1、目 錄摘要(1)0引言(1)1二次曲線的化簡(jiǎn)(1)1.1通過移軸化簡(jiǎn)二次曲線(2)1.2利用不變量化簡(jiǎn)二次曲線(3)1.3利用正交變換來(lái)化簡(jiǎn)二次曲線(4)2二次曲線的性質(zhì)(7)2.1二次曲線的曲率(7)2.1.1橢圓的曲率及性質(zhì)(7)2.1.2拋物線的曲率及性質(zhì)(8)2.1.3雙曲線的曲率及性質(zhì)(8)2.2二次曲線的重要性質(zhì)(9)2.2.1橢圓中的定值(9)2.2.2雙曲線的定值(9)2.2.3拋物線的定值(10)3二次曲線的應(yīng)用(10)3.1二次曲線的光學(xué)性質(zhì)(10)3.1.1拋物線的光學(xué)性質(zhì)(10)3.1.2橢圓,雙曲線的光學(xué)性質(zhì)(12)參考文獻(xiàn)(13)Abstract(13)二次曲線的化

2、簡(jiǎn)、性質(zhì)及應(yīng)用作 者:指導(dǎo)老師:摘要:本文將化簡(jiǎn)二次曲線的幾種常用方法進(jìn)行歸總結(jié),并著重強(qiáng)調(diào)強(qiáng)調(diào)用正交合同變換來(lái)化簡(jiǎn)二次曲線.實(shí)現(xiàn)解析幾何與高等代數(shù)的結(jié)合.并進(jìn)一步總結(jié)出二次曲線的一些性質(zhì)和應(yīng)用.關(guān)鍵詞:正交變換;曲率;光學(xué)性質(zhì)0 引言二次曲線與我們的生活密切相關(guān),它們的某些性質(zhì)在生產(chǎn)、生活中被廣泛應(yīng)用. 一般二次曲線的化簡(jiǎn)、性質(zhì)及應(yīng)用是平面解析幾何的中心研究課題, 如何將二次曲線方程進(jìn)行化簡(jiǎn), 是二次曲線一般理論的主要問題之一.參考文獻(xiàn)1中講述了兩種方法,一是利用移軸與轉(zhuǎn)軸來(lái)化簡(jiǎn)二次曲線, 這種方法的實(shí)質(zhì)是把坐標(biāo)軸變換到與二次曲線的主直徑重合的位置,它的優(yōu)點(diǎn)在于不需要用高等代數(shù)知識(shí).缺點(diǎn)是不

3、能一步到位,且化簡(jiǎn)過程較為復(fù)雜.二是利用不變量與半不變量方法.先計(jì)算出二次曲線的不變量和半不變量,然后可判斷已知曲線為何種曲線,同時(shí)也可直接求出它的簡(jiǎn)化方程.此法的優(yōu)點(diǎn)是快捷,但無(wú)法畫出二次曲線的圖形.針對(duì)以上兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn),利用參考文獻(xiàn)2中二次曲線與二次型的關(guān)系,應(yīng)用高等代數(shù)有關(guān)理論化簡(jiǎn)歐式平面上二次曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,通過舉例說明化簡(jiǎn)二次曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程的方法過程及應(yīng)用的有關(guān)高等代數(shù)知識(shí),闡述了高等代數(shù)指導(dǎo)學(xué)習(xí)其他幾何學(xué)的意義.對(duì)于二次曲線的性質(zhì),通過查看各種資料將二次曲線的一些重要性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)的歸納總結(jié).1 二次曲線的化簡(jiǎn)我們知道二次型理論源于化二次曲線和二次曲面為標(biāo)準(zhǔn)形式的問題,

4、其理論在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中都有重要的應(yīng)用.任一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣都可化為對(duì)角形,則任一條二次曲線可通過坐標(biāo)變換化為標(biāo)準(zhǔn)形式.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型通常有合同變換和特征根兩種方法.相應(yīng)的二次曲線就可通過合同變換和正交變換來(lái)化簡(jiǎn).1.1 通過移軸化簡(jiǎn)二次曲線我們知道如果平面內(nèi)一點(diǎn)的舊坐標(biāo)與新坐標(biāo)分別為與,那么移軸公式為,式中為新坐標(biāo)系原點(diǎn)在舊坐標(biāo)系里的坐標(biāo).轉(zhuǎn)軸公式為,式中的為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角.例1 化簡(jiǎn)二次曲線方程解 因?yàn)槎吻€的方程含有項(xiàng),因此我們可以先通過轉(zhuǎn)軸消去項(xiàng).設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,那么由得 即所以 ,從而得=-或2.取=2,那么 =,=,所以得轉(zhuǎn)軸公式為 代入原方程化簡(jiǎn)整理得轉(zhuǎn)軸后的新方程為5+2-5+1=0

5、.利用配方是上式化為再作移軸 ,曲線方程化為最簡(jiǎn)形式:-=0.因此,上面介紹的通過轉(zhuǎn)軸與移軸來(lái)化簡(jiǎn)二次曲線的方法,實(shí)際上是把坐標(biāo)軸變換與二次曲線的主直徑（即對(duì)稱軸）重合的位置.如果是中心曲線,坐標(biāo)原點(diǎn)與曲線的中心重合；如果是線心二次曲線,坐標(biāo)原點(diǎn)可以與曲線的任何一個(gè)中心重合.因此,二次曲線方程的化簡(jiǎn),只要先求出曲線的主直徑,然后以它作為新的坐標(biāo)軸,作坐標(biāo)變換即可.1.2 利用不變量化簡(jiǎn)二次曲線二次曲線在任意給定的直角坐標(biāo)系中的方程為由參考文獻(xiàn)1我們知道,二次曲線在直角坐標(biāo)變換下,有三個(gè)不變量,與一個(gè)半不變量：,例2 求二次曲線的簡(jiǎn)化方程.解 因?yàn)镮=10 I=16 I=-128.所以=-8,而

6、特征方程-10+16=0的兩根為=2,=8,所以曲線的簡(jiǎn)化方程為:2x+8y-8=0,曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,這是一個(gè)橢圓.以上1.1和1.2是用通常的方法化簡(jiǎn)二次曲線,現(xiàn)在我們用二次型的理論來(lái)求解化簡(jiǎn)二次曲線.1.3 利用正交變換來(lái)化簡(jiǎn)二次曲線我們知道,因?yàn)槿我鈱?shí)二次型,都可以用正交變換化為平方和,這里是A的全部特征值. 利用高等代數(shù)里面所學(xué)的相關(guān)知識(shí),化一個(gè)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型通常用的方法是特征根法,相應(yīng)的將一條二次曲線化為標(biāo)準(zhǔn)型可以用正交變換,用它來(lái)化簡(jiǎn)出的標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的.從而離心率、面積、雙曲線的漸近線及其斜率等性質(zhì)都可以知道,有利于研究曲線的幾何性質(zhì).例3 化簡(jiǎn)二次曲線解 因?yàn)?I=1-=0 所

7、以曲線為中心二次曲線.解得中心坐標(biāo)為,取為新原點(diǎn)作移軸 則原方程變?yōu)?現(xiàn)在的二次型為,求出矩陣的特征值為,.對(duì)于,其單位正交的基礎(chǔ)解系為,對(duì)于,其單位正交的基礎(chǔ)解系為,作,轉(zhuǎn)軸公式,化為 所以標(biāo)準(zhǔn)方程為:例5 化簡(jiǎn)二次曲線 解 因?yàn)槭阶又械亩雾?xiàng)構(gòu)成了實(shí)二次型 它的矩陣 ,其特征多項(xiàng)式為:即A的特征值,當(dāng),時(shí)A的特征向量分別為,單位化得,以為列向量作正交矩陣,正交變換為帶入原方程得再進(jìn)行配方移軸可得標(biāo)準(zhǔn)方程:(雙曲線).例6 求二次曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解 二次曲線的矩陣形式易知該曲線的主直徑方程為 所以曲線與主直徑的交點(diǎn)為.又因?yàn)?所以得,.當(dāng),時(shí),其特征向量分別,.史密特正交化得,則令作正交變換,可

8、化簡(jiǎn)為整理得（拋物線）.2 二次曲線的性質(zhì)2.1 二次曲線的曲率在解析幾何中,我們學(xué)習(xí)了曲線論,知道曲線在平面中的一些性質(zhì),我們學(xué)習(xí)了如何用曲線的主直徑,漸近線,漸進(jìn)方向和曲線的中心來(lái)刻畫曲線的性質(zhì).而在微分幾何中我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)了曲線在空間中的性質(zhì),我們用曲率來(lái)刻畫空間曲線在某點(diǎn)鄰近的彎曲程度.我們知道二次曲線的三大代表類型有橢圓、拋物線、雙曲線,現(xiàn)在我們由曲率來(lái)推導(dǎo)一些二次曲線的性質(zhì).橢圓的曲率及性質(zhì) 橢圓的方程為,可得其參數(shù)方程為 則橢圓可表為,則又因?yàn)榍€的曲率方程為因?yàn)闄E圓的對(duì)稱性,現(xiàn)在只考慮y軸上半軸.再判斷橢圓曲率的單調(diào)性,不妨先設(shè), 當(dāng)時(shí) ,0 所以在為減函數(shù);,0或p0,則.由

9、導(dǎo)數(shù)公式算出P處切線斜率:根據(jù)光的反射性質(zhì),反射面切線平分入射光線與反射光線的夾角.當(dāng)PF斜率不存在時(shí), ,P處的切線斜率為1,因此反射光線斜率為0.即反射光線平行于x軸.當(dāng)PF斜率存在時(shí)(設(shè)為),則,因?yàn)?因此.即PF仰角為P點(diǎn)處切線仰角的兩倍,因此反射光線PQ與x軸平行.因此,二次曲線的一條重要的光學(xué)性質(zhì):從拋物線焦點(diǎn)處發(fā)出的光線,經(jīng)拋物線反射后,反射光線平行于拋物線主光軸.由于光路可逆,平行于拋物線的主光軸光線經(jīng)過拋物線反射后,反射光線所在的直線會(huì)聚于焦點(diǎn).根據(jù)這個(gè)性質(zhì),可以制作拋物線形狀的鏡子-凸面鏡和凹面鏡.如圖二,當(dāng)物體A,B位于主軸附近時(shí),可近似的認(rèn)為PO垂直O(jiān)A而,又因?yàn)橐虼艘?/p>

10、此面鏡成像與透鏡有相似的性質(zhì):(v0為虛像,凹面鏡f0) (u:物距,v:像距)凸面鏡與凹透鏡相似,總能形成正立,縮小的虛像(因?yàn)閒0);凹面鏡成像與凸透鏡相似,當(dāng)uf時(shí)呈正立,放大的虛像,當(dāng)u=f時(shí)不成像,當(dāng)fu2f時(shí)呈倒立縮小的實(shí)像.拋物線的光學(xué)性質(zhì)非常有用,前面提到的汽車前燈,就是燈泡裝在拋物面的焦點(diǎn)處,用平行光線照亮路面;太陽(yáng)能熱水灶的原理就是利用巨大的拋物面聚集日光來(lái)加熱;將光線通過紅寶石激光器可得激光,這通常需要大量的紅寶石,而如果用凹面鏡把光線聚集起來(lái),則可大大減少紅寶石的用量. 橢圓,雙曲線的光學(xué)性質(zhì)拋物線有奇特的光學(xué)性質(zhì),同樣橢圓雙曲線也有一些光學(xué)性質(zhì):從橢圓或雙曲線的一個(gè)焦

11、點(diǎn)發(fā)射的光線,經(jīng)反射后,反射光線所在的直線過另一個(gè)焦點(diǎn).如圖三,設(shè)雙曲線方程為,取它x軸以上的部分,則它是一個(gè)函數(shù)圖像.,焦點(diǎn),取雙曲線上任意一點(diǎn)P(P不在y軸上),設(shè),則P點(diǎn)處切線斜率: 斜率: 斜率: 因此可以求出與仰角之和(設(shè)為)的正切值:也可求出P點(diǎn)處切線仰角二倍角的正切值:,因此,即因此P點(diǎn)處切線平分與的夾角.即從一個(gè)焦點(diǎn)處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后,反射光線所在直線過另一個(gè)焦點(diǎn).同樣也能證明:從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).參 考 文 獻(xiàn)1 呂林根解析幾何M.北京:高等教育出版社,2006.4.2 王萼芳高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社,2007.11.

12、3徐光順二次曲線度量分類中的標(biāo)準(zhǔn)方程J.高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,10(4):223-224.4 梅向明微分幾何M. 北京:高等教育出版社,2008,5.5 姜衡年.二次曲線的定值J. 昆明師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),10(1):254-255.6二次曲線的一個(gè)重要性質(zhì)及其應(yīng)用J.數(shù)學(xué)教學(xué),2007.2（26）7非退化二次曲線的另一類分類及其性質(zhì)J.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),數(shù)學(xué)教學(xué),2007.2（26）:24-258 百度文庫(kù) http/ 9何郁波.線性代數(shù)中二次型應(yīng)用的研究J.懷化學(xué)院學(xué)報(bào),2009,2（28）：30-35.10 李爾源二次曲線的判定、化簡(jiǎn)及作圖J. 紹興文理學(xué)院報(bào),2001,21(4):34-37Simplification, properties and applications of the second curveREN Li-juanAbstract:This will simplify the second curve and be summarized in several ways.And to highlight the way of using the contract and the orthogonal transformation to simplify the simple quadratic cur