1、曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文非線性奇異微分方程（組）邊值問題正解的存在性和多解性姓名：王偉申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：碩士專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：張克梅20090401曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文非線性奇異微分方程（組）邊值問題正解的存在性和多解性摘要非線性泛函分析是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷的發(fā)展。非線性分析已經(jīng)成為研究數(shù)學(xué)、物理學(xué)、航空航天技術(shù)和生物技術(shù)中非線性問題的一個(gè)重要工具非線性問題產(chǎn)生于應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、控制論等各種應(yīng)用學(xué)科中，且奇異非線性微分方程的非局部邊值問題、周期邊值問題以及脈沖微分方程的邊值問題引起了許多學(xué)者的關(guān)注，是目前微分方程研究中的一個(gè)十分重要的領(lǐng)域本文利用錐理論，不動(dòng)

2、點(diǎn)理論，不動(dòng)點(diǎn)定理，非線性二擇一定理以及不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，研究了奇異非線性微分方程組和脈沖微分方程多個(gè)正解的存在性本文共分為三章：在第一章中，我們利用不動(dòng)點(diǎn)定理和平移變換，討論了非線性二階奇異半正微分方程組非局部邊值問題。（，【，十，（）（）（，讓（），（）（），叩（。）一跏，（）（讓撕（）（）卻（）（）（）（讓（）砂（），（）（），口（。）一仍（。）一（口（）卻（），秒（）砂：（），他（）如，（）（讓（）砂（），”（）曲（）個(gè)正解的存在性，改進(jìn)并推廣了文【，】中的結(jié)果正解的存在性本文在非線性項(xiàng)為半正的情形下證明了非局部邊值問題（。）三在第二章中，我們利用非線性二擇一定理和不動(dòng)點(diǎn)定理討論了奇異半

3、正非線性三階微分方程組地（“，一“）坯丌（）（）地（丌），：（）釷：（），（），（），正解的存在性，并給出所獲結(jié)果的應(yīng)用曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文在第三章中，我們利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理，研究了一類帶有積分邊界條件和算子的脈沖邊值問題一（妒（缸（）（，（），。（，），厶（札（）川（）（）咖（）【（。）（）讓（）妒（）多個(gè)正解的存在性非線性奇異半正微分方程組；正解；非局部邊值問題；周期邊值問題；非線性二擇一定理；不動(dòng)點(diǎn)定理；脈沖微分方程；積分邊界條件；不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)關(guān)鍵詞：曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，。，：（）（）（，（），（）（）（）（）（，（），釘（）（），剛（）跏，（）（讓（）齜（），巾）卻（），（），

4、札（），（讓（），（），（）。（），掣（）剛（。）：（吣）訛（），巾）嘞（），（）如口，（）（小腳：，巾）蚴（）（）（）曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文【，】，：眥眥，一一打（），工礦：“，厶，似蟣一一神）又艮，義孫，：一（，（），（，（），（，），？：（），七，（）【（。）鮒）啦（”）（）姒讓）砒：；曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文原創(chuàng)性說明本人鄭重聲明：此處所提交的碩士論文非線性奇異微分方程（組）邊值問題正解的存在性和多解性，是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下。在曲阜師范大學(xué)攻讀碩士學(xué)位期間獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果論文中除注明部分外不包含他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果對(duì)本文的研究工作做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中

5、已明確的方式注明本聲明的法律結(jié)果將完全由本人承擔(dān)作者簽名：日期：咿今曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文使用授權(quán)書袋非線性奇異微分方程（組）邊值問題正解的存在性和多解性系本人在曲阜師范大學(xué)攻讀碩士學(xué)位期間，在導(dǎo)師指導(dǎo)下完成的碩士學(xué)位論文本論文的研究成果歸曲阜師范大學(xué)所有，本論文的研究內(nèi)容不得以其他單位的名義發(fā)表本人完全了解曲阜師范大學(xué)關(guān)于保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向有關(guān)部門送交論文的復(fù)印件和電子版本，允許論文被查閱和借閱本人授權(quán)曲阜師范大學(xué)，可以采用影印或其他復(fù)制手段保存論文，可以公開發(fā)表論文的全部或部分內(nèi)容藏川叼第一章非線性二階奇異半正微分方程組非局部邊值問題的多個(gè)正解引言常微分方程組非局

6、部邊值問題產(chǎn)生于應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域近年來，對(duì)于非局部邊值問題的特殊情形多點(diǎn)邊值問題的研究已有豐富成果【，但多數(shù)只對(duì)非線性項(xiàng)為正的情形進(jìn)行了研究很自然的，對(duì)這一具體領(lǐng)域的進(jìn)一步研究即為非線性微分方程組奇異半正非局部問題。本章研究下列非線性奇異半正微分方程組（）（）（，札（），（）（），口（）（）（，（），（）（），（。）一（。），（亂（）妒（），（）妒（），（）（），（）（），（）（），巾）一剛（）砘（?。ǎ?，?。ǎ?，例（）州（）仍（巾）訛（），?。┯灒ǎ┤齻€(gè)正解的存在性其中（，），【，。），（）在或奇異，：【，】【，。）【，）一【，。），歷，：【，】【，。）【，）連續(xù)，成，況，并且（屈

7、，；，口：（，）（一。，）可積，且在，】內(nèi)有有限個(gè)奇異點(diǎn)；（）（，）或（）尼（，）在（，）的任一子區(qū)間上不恒為零；？（）晚（），：；，（）也（），爿“（）以（），爿？，（）嘰（）。一，表示積分在上述類型的方程組中，非線性項(xiàng)是可以變號(hào)的，這類問題通常被稱為半正問題第一章非線性二階奇異半正微分方程組非局部邊值問題的多個(gè)正解艾矧中，尿平等利用不動(dòng)一點(diǎn)足理甜零非局鄢邊值列題（）（）（瓦讓（），（），（）（）（，玨，（），剛（）州（。）。，（）“，（）。（）酬），?。┧海ǎ?，口（。）一傷口（。）。，仇（）如，（）仍（）（），（）砂（）三個(gè)正解的存在性這里吼（，），。），（，】，）【，），。），即非線性項(xiàng)

8、是非負(fù)的文【中，劉立山，張新光等利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理研究了奇異半正邊值問題，一（）（，耖（），（）（），一（）（，（），（）黿（），（）（），（）（）正解的存在性，但這里所研究的問題為兩點(diǎn)邊值問題（）受文獻(xiàn)，】啟發(fā)，本章用不動(dòng)點(diǎn)定理和平移變換，在非線性項(xiàng)為半正的情形下證明了非局部邊值問題（）三個(gè)正解的存在性預(yù)備知識(shí)和引理為了方便，我們首先給出不動(dòng)點(diǎn)定理設(shè)為實(shí)空間中的一個(gè)錐，映射：一，）連續(xù)，如果對(duì)任意的，有（一）（）（一）（夕）（或（十（一）（）（一）（），則稱為上的非負(fù)連續(xù)凹（或凸）泛函設(shè)為給定的常數(shù)，為上的非負(fù)連續(xù)凹泛函定義集合），（，）定理（），）設(shè)：一夏為一個(gè)全連續(xù)算子，為上的非負(fù)連續(xù)凹

9、泛函，對(duì)任意的夏，（）忙，如果存在滿足（）（口，）口（）仍，并且對(duì)任意的。尸（，），有（），（）對(duì)任意，都有，曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文（）對(duì)任意（，），：，都有（），則至少有三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，滿足忙，（），且。，（）引理設(shè)（），】，或，則問題刪刪叫）一刨佃，屈娌，腳夠虹壇（）機(jī)（），（）譏甌吼“，伯讓廠厶釘、：）咖（）有唯一解“（）以小燦掣吼（小腳小，小腳如，），（）妒（），魚掣（缸（）妒（），其中優(yōu)眥幻他仇），），（）一鳳，、成脘證明由（）得札訊）一（）十亂，（），（）一（）（）（）“（），因此，我們有，（）札（）一）（），一（）（）（）（），第一章菲線性二階奇異半正微分方程組非局部邊值問題的多個(gè)

10、正解再由邊界條件得（。）詈仇（“（）（），（）（）（一）（），一爰（）妒（），（）螂（），。）爭(zhēng)（。）辦（銘觸以）州）魯仇（小班似，吣黼，）吃（）以（），鈔（）砒（）魯【（一）文（）甌磯因此一（叫?。╇滓姲牒穑ㄐ∧_小，巾腳如，）盈（一）（瓦）（）甌（一）（）砂（），（）砂（）吼（）（），（）（）（）妒（），（）矽（）屈風(fēng)為了方便，先列出本章中我們要使用的假設(shè)：（）譏，也為定義在【，】上增的非常數(shù)函數(shù)，且蛾（），以（），（）（）在（，）的任一子區(qū)間上不恒為零，并且片（，）（）。（），：（，）一（一。，）可積，詹一（），啟一（），并且有（）（）魯，。（）（）魯，其中（）（），），一（）（），），（

11、）（），），一（）一，（），），麗高南司，曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文注由條件（），存在（，）使得（），從而可取矽（，）使得（，一穢）另外，由（，）的表達(dá)式易得（，），；（）（，），；（，），（，），日，（，去），；（，）（，）（，）（）或（，），【，】，注由于我們只要求口：（，。）（一。，）可積，很明顯下列條件（）為所滿足條件的特殊情形，這就意味著，可以有有限多個(gè)奇異點(diǎn)，并且（）的非線性項(xiàng)（）（，（），（）（），（）止（）（）（）可以趨向于負(fù)無窮（）對(duì)給定的，：（）他，）（一。，）連續(xù)可積，并且詹一（），詹一（）注若（，）滿足（）且（），（）（或（），（），（，），則我們稱（，）為（）的正解對(duì)任

12、意的【】，定義函數(shù)【（圳。：以）呱），（）令（）（，）一（），由條件（），有（）（，）一（），（）一（）（，）一（）去一（），（）（）叮一（）（吖一（）小壺一（）幽（）通過直接計(jì)算可得，（）一（），；（）一（），（）一（），“（）一阮：（），（）“，：（），“，（）：（）從而，（），（）分別為下列邊值問題（）一（），（）一札，（），；（），（），第一章非線性二階奇異半正微分方程組非局部邊值問題的多個(gè)正解：意宅囂赫“以壚。的正解為了解決半正帶來的困難，我們考慮下列奇異非線性常微分方程組一札，（一（】，【（）。），一，（）（）（，【（）（）】，【（）（）（），（。）一（。），。，（）矽，（），（）

13、妒（），（）（）。（）。（），（）。（），邶）一剛（。）（吣）訛（），（）齜（），。，（）：（）（）多（）（）咖（），則（，）為（）的解等價(jià)于（，）為下列積分方程的解（）（，）【（）（，【（）一（），【（）一（）】）（），掣（小腳小，）撕），魚半，（），（），釘（）妒（），秒（）（，）陋（）厶（，阻（）一，（）】，（）一（）】）（）】，（魚掣。（）嘞（），?。┯灒ǎǎ┒剩ǎ?，（）妒（）（）設(shè)，】，】，（，），令（，），其中札（），（），則在所定義的范數(shù)下為一個(gè)空間定義中的錐（眠？，）：（），（），【，】曼（，）定義一個(gè)非線性積分算子：?。?，）（）（，）（）（，）（），曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文

14、其中（，）（）（，）（）（，【（）一（），【（）一：（）（）】（一）（小腳小，?。d，（）矽（），（）妒（），腳（，）。（）止（，【（）一（）】，【（）一（）】）（）】龐鐫（一）仍（小腳，小膨）（札（）砂（），（）妒：（），因此，性（）正解的存在性等價(jià)于算子丁在空間中不動(dòng)點(diǎn)的存在引理若（，）滿足（）（），（）（），【】，為（）的一個(gè)正解，則（，口一）為奇異半正微分方程組（）的一個(gè)正解證明若（。）為（。）的一個(gè)正解并且滿足釷（）（），（）（），【，】，則由（）與【（）】的定義可得一“”（）（）（）一（），（）一（）（），一口”（）（）（，（）一（），（）一（）（），剛（。）一脅，（）。（）蚍（）

15、，巾）批（），乜（）（）（玨（）（），鈔（）矽（），巾）一倒（。）危（）訛（），?。﹨s（），：（）：（）（）砂：（），（）。（）（）令（）（）一（），（）（）一（），則（）（）一？（）（）第一章非線性二階奇異半正微分方程組非局部邊值問題的多個(gè)正解口（）一蘭（），從而（）？（）一一（），（）”，（）一一（）故（）變?yōu)橐粊y；（）（）（，（），移（）（）一一（），一，（）（）止（，札（），（）“（）一一（），（）掣（卟剛（。）。（札（）卻（），?。┯灒?，釘（）：（）（）妒（），（）痧：（）注意到，（）（）一一（），（）（）一一（），故由（）知，（，）為（）的一個(gè)正解，即（一（，秒一）為（）的一個(gè)正解

16、主要結(jié)果為了方便，先列出下文中我們要用到的記號(hào)：彳躦，（【（）（）】罷譽(yù)（）“（）】，江，帆：唧少（抽）以）厶志煮，赤麗抽）啦（）幽，厶麗五而，。南麗，江，帆唧少一引理：，證明對(duì)任意的（，），由注以及（，?。?，口（札，？，），【，】，可得（，）（，）（）口，口（）躑（）。（小酬上（）躑（）（）驢。（）廠廠、（，）（）（，（）一（）】，（）一（）十（）】曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文（，）（，）（）尾（小班似，小腳）如，：（小，?。?，）【：（）（，【（）一。（）】，（）一（）（）】，因此，對(duì)任意的（，），由（，）（，）及以上兩式得一，。（，）（）。壁曼“（）脅（）一（）】？【（）一（）（）（）（），

17、可（），（）（一）（）妒。（），（）妒（）（壟睪（小州州）小州州）（吣酬，小川，）（，）（）（，【（）一（），扣（）一（）】）（）】（，）同理可證，對(duì)任意的（，），有一似（帆州），？（“，川故口裂口（，）（）（，勘）（）（“，）（，）（，）（，）從而，（，）（，？口（讓，），即（）證完很明顯，問題（）正解的存在性等價(jià)于丁在中有非零的不動(dòng)點(diǎn)最后，我們定義上的非負(fù)連續(xù)凹函數(shù)（，釘）陽一日（）可（帆可以看出，對(duì)任意（，），位（？”，）川，）在這部分中，始終假設(shè)，吼，以，為六個(gè)正常數(shù)，并且擊云擊擊壽西第一章非線性二階奇異半正微分方程組非局部邊值問題的多個(gè)正解定理假設(shè)（）一（）成立，且存在非負(fù)常數(shù)口，滿

18、足，旭，艦轟，。，且（亡，），（，可），（，可）滿足以下增性條件：（）（，）壺憊一，】，仳，】，（）（，）去（），忱【，也（）】，（，）手（多），鼢【，哦（）】，（）五（，）去憊一，亂，】，（）（）（，心（）一（）】，扣（）一）】牛）磊，一印，（）【，軎】，或（）（，【（）一（），（）一（）宰）而，一明，（）（），；】，則問題（）至少有三個(gè)正解（，），（，可），（，）滿足（，），（）（）（耽），（，蜘）且一（）（）（）（）證明由引理知，只需證明問題（）有三個(gè)正解，即算子有三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（，），（，），（，）滿足訛（）（），饑（）（），且（，）口，一一一口（）（），（，）且一口（）十（）事實(shí)上，若上

19、述結(jié)論成立，則（，）（仳，一），（，）（一，一），（，）（一，一）為（）的三個(gè)正解，且滿足），一（）（叫），（，）且（）（）（）（）如果（，），由條件（）可得。首先證明：為全連續(xù)算子，其中（玨，穢）（仳，）。仇（）（），（）也（）豪厶（）（）（）似）云燕，（）妒（），可（）矽（）三已（釷（）（）妒（）丟哪舡）丟巷瓦墮皇墮整盔堂堡主堂垡壘塞再由條件（），有（，）蹈（，）（古）罐囂（，）（）坯。（亡，）【（）（，【（）一（），扣（）一叫（）（）！如島口，（）幣（），。（）幣（），（一），（小舭，帥，）。蛭（：（，）陋（）厶（，心（）一（），（）一（）】）（）十屆（）（），（）審（）十如仇（一）（）

20、矽（），（）移（）風(fēng)（牡（）曲（），了九。（刪州，巾（）（），）丁。（）。（），（）步（，）如他十危。（小淵，小刪，）咔一猷赳一。（，）【（）（，阻（）一（）】，（）一“（）（）】吒一釵目（，）（），（，心（）一（）。，（）一（）】）（）】三曇三三三三因此，（，），即：再由定理易知為全連續(xù)算子由條件（），完全類似的可以證明，如果（，），則咿（，），即定理的條件（）滿足下證定理的條件（）滿足顯然，（，鉚）（口，；）（，口）若（，）（，；），則（）（）石，眠一釓再由條件（王）（），第一章非線陛二階奇異半正微分方程組非局部邊值問題的多個(gè)正解有口（缸，）（）心（，）（）（，口）（）口半（小，小川，）夕

21、（玨（）卻（），（）鄙，（）下現(xiàn)（厶刪，小蝴）警九。（蝴，小班州），一口（，）（）（，（）一（），（）一忱（）（）】一口（，）【（）止（，（）一，（），（）一（）】。）（）】廣厶（，）口（）（，）一（），（）一。（）】）擊一一。（如（）幽去仇。，同樣地，由條件（）（）可得（，）（）面姆一（如）以）如老，故定理的條件（）成立最后，我們證明定理的條件（）成立對(duì)任意的（，口）（，），?。ā埃?；，由引理的證明知（，口）（），一口（，）（）（，）（）釧（，）（圳，從麗，定理的條件（）成立由定理知，有三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即（）有三個(gè)正解（，），（“，），（，）滿足（，），一口（）（），）且一（）卜曲阜師范大學(xué)碩

22、士學(xué)位論文影（）再由條件（），有、，一、，一（，）【（）（，【（）一（）】，（）一：（）（）】小肛心。（）州）“）（，）肛（，）（）。，一（，）：（）一（，）一（）即（）（），同理可得地（）（），第二章奇異半正非線性三階微分方程組周期邊值問題的正解引言本章研究奇異半正非線性微分方程組，亂，）龜），、（）上。工，（）（丌），：（）讓：（），（），（），：【，】正解的存在性，其中（，擊），允許（，）在處奇異，作者對(duì)周期邊值問題進(jìn)行了研究，見文】文【】考察了以下奇異非線性周期邊值問題）【，。）連續(xù)，：，】連續(xù)，禮近年來，許多（，），（）（丌），其中（，擊），在，為正和半正的的情形下，分別利用非線性二

23、擇一定理和不動(dòng)點(diǎn)定理，得到以上邊值問題至少一個(gè)正解的存在性結(jié)果自文【】以來，半線性奇異方程”（）警（），其中，丁】，入，引起了許多學(xué)者的關(guān)注【，】文【】將上述方程推廣到更一般的形式，研究帶有奇異非線性擾動(dòng)項(xiàng)的方程（）（，）（）的正周期解的存在性。這種奇異方程出現(xiàn)在應(yīng)用中的許多問題中，比如非線性彈性學(xué)【，方程【】等受文獻(xiàn)【，啟發(fā)，本章在非線性項(xiàng)滿足更為廣泛的條件下，分別利用非線性二擇一定理和不動(dòng)點(diǎn)定理討論了（）的兩個(gè)正解的存在性本章中（）可以變號(hào)，改進(jìn)并推廣了文【】中的結(jié)果本章用到以下記號(hào)：罩（，。）：，對(duì)，定義曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文（，。），（，）”，如果（，一，。一。）至，則記為如果對(duì)比鼢

24、并且剪，有（）妒（），我們稱妒：酣非減類似地，可定義函數(shù)非增任給妒【，】，如果對(duì)【，丌】，妒（）且妒在【，】的任一測(cè)度為正的子集上值為正，則記為砂卜設(shè)為定義在（，）上的可測(cè)函數(shù)，若存在常數(shù)使得（）測(cè)度為零（即對(duì)（，），（），稱：為本質(zhì)有界的如果存在，則稱最小的為的本質(zhì)上確界類似可定義本質(zhì)下確界妒【，丌】，記和。為妒的本質(zhì)上確界和本質(zhì)下確界記通常的范數(shù)為，的共軛指數(shù)記為痧：；預(yù)備知識(shí)和引理吾對(duì)，】，】，】，定義算子（）（），如（），厶（），其中，（，）口（）“（）以：，、一、（）（，）而瑟啞蜓億，（）萬，。，后”（，）；（刪、。通過直接計(jì)算，很容易可以得到：現(xiàn)在考慮問題（六讓，如讓，厶“）（），

25、（）“：“）（丌），讓：（）：（），如果“（，。）為（）的一個(gè)正解，即滿足（）且扎（），【】，貝（）（），（），厶（）為（）的一個(gè)正解第二章奇異半正非線性三階微分方程組周期邊值問題的正解引理邊值問題（）等價(jià)于積分方程，（）其中（）（，（，）（）巳（）】，（，）（）（卜雩（丌一）一冊(cè)雩（一）】、口（，一，”一、）（，），（）（“卜【譬（一）一卵雩（丌一）】麗及胛；。品一（）云歷丌一一，并且，（，）滿足。弓器（）了百萬磊而引理假設(shè)為賦范線性空間，丌】，記口口下面給出定理證明中用到的非線性二擇一定理和不動(dòng)點(diǎn)定理為的凸子集，為開集且，則每個(gè)全連續(xù)映射：至少有下列性質(zhì)之一：（）在中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，（）存在

26、，使得（）（一），（）引理【設(shè)是中的有界凸閉集（不一定有內(nèi)點(diǎn)），：全連續(xù)，則在中必具有不動(dòng)點(diǎn)在下面的應(yīng)用中，我們?nèi)?，】，丌】，并且?duì)（，“，扎。），定義，一一。？，其中？【，】（）定義算子：，（，疋亂，），其中，（正？）（）（，）【（。，札）（），（），【，】（）主要結(jié)果（）曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文在這一部分中，我們利用非線性二擇一定理證明問題（）的一個(gè)正解的存在性定義函數(shù)，：【，】一，其中（）（，）（），則（）為線性問題，一札：島（），丌，札（）札（丌），：（）“：（），的唯一解記（），（）定理假設(shè)，（，）滿足以下條件：（）對(duì)任意常數(shù)，存在函數(shù)九，使得對(duì)每個(gè)五有（，亂）（），【，丌】，釓【）（，】，（）對(duì)每個(gè)，存在非負(fù)連續(xù)函數(shù)（），玩（札），（）使得；（，）七（）（似）（“），（，）【，】（嘩），并且（）非增，（）（）非減（）