用 (2) 代入代入 (4) ，得，得X = B( AX ) = ( BA )X ，類似地有類似地有 BA = E . 于是有于是有AB = BA = E .由此我們引入：由此我們引入： 如果不存在滿足（）的矩陣如果不存在滿足（）的矩陣 B，則稱矩陣，則稱矩陣 A 是不可逆的是不可逆的 現(xiàn)在的問題是，矩陣現(xiàn)在的問題是，矩陣 A 滿

7、足什么條件時可逆？滿足什么條件時可逆？可逆矩陣的逆矩陣是否唯一，如何求逆矩陣？可逆矩陣的逆矩陣是否唯一，如何求逆矩陣？可逆矩陣有什么性質(zhì)？這是本節(jié)要討論的問題可逆矩陣有什么性質(zhì)？這是本節(jié)要討論的問題例例1 設(shè)設(shè),21212121,1111 BA,EBAAB .的一個逆矩陣的一個逆矩陣是是AB例例2 2 設(shè)設(shè),0112 A.的逆陣的逆陣求求A解解設(shè)設(shè) 是是 的逆矩陣的逆矩陣, dcbaBA則則 dcbaAB0112 1001 100122badbca , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba又因為又因為 0112 2110 0112 2110,1001 所以所以

8、.21101 AABAB ,A|A|A*11 由由 可得下述推論：可得下述推論：若若 n 階矩陣階矩陣 A 的行列式不為零，即的行列式不為零，即 | |A| | 0，則稱則稱 A 為為，否則稱，否則稱 A 為為.說明，矩陣說明，矩陣 A 可逆與矩陣可逆與矩陣非奇異是非奇異是等價的概念等價的概念.定理不僅給出了矩陣可逆的充要條件，而定理不僅給出了矩陣可逆的充要條件，而且給出了求矩陣逆矩陣的一種方法，稱這種方法為且給出了求矩陣逆矩陣的一種方法，稱這種方法為. 例例3 3 求方陣求方陣 的逆矩陣的逆矩陣. . 343122321A解解343122321 A, 0 .1存在存在 A, 2341211

9、A, 3331212 A同理可得同理可得, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA,222563462 A得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 上次課內(nèi)容復(fù)習(xí)上次課內(nèi)容復(fù)習(xí),331212321 A.1151531132 B解解331212321 A010430321 .,?,矩矩陣陣求求出出其其逆逆若若可可逆逆是是否否可可逆逆下下列列矩矩陣陣BA練習(xí)練習(xí)4 , 0 .A可可逆逆所所以以 33231332221231211111AAAAAAAAAAAAA. 315404133411151531132 B由于由于, 0

10、.B不不可可逆逆故故;1)(11AkkA設(shè)設(shè) A, B, Ai (i = 1, 2, , m) 為為 n 階可逆矩陣，階可逆矩陣，k 為非零常數(shù)，則為非零常數(shù)，則 A- -1, kA, AB, A1A2 Am , AT 也都是可逆矩陣，且也都是可逆矩陣，且(A- -1)- -1 = A;(AB)- -1 = B- -1A- -1, (A1A2 Am)- -1 = Am- -1 A2- -1A1- -1 ; (AT)- -1 = (A- -1)T ;11|A|A (Am)- -1 = (A- -1)m , m 為正整數(shù)為正整數(shù).C,B,A021102341010100001100001010,1

11、000010101A 解矩陣方程解矩陣方程AXB = C ，其中，其中 下面求下面求 A 和和 B 的逆矩陣的逆矩陣.由已知易得由已知易得 X = A- -1CB- -1 ,010100001021102341100001010X010100001B,0101000011B所以所以010100001021102341100001010X010100001021341102.201431012 設(shè)設(shè),2001,4121PAPP求求 An .因為因為 | P | = 2，所以，所以 P 可逆，可逆，由伴隨矩陣由伴隨矩陣法，得法，得.1124211P在等式在等式 AP = P 兩邊右乘兩邊右乘 P

12、- -1 ，得，得A = P P - -1 ，于是于是A2 = P P - -1 P P - -1 = P 2 P - -1， ，An = P n P - -1，而而,2001200120012,20012 , ,2001nn故故11242120014121nnA112421212121nn22242224212211nnnn.1222122211nnnn設(shè)設(shè) (x) = a0 + a1x + + amxm 為為 x 的的 m 次多次多項式，項式，A 為為 n 階方陣，記階方陣，記 (A) = a0 E + a1 A + + am A m ， (A) 稱為稱為.從而從而 A 的幾個多項式可以像

13、數(shù)的幾個多項式可以像數(shù) x 的多項式一樣相的多項式一樣相乘或分解因式乘或分解因式. 例如例如( E + A )( 2E A ) = 2E + A A2 ,( E A )3 = E 3A + 3A2 A3 .因為矩陣因為矩陣 Ak、 Al 和和 E 都是可交換的，所以都是可交換的，所以矩陣矩陣 A 的兩個多項式的兩個多項式 (A) 和和 f (A) 總是可交換的，總是可交換的，即總有即總有 (A) f (A) = f (A) (A)，如果如果 A = P P 1，則，則 Ak = P k P 1，從而，從而 (A) = a0 E + a1 A + + am Am = Pa0EP 1 + Pa1

14、P 1 + + Pam mP 1= P ( )P 1 .如果如果 = diag(1 , 2 , , n)為對角矩陣為對角矩陣,則，則， k = diag(1k , 2k , , nk)，從而，從而 ( ) = a0 E + a1 + + am m mnmmmnaaa212110111.)()()(21n111201111|P6，所以所以 P 可逆，可逆，從而從而 A = P P - -1， (A) = P ( )P - -1 .而而 (1) = 0， (2) = 10， (3) = 0，故故 ( ) = diag(0 , 10 , 0) . 設(shè)設(shè),321,111201111PAPP求求 (A)

15、 = A3 + 2A2 3A . (A) = P ( )P - -1*|10100111201111PP333231232221131211010000010610AAAAAAAAA32221232221200035AAAAAA而而,32111, 01111,31121322212AAA于是于是.1010001015)(AEAA2及都可逆，并求都可逆，并求.)2(11 EAA及 設(shè)方陣設(shè)方陣 A 滿足滿足,22OEAA證明證明 設(shè)設(shè),A321011324求求 B.已知方程變形已知方程變形 得得B,AAB2,2ABAB,)2(ABEA兩邊左乘兩邊左乘,)2(1 EA分解因式分解因式 得得AEAB

16、1)2()22()2(1EEAEA,)2(21EAE而而,1210113222 EA得得.9122692683)2(21EAEB1210113222EA用伴隨矩陣法求逆，用伴隨矩陣法求逆， 得得.461351341)2(1EA所以所以A- -1 + B- -1 = A- -1(E + AB- -1) = A- -1(BB- -1 + AB- -1)= A- -1(B + A)B- -1 .由由(A- -1 + B- -1)- -1 = A- -1(A + B)B- -1- -1 = B(B + A)- -1A.同理可證另一個等式也成立同理可證另一個等式也成立.(3)(3) (AB)- -1=

17、B- -1A- -1,(A1A2 販Am)- -1= Am- -1 販A2- -1A1- -1.逆陣的性質(zhì)逆陣的性質(zhì)逆陣的性質(zhì)逆陣的性質(zhì)(3)(3)可知可知乘積乘積:將將 A- -1 + B- -1 表示成已知的可逆矩陣的表示成已知的可逆矩陣的 設(shè)設(shè) n 階矩陣階矩陣 A, B, A + B 均可逆均可逆, 證明證明 (A- -1 + B- -1)- -1 = A(A + B)- -1B = B(B + A)- -1A.由于由于 AA = A A = |A|E , 所以所以|A| |A | = |A|n . (4)下面分三種情形討論下面分三種情形討論:(1) |A| 0, 即即 A 可逆可逆,

18、 (4) 式兩端除以式兩端除以 |A| 即即得得 |A | = |A|n- -1.(2) |A| = 0, 且且 A = O, 則則 A = O, 結(jié)論顯然成結(jié)論顯然成立立. 設(shè)設(shè) A 為為 n ( n 2 )階方陣階方陣,證明證明 |A | = |A|n- -1.(3) |A| = 0, 但但 A O, 反設(shè)反設(shè) |A | 0, 則則 A 可逆可逆,因而因而 A = (AA )(A )- -1 =(|A|E)(A )- -1 = |A|(A )- -1 = O,故故 A = O, 與與 A O 矛盾矛盾, 所以所以, |A | = 0 = |A|n- -1.對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣對于行數(shù)和

19、列數(shù)較高的矩陣 A, 運算時常采用運算時常采用, 使大矩陣的運算化成小矩陣的運算使大矩陣的運算化成小矩陣的運算. 我們我們將矩陣將矩陣 A 用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣, 每一個小矩陣稱為每一個小矩陣稱為 A 的的,以子塊為元素的形式以子塊為元素的形式上的矩陣稱為上的矩陣稱為. 例如將例如將 34 矩陣矩陣343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA,(1)343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa,(2)343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa.(3)34333

20、2312423222114131211aaaaaaaaaaaa 分法分法 (1) 可記為可記為,22211211AAAAA其中其中,aaA,aaA,aaaaA,aaaaA34332232312124231413122221121111即即 A11, A12, A21, A22 為為 A 的子塊的子塊,而而 A 形式上成為形式上成為以這些子塊為元素的分塊矩陣以這些子塊為元素的分塊矩陣. ,BBBBB,AAAAAsrsrsrsr11111111設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 與與 B 的行數(shù)相同、列數(shù)相同的行數(shù)相同、列數(shù)相同, 采用采用相同的分塊法相同的分塊法, 有有其中其中 Aij 與與 Bij 的行數(shù)相同、

21、列數(shù)相同的行數(shù)相同、列數(shù)相同, 那么那么.BABABABABAsrsrssrr11111111,AAAAAsrsr1111 為常數(shù)為常數(shù),那么那么 設(shè)設(shè).1111srsrAAAAA,BBBBB,AAAAAtrtrstst11111111 設(shè)設(shè) A 為為 ml 矩陣矩陣, B為為 ln 矩陣矩陣, 分塊成分塊成,CCCCABsrsr1111其中其中tkkjikij.,r,j,s;,iBAC111其中其中 Ai1 , Ai2 , , Ait 的列數(shù)分別等于的列數(shù)分別等于 B1j , B2j , , Btj 的行數(shù)的行數(shù), 那么那么 設(shè)設(shè),B,A021114011021010110110121001

22、00001求求 AB.把把 A，B 分塊成分塊成,EAOEA11011012100100001,BBEBB2221110211140110210101則則,BABBAEBBBEBEAOEAB22121111112221111而而11012101112121111BBA11012043,1142,BA133302141121221于是于是.AB1311334210210101設(shè)設(shè),AAAAAsrsr1111則則.TT1T1T11TsrrsAAAAA,21sAAAA設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣階方陣, 若若 A 的分塊矩陣只有在主對的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊角線上有非零子塊, 其余子塊都為

23、零矩陣其余子塊都為零矩陣, 且非零且非零子塊都是方陣子塊都是方陣, 即即其中其中 Ai ( i = 1, 2, , s ) 都是方陣都是方陣, 那么稱那么稱 A 為為. 2) 若若 | |Ai| | 0 ( i = 1, 2, , s) , 則則 | |A| | 0, 且且 .AAAAs112111 1) | |A| | = | |A1| | |A2| | | |As| | ; 設(shè)設(shè),120130005A求求 A- -1 . ,AOOAA21120130005;A,A;A,A3211121351) 5(122111所以所以.32011000511A,0都都是是可可逆逆方方陣陣和和其其中中設(shè)設(shè)C

24、BCDBA .,1 AA并求并求可逆可逆證明證明例例3 證證, 可逆可逆由由CB, 0 CBA有有.可逆可逆得得A,1 YWZXA設(shè)設(shè).000 EEYWZXCDB則則 .,ECYOCWODYBZEDWBX .,1111OWDCBZCYBX.11111 CODCBBA因此因此對于對于 m n 矩陣矩陣 A 可以進(jìn)行如下分塊：可以進(jìn)行如下分塊：mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211.TT2T1m對于對于 m n 矩陣矩陣 A 可以進(jìn)行如下分塊：可以進(jìn)行如下分塊：mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211).,(21naaa對于矩陣對于矩陣 A = ( aij )m

25、s 與矩陣與矩陣 B = ( bij )s n 的的乘積矩陣乘積矩陣 AB = C = ( cij )m n ，若把，若把 A 按行分成按行分成 m 塊，把塊，把 B 按列分成按列分成 n 塊，便有塊，便有),(21TT2T1nmbbbABnmmmnnbbbbbbbbbT2T1TT22T21T2T12T11T1= ( cij )m n ，.1Tskkjikjiijbabc以對角矩陣以對角矩陣 m 左乘左乘 m n 矩陣矩陣 A 時，把時，把 A 按行按行分塊，有分塊，有TT2T121mmnmmA,TT22T11mm以對角矩陣以對角矩陣 m 左乘左乘 A 的結(jié)果是的結(jié)果是 A 的每一行乘以的每一行乘以 m 中與該行對應(yīng)的對角元中與該行對應(yīng)的對角元.以對角矩陣以對角矩陣 n 右乘右乘 m n 矩陣矩陣 A 時，把時，把 A 按列按列分塊，有分塊，有 nnnaaaA2121),(, ),(2211nn以對角矩陣以對角矩陣 n 右乘右乘 A 的結(jié)果是的結(jié)果是 A 的每一列乘以的每一列乘以 n 中與該列對應(yīng)的對角元中與該列對應(yīng)的對角元. 證明矩陣證明矩陣 A = O 的充要條件是方陣的充要條件是方陣ATA = O .對于線性方程組對于線性方程組) 1 (,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxa