1、第一篇 力 學(xué)(Mechanics)經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典力學(xué)描述物體的運(yùn)動(dòng)描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)尋求物體具有某種運(yùn)動(dòng)尋求物體具有某種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因狀態(tài)的原因動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)萬(wàn)萬(wàn)有有引引力力定定律律質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)剛體剛體運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)靜力學(xué)靜力學(xué)動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)力平力平衡衡剛體剛體力矩力矩平衡平衡質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力動(dòng)力學(xué)學(xué)剛體剛體動(dòng)力動(dòng)力學(xué)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)內(nèi)容結(jié)構(gòu)第第1 1章章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)(Kinematics of particle)1.什么是物體的運(yùn)動(dòng)什么是物體的運(yùn)動(dòng)參照系參照系如何描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？如何描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？2.能否定量描述運(yùn)動(dòng)能否定量描述運(yùn)動(dòng)物理模型物理模型3.怎樣

2、定量描述運(yùn)動(dòng)怎樣定量描述運(yùn)動(dòng)物理參量物理參量1.0 矢量數(shù)學(xué)矢量數(shù)學(xué)一.矢量的表示法矢量的表示法aAa=|a |axaxayazyzoaA=|A |kajaiaazyx 222zyxaaaaa 二.矢量的加、減法矢量的加、減法aba+b三角形法三角形法aba - bab+=？多邊形法多邊形法aca+b+cbbac=?-ab =？jia43 jib62 jiba10 ab三.標(biāo)量積標(biāo)量積(點(diǎn)積、數(shù)量積、內(nèi)積點(diǎn)積、數(shù)量積、內(nèi)積)cosabbababacosbakajaiaazyx kbjbibbzyx zzyyxxbabababa ba 積積c 的方向垂直于矢量的方向垂直于矢量a 和和b組成組成的

3、平面，的平面，cbasinabbackajaiaazyx kbjbibbzyx baijkxayazaxbybzbcosabba指向由右手螺旋法則確定指向由右手螺旋法則確定。四四.矢量積矢量積(向量積、叉積、外積向量積、叉積、外積)bacc ?65432kjikji 1.矢量矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與標(biāo)量標(biāo)量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不同：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不同： 矢量矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)=矢量矢量大小大小的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)+矢量矢量方向方向的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 五.矢量函數(shù)矢量函數(shù)A(t)的求導(dǎo)的求導(dǎo)dtdA tA lim t0 2. 的方向，一般不同于的方向，一般不同于A 的方向。的方向。 當(dāng)當(dāng) t0時(shí)，時(shí)， A 的極限

4、的極限方向，才是方向，才是 的方向。的方向。dtdAdtdA 特別是特別是,當(dāng)當(dāng)A的大小不變而只是方向改變時(shí)的大小不變而只是方向改變時(shí),就時(shí)刻保持與就時(shí)刻保持與A垂直。垂直。dtdAkAjAiAAzyx kdtdAjdtdAidtdAdtdAzyx 由于由于Ax(t), Ay(t), Az(t)是普通的函數(shù)，所以是普通的函數(shù)，所以就是就是普通函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。普通函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。,dtdAx,dtdAydtdAz 3. 在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中,考慮到考慮到 是常量是常量,有有kji, 運(yùn)動(dòng)是普遍的、絕對(duì)的。沒有運(yùn)動(dòng)就沒有世界。運(yùn)動(dòng)是普遍的、絕對(duì)的。沒有運(yùn)動(dòng)就沒有世界。 運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的。運(yùn)動(dòng)的描

5、述是相對(duì)的。一一. 運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性和相對(duì)性運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性和相對(duì)性 1.1 參照系和坐標(biāo)系參照系和坐標(biāo)系 在研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，在研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，選作參照的物體選作參照的物體稱為稱為參照參照系系。 為了作定量描述，為了作定量描述， 還要取一個(gè)固定在參照系中還要取一個(gè)固定在參照系中的的坐標(biāo)系坐標(biāo)系。 坐標(biāo)系坐標(biāo)系是參照系的是參照系的代表代表和和抽象抽象。 二二. 參照系參照系 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 常用的坐標(biāo)系常用的坐標(biāo)系: 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系 自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系m nS.1.2 運(yùn)動(dòng)疊加原理和理想模型運(yùn)動(dòng)疊加原理和理想模型 其中最常見的是沿著其中最常見的是沿著三個(gè)坐標(biāo)軸方向三個(gè)坐標(biāo)軸方向的

6、分解：的分解： 只要運(yùn)動(dòng)的物理參量是矢量，其合成和分解就只要運(yùn)動(dòng)的物理參量是矢量，其合成和分解就滿足矢量的疊加原理，即可看成三個(gè)方向上各自滿足矢量的疊加原理，即可看成三個(gè)方向上各自獨(dú)立的分運(yùn)動(dòng)的疊加，這就是獨(dú)立的分運(yùn)動(dòng)的疊加，這就是運(yùn)動(dòng)的疊加原理運(yùn)動(dòng)的疊加原理。 復(fù)雜運(yùn)動(dòng)復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng) 分解分解 簡(jiǎn)單規(guī)律簡(jiǎn)單規(guī)律 一般規(guī)律一般規(guī)律 總結(jié)總結(jié)理想物理模型理想物理模型：忽略次要因素，只由主要因素：忽略次要因素，只由主要因素 構(gòu)造出的數(shù)學(xué)計(jì)算模型。對(duì)應(yīng)的方法稱為構(gòu)造出的數(shù)學(xué)計(jì)算模型。對(duì)應(yīng)的方法稱為模型模型化方法化方法，是自然科學(xué)的基本研究方法。，是自然科學(xué)的基本研究方法。所需精度提高所需

7、精度提高 將復(fù)雜問題分解以后，可以進(jìn)一步使用將復(fù)雜問題分解以后，可以進(jìn)一步使用模型化方法。模型化方法。原有模型不適用原有模型不適用添加修正項(xiàng)添加修正項(xiàng)模型拋棄？模型拋棄？更精確的結(jié)果更精確的結(jié)果可以類比數(shù)學(xué)當(dāng)中的級(jí)數(shù)展開可以類比數(shù)學(xué)當(dāng)中的級(jí)數(shù)展開1.3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量！描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量！一一. 位置矢量位置矢量描述質(zhì)點(diǎn)在空間位置的矢量描述質(zhì)點(diǎn)在空間位置的矢量r=xi+yj+zkoxyzP(x,y,z)xyz ABCr 位 置位 置矢量矢量，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱位矢位矢或或矢徑矢徑。BPABoAr 從坐標(biāo)原點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)o指向指向P點(diǎn)的有向線段點(diǎn)的有向線段op=r r 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)P到原點(diǎn)到原點(diǎn)o的距

8、離的距離222zyxrr cos2 + cos2 + cos2 =1 它們都叫做質(zhì)點(diǎn)的它們都叫做質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程。 質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的空間各點(diǎn)聯(lián)成的質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的空間各點(diǎn)聯(lián)成的曲線的方程曲線的方程，稱，稱為為軌道方程軌道方程。 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 例：例：x=6cos2t y=6sin2t x2+y2=62 軌道方程軌道方程。二二. 運(yùn)動(dòng)方程和軌道方程運(yùn)動(dòng)方程和軌道方程 )t ( zz),t (yy),t (xx )t ( rr 0)( z , y,xf 三維空間中，三維空間中，軌道方程軌道方程： (1)位移位移是位置矢量是位置矢量r 在在時(shí)間時(shí)間 t內(nèi)的內(nèi)的增量增量:三三.位移和路程位移和路程 而而

9、A到到B的路徑長(zhǎng)度的路徑長(zhǎng)度 S, 稱為稱為路程路程。)()(trttrr Sr(t)rA(t)zyoxB(t+ t) 稱為稱為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間 t內(nèi)的內(nèi)的位移位移。r(t+ t) 從起點(diǎn)從起點(diǎn)A到到終點(diǎn)終點(diǎn)B的有向線段的有向線段AB= r kzzjyyixxrrr)()()(12121212 kzjyixr1111 t1:kzjyixr2222 t2:x 方方向向的的位位移移y 方方向向的的位位移移z 方方向向的的位位移移位移位移=AC 路程路程=AB+BCAB當(dāng)當(dāng) t0時(shí)時(shí), 有有 |r | S 。(2)位移和路程是兩個(gè)不同的概念。位移和路程是兩個(gè)不同的概念。BAC 路程路程表示路徑長(zhǎng)

10、度，是標(biāo)表示路徑長(zhǎng)度，是標(biāo)量，是弧長(zhǎng)量，是弧長(zhǎng)AB= S 。r(t)rA(t)zyoxB(t+ t)r(t+ t) S 位移位移代表位置變化，是矢量，其大小是直線段代表位置變化，是矢量，其大小是直線段AB的長(zhǎng)度，與路徑形狀無(wú)關(guān)。的長(zhǎng)度，與路徑形狀無(wú)關(guān)。單位時(shí)間內(nèi)的單位時(shí)間內(nèi)的路程路程平均速率。平均速率。 定義定義: : 單位時(shí)間內(nèi)的單位時(shí)間內(nèi)的位移位移平均速度。平均速度。四四. 速度、速率速度、速率tS tr r(t)rA(t)zyoxB(t+ t)r(t+ t) S 如，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間如，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間t t繞半徑繞半徑R的圓周運(yùn)動(dòng)一圈，的圓周運(yùn)動(dòng)一圈， 即使在直線運(yùn)動(dòng)中，如質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間即使在直線運(yùn)動(dòng)

11、中，如質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間 t從從A點(diǎn)到點(diǎn)到B點(diǎn)點(diǎn)又折回又折回C點(diǎn)，顯然點(diǎn)，顯然平均速度平均速度和和平均速率平均速率也截然不同也截然不同:而平均速率為而平均速率為tRtS 2 則平均速度為則平均速度為tBCAB tAC 0trBAC質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的( (瞬時(shí)瞬時(shí)) )速率速率: :limt0tS =dtdS dtdr 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的( (瞬時(shí)瞬時(shí)) )速度速度: : tr limt0 即：速度即：速度 等于位置矢量等于位置矢量r 對(duì)時(shí)間的對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù); ;而速率而速率 等于路程等于路程S對(duì)時(shí)間的對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)。 = (1)(1)速率速率= =速度的大小。速度的大小。例例: (A);dtd

12、r limt0tS = tr limt0(B);dtrd (C)dtdr )0(sr,t 當(dāng)當(dāng)limt0tS =dtdS dtdr tr limt0(2) =(2) =r 大小的導(dǎo)數(shù)大小的導(dǎo)數(shù) + + r 方向的導(dǎo)數(shù)方向的導(dǎo)數(shù)。dtrd 速度的大?。核俣鹊拇笮。篸tdz,dtdy,dtdxzyx (3)(3)在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中, , zkyjxirkdtdzjdtdyidtdxdtdr 222zyx 速度的方向：軌道切線方向。速度的方向：軌道切線方向。平均加速度：平均加速度：五五. 加加速度的定義速度的定義)()(ttt taOxyz)(t A.)(tt B. ( (瞬時(shí)瞬時(shí)) )加

13、速度加速度定義為定義為22dtrddtd limt 0t a 加速度加速度a等于速度等于速度 對(duì)時(shí)間的對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)。 在時(shí)間在時(shí)間 t t內(nèi)質(zhì)點(diǎn)速度的增量：內(nèi)質(zhì)點(diǎn)速度的增量：kdtzdjdtydidtxdkdtdjdtdidtddtdazyx222222 222222dtzddtda ,dtyddtda ,dtxddtdazzyyxx (2) (2) 加速度加速度a 的大小的大小: :222zyxaaaaa (1) (1) 在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中, ,加速度的表示式是加速度的表示式是 在曲線運(yùn)動(dòng)中在曲線運(yùn)動(dòng)中, ,加速度的方向加速度的方向總是指向曲線凹的一邊的。總是指向曲線凹

14、的一邊的。 在國(guó)際單位制中在國(guó)際單位制中, ,加速度的單位加速度的單位為米為米/ /秒秒2 2( (ms-2) )。adtd 加速度加速度a 的方向是：當(dāng)?shù)姆较蚴牵寒?dāng) t t00時(shí)時(shí), ,速度增量速度增量 的的方向的極限。方向的極限。 應(yīng)該注意到應(yīng)該注意到, , 的方向和它的極限方向一般不的方向和它的極限方向一般不同于速度同于速度 的方向的方向, ,因而加速度因而加速度a 的方向與同一時(shí)刻的方向與同一時(shí)刻速度速度 的方向一般不相一致。的方向一般不相一致。aaa例：例：;dtda)A( 任何一個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)都可以看作是沿任何一個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)都可以看作是沿x, ,y, z 三三個(gè)坐標(biāo)軸方向的獨(dú)立的直線運(yùn)動(dòng)

15、的疊加個(gè)坐標(biāo)軸方向的獨(dú)立的直線運(yùn)動(dòng)的疊加, ,這就是這就是運(yùn)動(dòng)的疊加原理運(yùn)動(dòng)的疊加原理。;dtda )B( .dtda)D( ;dtda )C( kjidtdrzyx kajaiadtdazyx r=xi+yj+zk求求 導(dǎo)導(dǎo)積積 分分dtdr dtda 位矢、位移、速度、加速度位矢、位移、速度、加速度這些就是運(yùn)動(dòng)學(xué)中的物理參量這些就是運(yùn)動(dòng)學(xué)中的物理參量運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問題 例題例題3.1 質(zhì)點(diǎn)沿質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng), ,x=t39t2 +15t+1 (SI), ,求求: : (1) (1)質(zhì)點(diǎn)首先向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)首先向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)? ? 何時(shí)調(diào)頭？何時(shí)調(diào)頭？ (2)(2)t=0, 2s時(shí)的速度

16、時(shí)的速度; (3)0 (3)0 2s內(nèi)的平均速度和路程。內(nèi)的平均速度和路程。 t=1, 5s前后速度前后速度 改變了方向改變了方向( (正負(fù)號(hào)），正負(fù)號(hào)），所以所以t=1, 5s調(diào)頭了。調(diào)頭了。 因因t=0, =+15m/s, ,所以質(zhì)點(diǎn)首先向所以質(zhì)點(diǎn)首先向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。軸正方向運(yùn)動(dòng)。 =3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0解解 (1)(1)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，調(diào)頭的條件是什么？質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，調(diào)頭的條件是什么？dtdx t=1, 5s考慮到考慮到t=1s時(shí)調(diào)頭了，故時(shí)調(diào)頭了，故02s內(nèi)的內(nèi)的路程應(yīng)為路程應(yīng)為 s=|x(1)-x(0)|02s內(nèi)的位移：內(nèi)的位移：x=t39t2 +

17、15t+1平均速度：平均速度： x=x(2)-x(0)=3-1=2mtx =1(m/s) (2)(2)t=0, 2s時(shí)的速度時(shí)的速度; =3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)dtdx t=0, =15m/s t=2, =-9m/s(3)(3)0 2s內(nèi)的平均速度和路程。內(nèi)的平均速度和路程。+|x(2)-x(1)|=7+5=12m jtitr)12()23(22 質(zhì)點(diǎn)作什么樣的運(yùn)動(dòng)？質(zhì)點(diǎn)作什么樣的運(yùn)動(dòng)？例題例題3.2 2 質(zhì)點(diǎn)位矢：質(zhì)點(diǎn)位矢：解解 x =3+2t2, y =2t2-1y =x-4 直線直線j ti tdtrd44 jidtda44 質(zhì)點(diǎn)作質(zhì)點(diǎn)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)勻加速直線運(yùn)動(dòng)

18、。平均速度平均速度 ：(2)第第2s內(nèi)內(nèi)的平均速度：的平均速度：當(dāng)當(dāng)t=1s時(shí)，時(shí)， (1)位矢：位矢：j )t(tir22192 )m( jir1721 當(dāng)當(dāng)t=2s時(shí)，時(shí)，)m( jir1142 (m)jirrr6212 )/(62smjitr 例題例題3.3 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn): x=2t, y=19-2t2 (SI), 求：求：(1)質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在t=1s、t=2s時(shí)的位置；時(shí)的位置；解解代入代入t=1s,得：得：加速度：加速度： (3)第第1s末的速度和加速度：末的速度和加速度：j )t(i tr22192 j tidtrd42 jdtda4 )s/m( ji42 )s/m( ja24 )s/m

19、(20(-4)222 a=4(m/s2)速度：速度：22222)2t-(19(2t) yxr0 dtdr由此得由此得: t= 0,3s (略去略去t=-3s); t=0, r=19(m); t=3s, r=6.08(m), 可見可見t=3s時(shí)最近。時(shí)最近。r有極值的必要條件是：有極值的必要條件是： (5) 何時(shí)質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)最近何時(shí)質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)最近? x=2t, y=19-2t22192xy 這是一條拋物線這是一條拋物線 (4) 軌道方程：軌道方程： (6) 第第1s內(nèi)內(nèi)的路程的路程:x=2ty=19-2t2(6) 第第1s內(nèi)的路程內(nèi)的路程:j tidtrd42 dtds 22)4(2t 2)2(1

20、2t )2()2(12tdtds )2()2(1210tdts =2.96m2o21atts jdtda4 10(2t)1ln(2t)2(1(2t)2122t 例題例題3.4 在離水面高度為在離水面高度為h的岸邊，一人以恒定的的岸邊，一人以恒定的速率速率 o收繩拉船靠岸。求船頭與岸的水平距離為收繩拉船靠岸。求船頭與岸的水平距離為x時(shí)時(shí)速度和加速度。速度和加速度。 解解 22hrx0dtdrj hi xridtdxdtrd3220 xhidtda ohxroxyxhxi220,22hrdtdrrdtdxdtda 解解 傘兵做直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)學(xué)參量都取標(biāo)量。傘兵做直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)學(xué)參量都取標(biāo)量。取取

21、o=0位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸的正方向。軸的正方向。 BA )e(BABt 1 例題例題3.5 傘兵豎直降落，傘兵豎直降落， o=0， a=A-B ，式式中中A、B為常量；求傘兵的速度和運(yùn)動(dòng)方程。為常量；求傘兵的速度和運(yùn)動(dòng)方程。CtABB )ln(1 ABd dtBteCAB 1 由初始條件由初始條件 o=0 可得：可得：C1= - A)1(2 BteBAtBAx完成積分就得運(yùn)動(dòng)方程完成積分就得運(yùn)動(dòng)方程:)e(BAdtdxBt 1 )1(BteBA dt)e(BAdxBttx 100運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：2kvdtdv 解：解： 根據(jù)已知條件有根據(jù)已知條件有例題例題3.6

22、 跳水運(yùn)動(dòng)員垂直入水，初速率為跳水運(yùn)動(dòng)員垂直入水，初速率為vo，在水中，在水中的加速度為的加速度為a= - kv2，求運(yùn)動(dòng)員在水中的速度變化。，求運(yùn)動(dòng)員在水中的速度變化。于是可得于是可得kdtdvv21分別以分別以v和和t作為積分變量，兩邊同時(shí)作不定積分作為積分變量，兩邊同時(shí)作不定積分kdtdvv21Cktv1 由初始速率可得常數(shù)由初始速率可得常數(shù)01vC 于是速度隨時(shí)間的變化為：于是速度隨時(shí)間的變化為：1 00tkvvv六六. 法向加速度和切向加速度法向加速度和切向加速度 n P1 O s 軌道軌道 曲率園曲率園 自然坐標(biāo)系一般用于描自然坐標(biāo)系一般用于描述述平面曲線運(yùn)動(dòng)平面曲線運(yùn)動(dòng)，需要，需

23、要了解軌道的曲率。了解軌道的曲率。自然坐標(biāo)系：自然坐標(biāo)系：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道已知已知時(shí)，任取軌時(shí)，任取軌道上一點(diǎn)道上一點(diǎn)O為原點(diǎn)，用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為原點(diǎn)，用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程s和軌道切和軌道切向和法向的單位矢量向和法向的單位矢量 和和 來(lái)描述物體運(yùn)動(dòng)的來(lái)描述物體運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系，稱為坐標(biāo)系，稱為自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系。s稱為稱為自然坐標(biāo)自然坐標(biāo)。n 2 P1 P2 O s 1 n 軌道軌道 曲率園曲率園 曲率曲率：曲線彎曲程度的大小（局部量）：曲線彎曲程度的大?。ň植苛浚﹕sksddlim0相應(yīng)的相應(yīng)的曲率半徑曲率半徑為為dd1sk過(guò)軌道上一點(diǎn)過(guò)軌道上一點(diǎn)P1的與的與軌道相切圓，如果圓軌道相切圓，

24、如果圓的曲率與的曲率與P1的曲率相的曲率相等，稱這個(gè)圓為等，稱這個(gè)圓為P1的的曲率圓曲率圓用自然坐標(biāo)系描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)用自然坐標(biāo)系描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)：路程：即是自然坐標(biāo)路程：即是自然坐標(biāo) s n P1 O s 軌道軌道 曲率園曲率園 速率：速率：dtdsdtds速度：速度：位移：位移： dtttrt0 法向加速度和切向加速度法向加速度和切向加速度(t) np1C.曲率圓曲率圓p1C.(t) np1C.dtda = 大小大小的變化率的變化率+ 方向方向的變化率的變化率 dtddtda = ndtddtd p1C.(t) np2)(tt so)(tt )(t 加速度加速度: 當(dāng)當(dāng) t0時(shí)，時(shí)， 0 的極限方

25、向?yàn)榈臉O限方向?yàn)?的方向，所以的方向，所以nn dtd lim t0t 因因ds= d d ( 為曲率半徑為曲率半徑)ndtdsdsddtd ndtds 1 n dtdna 2p1C.(t) np2)(tt so)(tt )(t dtddtda ndtddtd dtda 大?。捍笮。悍较颍悍较颍貉匕霃街赶驁A心。沿半徑指向圓心。大?。捍笮。悍较颍悍较颍貉剀壍狼芯€方向。沿軌道切線方向。dtda作用：作用：描述速度方向的描述速度方向的 變化。變化。作用：作用：描述速度大小的描述速度大小的 變化。變化。加速度小結(jié)加速度小結(jié)： dtdndtda 2 aan 名稱：名稱：向心向心(法向法向)加速度。加速度

26、。 名稱：名稱：切向加速度。切向加速度。na aanan2 2 na 加速度的大小加速度的大小: aan tana與速度與速度 的夾角的夾角 滿足滿足: 2 nadtda aadtdan a ana222 dtd 22 aaan yy 2/32)1( 若若y(x), 則則物理意義辨析：物理意義辨析：（1）dtda（2）dtdsdtrd（5）dtda（4）dtda（3）dtda 例題例題3.7 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng), 半徑為半徑為100m，路程與時(shí)，路程與時(shí)間的關(guān)系為間的關(guān)系為s=20t-2t3。求質(zhì)點(diǎn)在。求質(zhì)點(diǎn)在t=1s時(shí)的時(shí)的an 、a 、a。 解解 質(zhì)點(diǎn)速率為質(zhì)點(diǎn)速率為2620td

27、tdsv 法向加速度法向加速度222/ 96. 110014smvan 當(dāng)當(dāng)t=1s時(shí)，有時(shí)，有v = 14 m/s 切向加速度切向加速度2/ 1212smtdtdva 于是于是222/ 16.12smaaan 例題例題3.8 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn): x=2t, y=19-2t2 (SI); 求時(shí)求時(shí)刻刻t的的an 、a 、 及及a與與 的夾角。的夾角。j tidtrd42 解解jti tr)219(22 2418ttdtda jdtda4 22 aaan 2414t 2412t 4 a 2 na2414tan na2 2412t 2/32)41(t a與與 的夾角：的夾角：t=02418tta aan

28、tana anat 21 何時(shí)何時(shí)a ? cosox cosgan 解解 an 、a 是是總加速度總加速度g g沿軌沿軌道法向和切向的分量：道法向和切向的分量：gtoy sin22yx singa 例題例題3.9 求斜拋體在時(shí)刻求斜拋體在時(shí)刻t的的an 、a 和和 ( (設(shè)初設(shè)初速速 o，仰角仰角 ) )。 xg yg xy ogoaan x y22)sin()cos(cosgtgooo xngga cos ygga sincos)sin()cos(3222ooonggta 討討論論：(1)在軌道的最高點(diǎn)，在軌道的最高點(diǎn)，顯然顯然 =0=0，y=0,=0,故該點(diǎn)：故該點(diǎn)：g)(o2cos an

29、=g, , a =0=022)sin()cos()sin(gtgtgooo xy ogoaan x y(2) 解解法之二法之二dtda 22 aagn na2 2o2ogt)-sin()cos( 22 agan 2o2ogt)-sin()cos(sin )gt(go,ox cos gtoy singxy o =3t,2st 3t2=3, , 求出求出t=t=1s 例題例題3.10 圓運(yùn)動(dòng)，圓運(yùn)動(dòng)， r=3m，開始，開始靜止，靜止，a =3m/s；求：求：(1)(1)第第2s末加速度的大??；末加速度的大小；(2)(2)經(jīng)多少時(shí)間經(jīng)多少時(shí)間a與與 成成45 ? ? 這段時(shí)間內(nèi)的路程是多少？這段時(shí)間

30、內(nèi)的路程是多少？ , 3 dtda 解解(1)(1)由由有有 003tdtd223tran )(23310mtdtS , tdtdS3 又又 (2)(2)a與與 成成45 ，即表示：，即表示：an= = a ，于是有，于是有anaa22)/(1732smdtd 角加速度：角加速度：dtd 七七. 描述轉(zhuǎn)動(dòng)的角參量描述轉(zhuǎn)動(dòng)的角參量角速度：角速度：角角 角坐標(biāo)角坐標(biāo)， 角位移角位移。yxoAR RdtdaRRaRn ,22 的方向：垂直于質(zhì)的方向：垂直于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)平面點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)平面, ,其指向由其指向由右手螺旋定則確定。右手螺旋定則確定。r dtd R 角速度矢量角速度矢量 圓周運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)的比較

31、：圓周運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)的比較：直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)坐標(biāo) x角坐標(biāo)角坐標(biāo) 速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度若若a= =恒量，則恒量，則若若 恒量恒量, ,則則dtdx dtd dtda dtd 221attxo xao 222 to 221tto 222oato 例題例題3.11 飛輪飛輪半徑半徑R=1m， =2 +12 t- t3 (SI)，求：求：(1)(1)輪邊上一點(diǎn)第輪邊上一點(diǎn)第1s末的末的an=？ a =？(2)(2)經(jīng)多少時(shí)經(jīng)多少時(shí)間間、轉(zhuǎn)幾圈飛輪將停止轉(zhuǎn)動(dòng)？轉(zhuǎn)幾圈飛輪將停止轉(zhuǎn)動(dòng)？ ,tdtd2312 tdtd 6 an=R 2=(12 -3 t2)2

32、, a =R =- -6 t代入代入t=t=1s, , an=81 2 , a = - -6 (SI) (SI) (2) (2)停止轉(zhuǎn)動(dòng)條件：停止轉(zhuǎn)動(dòng)條件： =12 -3 t2=0, , 求出：求出：t=2s。 t=2s, 2=18 ，解解(1) t=0, o=2 , , 所以轉(zhuǎn)過(guò)角度：所以轉(zhuǎn)過(guò)角度： = 2- o=16 =8圈圈。 解解 例題例題3.12 質(zhì)點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)，R， =A+Bt ( (A、B為正的常量為正的常量) )。求：質(zhì)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)一。求：質(zhì)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)一周又回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，周又回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)， an=？ a =？BABAt42解得解得,BtAdtdto2oddtBtA

33、)(2212BtAt 222()4naRABtRABBRRa1.4 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng) 參考系的選取不同，對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述也不同。參考系的選取不同，對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述也不同。但物理規(guī)律應(yīng)該是一致的。（但物理規(guī)律應(yīng)該是一致的。（對(duì)稱性對(duì)稱性）在現(xiàn)代物理學(xué)當(dāng)中，對(duì)稱性是一個(gè)重要概念。在現(xiàn)代物理學(xué)當(dāng)中，對(duì)稱性是一個(gè)重要概念。從圖形的對(duì)稱性談起：若圖形通過(guò)某種從圖形的對(duì)稱性談起：若圖形通過(guò)某種操作操作后后又回到它自身，則稱圖形對(duì)該操作具有又回到它自身，則稱圖形對(duì)該操作具有對(duì)稱性對(duì)稱性。例如：反射對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、平移對(duì)稱等例如：反射對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、平移對(duì)稱等 把對(duì)稱性的概念應(yīng)用于物理中，研究對(duì)象變把對(duì)稱性的概念應(yīng)用

34、于物理中，研究對(duì)象變成了物理量或物理定律。坐標(biāo)系的變換、尺度的成了物理量或物理定律。坐標(biāo)系的變換、尺度的放大縮小、時(shí)間的平移等都可以視為某種操作。放大縮小、時(shí)間的平移等都可以視為某種操作。 我們可以發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過(guò)變換操作，物理量可以改我們可以發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過(guò)變換操作，物理量可以改變，但物理規(guī)律通常具有對(duì)稱性。變，但物理規(guī)律通常具有對(duì)稱性。 不同觀測(cè)者觀察到的物理規(guī)律的結(jié)構(gòu)不變性，不同觀測(cè)者觀察到的物理規(guī)律的結(jié)構(gòu)不變性，稱為稱為物理規(guī)律的對(duì)稱性物理規(guī)律的對(duì)稱性。把物理規(guī)律的對(duì)稱性提。把物理規(guī)律的對(duì)稱性提升為認(rèn)識(shí)自然規(guī)律的基本原理，稱為升為認(rèn)識(shí)自然規(guī)律的基本原理，稱為對(duì)稱性原理對(duì)稱性原理。 對(duì)稱性原理，也即

35、物理規(guī)律在各種對(duì)稱操作下對(duì)稱性原理，也即物理規(guī)律在各種對(duì)稱操作下要保持不變，有著深刻的物理內(nèi)涵。要保持不變，有著深刻的物理內(nèi)涵。物理規(guī)律對(duì)慣性系變換的對(duì)稱性物理規(guī)律對(duì)慣性系變換的對(duì)稱性狹義相對(duì)論狹義相對(duì)論物理規(guī)律對(duì)任意參考系的對(duì)稱性物理規(guī)律對(duì)任意參考系的對(duì)稱性廣義相對(duì)論廣義相對(duì)論宇稱不守恒：宇稱不守恒：“對(duì)稱的世界是美妙的，而世界的對(duì)稱的世界是美妙的，而世界的豐富精彩又常在于它不那么對(duì)稱豐富精彩又常在于它不那么對(duì)稱藝術(shù)和科學(xué)，藝術(shù)和科學(xué)，都是對(duì)稱與不對(duì)稱的巧妙的組合。都是對(duì)稱與不對(duì)稱的巧妙的組合?！?李政道李政道晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性群論群論固體物理固體物理守恒定律和對(duì)稱性的關(guān)系（分

36、析力學(xué)守恒定律和對(duì)稱性的關(guān)系（分析力學(xué)/ /量子力學(xué)）量子力學(xué)） 對(duì)空間對(duì)空間P點(diǎn)點(diǎn), 有有rps= rps+ rssyxyoSS zzOrpsrps. prs s ps= ps+ ssaps= aps+ ass 下面考察不同參考系下的變換：下面考察不同參考系下的變換： 參考系參考系S和和S 之間，只有相對(duì)之間，只有相對(duì)平移平移而無(wú)而無(wú)相對(duì)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng), 且各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸保持平行。且各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸保持平行。伽利略變換伽利略變換 伽利略變換所體現(xiàn)的時(shí)空觀：不同坐標(biāo)系下的矢伽利略變換所體現(xiàn)的時(shí)空觀：不同坐標(biāo)系下的矢量可以相加，也可以同時(shí)對(duì)時(shí)間求微分。量可以相加，也可以同時(shí)對(duì)時(shí)間求微分。rps= rps

37、+ rss ps= ps+ ssaps= aps+ ass 即：不同參考系下測(cè)量的即：不同參考系下測(cè)量的空間間隔空間間隔和和時(shí)間間隔時(shí)間間隔都相同，稱為都相同，稱為絕對(duì)時(shí)空觀絕對(duì)時(shí)空觀。 在高速運(yùn)動(dòng)情形，須代之以相對(duì)論時(shí)空觀。在高速運(yùn)動(dòng)情形，須代之以相對(duì)論時(shí)空觀。 ps= - sp ps= p + ss s 人對(duì)水人對(duì)水= 人人 + 水水對(duì)對(duì)船船 船船對(duì)對(duì)它表示：它表示：質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)P對(duì)對(duì)S系的速度等于質(zhì)點(diǎn)系的速度等于質(zhì)點(diǎn)P對(duì)對(duì)S 系的速系的速度與度與S 系對(duì)系對(duì)S系的速度的矢量和。系的速度的矢量和。 注意：注意：(1).速度合成定理是速度合成定理是矢量矢量關(guān)系式。關(guān)系式。 (2).雙下標(biāo)先后順序交換意味著改變一個(gè)符號(hào)雙下標(biāo)先后順序交換意味著改變一個(gè)符號(hào),即：即： ps= ps+ ss速度合成定理速度合成定理45 解解 首先寫出速度合成定理：首先寫出速度合成定理： （1）矢量三角形法矢量三角形法 風(fēng)對(duì)人風(fēng)對(duì)人= 風(fēng)對(duì)風(fēng)對(duì)地地 + 地地對(duì)人對(duì)人 例題例題4.1 一人騎自行車以速率一人騎自行車以速率 向正西行駛，風(fēng)以向正西行駛，風(fēng)以相同速率由北向南方向吹來(lái)，試問：人感到的風(fēng)速大相同速率由北向南方向吹來(lái)，試問：人感到的風(fēng)速大小是多少？風(fēng)從哪個(gè)方向吹來(lái)？小是多少？風(fēng)從哪個(gè)方向吹來(lái)？= 風(fēng)對(duì)地風(fēng)對(duì)地- - 人人對(duì)地對(duì)地 由于由于 人對(duì)地人對(duì)地= 風(fēng)對(duì)地風(fēng)對(duì)地= ,