1、第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 一一 理解理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量，并描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量，并掌掌握握角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系. 二二 理解理解力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念，力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念，掌握掌握剛體繞剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理. 三三 理解理解角動(dòng)量概念，角動(dòng)量概念，掌握掌握質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)以及剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒問(wèn)題動(dòng)以及剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒問(wèn)題. 能運(yùn)用以上規(guī)律能運(yùn)用以上規(guī)律分析分析和和解決解決包括質(zhì)點(diǎn)和剛體包括質(zhì)點(diǎn)和剛體的簡(jiǎn)單系統(tǒng)的力學(xué)問(wèn)題的簡(jiǎn)單系統(tǒng)的力學(xué)問(wèn)題. 四四 理解理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能概念，能剛體定軸轉(zhuǎn)

2、動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能概念，能在有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的問(wèn)題中正確地在有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的問(wèn)題中正確地應(yīng)用應(yīng)用機(jī)械能機(jī)械能守恒定律守恒定律 剛體剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體化的物體 . （任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）組）剛體的運(yùn)動(dòng)形式：剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) . 剛體平動(dòng)剛體平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 平動(dòng)平動(dòng)：若剛體中所有點(diǎn)：若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說(shuō)剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的或者說(shuō)剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始連線總是平行于它們的初始位置間的連線位置

3、間的連線 . 轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng). 轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng) . 剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng) . 剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng) 質(zhì)心的平動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+角速度角速度x一一 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度z參考平面參考平面)(t)()(ttt角位移角位移)(t 角坐標(biāo)角坐標(biāo)約定約定r沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng) r沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng) tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向參考軸參考軸角加速度角加速度

4、t dd定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)特點(diǎn) 剛體剛體定軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一轉(zhuǎn)動(dòng)（一維轉(zhuǎn)動(dòng)）的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可維轉(zhuǎn)動(dòng)）的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可以用角速度的正負(fù)來(lái)表以用角速度的正負(fù)來(lái)表示示 .00zz勻變速勻變速1） 每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面； ,a, v2） 任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo) .二二 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式 剛體剛體繞繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 當(dāng)剛

5、體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng) . 剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比角線角線三三 角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系tervrtev2ntraratanan2tererat ddtt22dddda例例飛輪飛輪 30 s 內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度 rad75)6(2)5(22202220srad6srad3050 t 例例1 一飛輪半徑為一飛輪半徑為 0.2m、 轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為150rmin-1， 因因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng) 30 s 停止轉(zhuǎn)動(dòng)停止轉(zhuǎn)動(dòng) . 試求

6、：試求：（1）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動(dòng)開）制動(dòng)開始后始后 t = 6 s 時(shí)飛輪的角速度；（時(shí)飛輪的角速度；（3）t = 6 s 時(shí)飛輪邊緣時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度 .解解（1）,srad510. 0 t = 30 s 時(shí)，時(shí)，設(shè)設(shè).飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng) 00時(shí)，時(shí)， t = 0 s （2）s6t時(shí)，飛輪的角速度時(shí)，飛輪的角速度110srad4srad)665(t（3）s6t時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小22sm5 . 2sm42

7、. 0rv該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度22tsm105. 0sm)6(2 . 0ra轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)r5 .372752N2226 .31)4(2 . 0smran 例例2 在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過(guò)中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞垂直其橫截面通過(guò)中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng) . 開始時(shí)，它的角速開始時(shí)，它的角速度度 ，經(jīng)，經(jīng)300s 后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到 18000rmin-1 . 已知轉(zhuǎn)已知轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比子的角加速度與時(shí)間成正比 . 問(wèn)在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)問(wèn)在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)多少轉(zhuǎn)？過(guò)多少轉(zhuǎn)？00

8、解解 由題意，令由題意，令 ，即，即 ，積分，積分 ctcttddtttc00dd得得221ct當(dāng)當(dāng)t=300s 時(shí)時(shí)11srad600minr18000 所以所以 3322srad75srad30060022tc轉(zhuǎn)子的角速度轉(zhuǎn)子的角速度232srad15021tct由角速度的定義由角速度的定義23srad150ddtt得得tttdsrad150d0230有有33srad450t在在 300 s 內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)43103)300(45022N32srad)75(2tc力矩力矩Pz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂d 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) , 力力 作用在

9、剛體上點(diǎn)作用在剛體上點(diǎn) P , 且在轉(zhuǎn)動(dòng)且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)平面內(nèi), 為由點(diǎn)為由點(diǎn)O 到力的到力的作用點(diǎn)作用點(diǎn) P 的徑矢的徑矢 . FrFrM 對(duì)轉(zhuǎn)軸對(duì)轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩的力矩 F0,0iiMF0,0iiMFFFFF 一一 力矩力矩 MzOkFr討論討論FFFzFrkMzsin rFMzzFF 1）若力若力 不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量 F2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 其中其中 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故矩為零，故 對(duì)轉(zhuǎn)軸的對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力矩zFF3） 剛體內(nèi)作用力和剛體

10、內(nèi)作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM轉(zhuǎn)定律轉(zhuǎn)定律Ormz二二 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律FtFnFsinrFM mrmaFtt2iejjjjrmMM2）剛體剛體質(zhì)量元受質(zhì)量元受外外力力 ，內(nèi)內(nèi)力力jFejFiM 1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)單個(gè)質(zhì)點(diǎn) 與轉(zhuǎn)與轉(zhuǎn)軸剛性連接軸剛性連接m外外力矩力矩內(nèi)內(nèi)力矩力矩2mrM 2tmrrFMOzjmjrjFejFi 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，與剛體的，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比成反比 .rmMMjjjjjj2ie0jijjiijMMM)rmM

11、jjjj2e( 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律JM 2jjjrmJ定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mrJd2OzjmjrjFejFi慣量慣量mrJrmJjjjd,22三三 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 物理物理意義意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度 . 質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2222112rmrmrmJjjj轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mrrmJjjjd22：質(zhì)量元：質(zhì)量元md2 對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：質(zhì)量線密度：質(zhì)量線密度lmdd2 對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：質(zhì)量面密度：質(zhì)量面密度Smdd2 對(duì)質(zhì)量體

12、分布的剛體：對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：質(zhì)量體密度：質(zhì)量體密度Vmdd：質(zhì)量元：質(zhì)量元md 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mrrmJjjjd22例例lO O 解解 設(shè)棒的線密度為設(shè)棒的線密度為 ，取一距離轉(zhuǎn)軸，取一距離轉(zhuǎn)軸 OO 為為 處的質(zhì)量元處的質(zhì)量元 rrmddlrrJ02drd32/02121d2lrrJl231mlrrrmrJddd22 例例1 一一質(zhì)量為質(zhì)量為 、長(zhǎng)為長(zhǎng)為 的的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求通過(guò)棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量通過(guò)棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .mlrd2l2lO O2121ml如轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒如轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒OROR4032d2

13、RrrJRr dr 例例2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、半徑為、半徑為 的均勻圓盤，求通的均勻圓盤，求通過(guò)盤中心過(guò)盤中心 O 并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .mR 解解 設(shè)圓盤面密度為設(shè)圓盤面密度為 ，在盤上取半徑為在盤上取半徑為 ，寬為，寬為 的圓環(huán)的圓環(huán)rrd2 Rm而而rrmd2d圓環(huán)質(zhì)量圓環(huán)質(zhì)量221mRJ 所以所以rrmrJd2dd32圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2mdJJCO四四 平行軸定理平行軸定理P 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量質(zhì)量、形形狀及轉(zhuǎn)軸的位置狀及轉(zhuǎn)軸的位置 . 質(zhì)量為質(zhì)量為 的剛體的剛體，如果對(duì)如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

14、量為其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，則則對(duì)任一與該軸平行對(duì)任一與該軸平行，相距為相距為 的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CJmddCOm注意注意2221mRmRJP圓盤對(duì)圓盤對(duì)P 軸軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量RmO竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？ 例例3 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體的物體 A 靜止在光滑水平面上，靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為 R、質(zhì)、質(zhì)量為量為 的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪 C，并系在另一質(zhì)量為，并系在另一質(zhì)量為 的物的物體體 B 上上.

15、滑輪與繩索間沒有滑動(dòng)，滑輪與繩索間沒有滑動(dòng)， 且滑輪與軸承間的摩且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì)擦力可略去不計(jì). 問(wèn)：（問(wèn)：（1） 兩物體的線加速度為多少？?jī)晌矬w的線加速度為多少？ 水水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2） 物體物體 B 從從BmCm 再求線加速度及再求線加速度及繩的張力繩的張力. 靜止落下距離靜止落下距離 時(shí)，其速時(shí)，其速率是多少？（率是多少？（3）若滑輪）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩擦力略，并設(shè)它們間的摩擦力矩為矩為fMyAmABCAmBmCmABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyO

16、T2FBPBmamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra 解解 （1）隔離物體分）隔離物體分別對(duì)物體別對(duì)物體A、B 及滑輪作及滑輪作受力分析，取坐標(biāo)如圖，受力分析，取坐標(biāo)如圖，運(yùn)用牛頓第二定律運(yùn)用牛頓第二定律 、轉(zhuǎn)、轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程動(dòng)定律列方程 . T2FT1FCPCF2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2） B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F（3） 考慮滑輪與軸承

17、間的摩考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩擦力矩 ，轉(zhuǎn)動(dòng)定律，轉(zhuǎn)動(dòng)定律fM結(jié)合（結(jié)合（1）中其它方程）中其它方程JMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa JMRFRFfT1T2T2FBPBmAPT1FNFAmT2FT1FfM2/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa 例例4 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 質(zhì)量為質(zhì)量為 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈下端與一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng) . 由于此由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定