1、人教版選修2-1公開課教案2.1.2 曲線與方程江玉海 安徽師范大學附屬外國語學校二00九年十二月二十四日 曲線與方程安師大附外 江玉海 一 教學目標1、知識目標：（1）理解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系；（2）初步領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；（3）學會根據(jù)已有的資料找規(guī)律，進而分析、判斷、歸納結論；（4）強化“形”與“數(shù)”一致并相互轉化的思想方法。2、能力目標：（1）通過直線方程的引入，加強學生對方程的解和曲線上的點的一一對應關系的認識；（2）在形成曲線和方程的概念的教學中，學生經(jīng)歷觀察、分析、討論等數(shù)學活動過程，探索出結論，并能有條理的闡述自己的觀點；（3）在構建曲線

2、和方程概念的過程中，培養(yǎng)學生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力、知識遷移能力、合情推理能力，同時強化“形”與“數(shù)”結合并相互轉化的思想方法。3、情感目標：（1）通過概念的引入，讓學生感受從特殊到一般的認知規(guī)律；（2）通過反例辨析和問題解決，培養(yǎng)合作交流、獨立思考等良好的個性品質，以及勇于批判、敢于創(chuàng)新的科學精神。二 教學重難點教學重點 曲線和方程的概念教學難點 曲線和方程概念的理解三 教學方法 問題探究和啟發(fā)、引導式相結合四 教學用具：多媒體課件五 教學過程：知識回顧1、在什么條件下，方程f(x，y)0是曲線C的方程，同時曲線C是該方程的曲線？ （1）曲線C上的點的坐標都是方程 f(x，y)0的解

3、； （2）以方程f(x，y)0的解為坐標的點都在曲線C上. 2、平面解析幾何研究的主要問題是：（1）求曲線的方程;（2）通過方程研究曲線的性質.在平面上建立直角坐標系: 點 坐標(x,y) 曲線 曲線的方程例題講解例1、設A、B兩點的坐標是 (-1,-1)、(3,7),求線段AB的垂直平分線的方程.解法一：,所求直線的斜率=-0.5又線段AB的中點坐標是，即(1,3)線段AB的垂直平分線的方程為.即x+2y-7=0解法二:若沒有現(xiàn)成的結論怎么辦?需要掌握一般性的方法問題1.設A、B兩點的坐標是 (-1,-1)、(3,7),求線段AB的垂直平分線的方程.解:設M(x,y)是線段AB的垂直平分線上

4、的任一點,則 |MA|=|MB|()由上面過程可知,垂直平分線上任一點的坐標都是方程的解;設點的坐標是方程()的解,即 上面變形過程步步可逆, 綜上所述,線段AB的垂直平分線的方程是.第一種方法運用現(xiàn)成的結論當然快,但它需要你對研究的曲線要有一定的了解;第二種方法雖然有些走彎路,但這種方法有一般性.求曲線的方程(軌跡方程),一般有下面幾個步驟:1.建立適當?shù)淖鴺讼?設曲線上任一點M的坐標;2.列出適合條件P的幾何點集:;3.用坐標表示條件,列出方程;4.化簡方程為最簡形式;5.證明(查漏除雜).例2、已知一條直線和它上方的一個點F,點F到的距離是2.一條曲線也在的上方,它上面的每一點到F的距離

5、減去到的距離的差都是2,建立適當?shù)淖鴺讼?求這條曲線的方程.解:取直線l為x軸,過點F且垂直于直線l的直線為y軸,建立坐標系xOy,設點M(x,y)是曲線上任意一點，MBx軸，垂足是B，那么MF-MB=2，把M點坐標代入上式得：，平方得：，化簡得：。因為曲線在x軸的上方，所以y0, 所以曲線的方程是 練習1.已知點M與軸的距離和點M與點F(0,4)的距離相等,求點M的軌跡方程。解:設點M的坐標為(x,y)點M與軸的距離為,=這就是所求的軌跡方程.2. 長為2的線段AB的兩端點分別在兩條互相垂直的直線上滑動，求線段AB的中點M的軌跡方程. （x2y21 ）例3、已知線段AB, B點的坐標（6,0

6、），A點在曲線y=x2+3上運動，求AB的中點M的軌跡方程.解；設AB的中點M的坐標為（x，y），又設A（X1，Y1），則點A（x1，y1）在曲線y=x2+3上，則y1=x12+3代入，得：2y=（2x-6）2+3變式練習：若三角形ABC的兩頂點C，B的坐標分別是C（0，0），B（6，0），頂點A在曲線y=x2+3上運動，求三角形ABC重心G的軌跡方程.例4、經(jīng)過原點的直線l與圓相交于兩個不同點A、B，求線段AB的中點M的軌跡方程.解法一:設M,A,B且由得即(易知)化簡得所求軌跡方程為(在已知圓內部一段弧對應的方程)相關點法:動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另

7、一動點Q(x，y)的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x,y表示為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，也稱代入法。 簡單地說：利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關系，把所求動點轉換為已知動點滿足的曲線的方程，由此即可求得動點坐標x,y之間的坐標。解法二:設M,A,B則設直線l的方程為由方程組消去y得消去參數(shù)得小結：1.求曲線方程的常用方法:（1）直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關系，這些條件簡單明確，易于表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。用直接法求動點軌跡一般有建系,設點，列式，化簡，證明五個步驟

8、，最后的證明可以省略，但要注意“挖”與“補”。（2）定義法：運用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關系式，從而求出軌跡方程。（3）代入法：動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點Q(x，y)的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x,y表示為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關點法。（4）參數(shù)法：求軌跡方程有時很難直接找到動點的橫坐標、縱坐標之間的關系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程。（5）交軌法：求兩動曲線交點軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點時常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變種。2.軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，軌跡是指曲線，軌跡方程是指曲線的方程.求軌跡方程的本質，就是在給