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1、第十七章 各類積分的聯(lián)系回顧:一元函數(shù)積分學(xué):§17-1 格林公式及曲線積分與路徑無關(guān)的條件一、格林公式 概念:單連通區(qū)域, 復(fù)連通區(qū)域; 正向; 格林定理:設(shè)閉區(qū)域,是由有限多條分段光滑的閉曲線所圍成. 函數(shù)在D上具連續(xù)的一階偏導(dǎo),則有 (格林公式) 其中是取正向記: 圖示 光設(shè)D(既是X型又是Y型)即穿過區(qū)域D內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸的直線與D的邊辦曲的交點(diǎn)恰兩點(diǎn).設(shè)D:, 因此 設(shè)D: 類似可證 即得格林公式例1:計(jì)算曲線積分 :(1) 逆時針 (2) 上半部分,軸,逆解: 由Green公式 (1)計(jì)算曲線積分 (2)例2:計(jì)算橢圓所圍面積A.解: :常數(shù)方程 例3:計(jì)算,其中是 (

2、1)使所含區(qū)域D不含原點(diǎn)的分段光滑封閉曲線,沿正向(2) 含原點(diǎn)但不徑原點(diǎn)解: (1) 滿足Green Th 連續(xù)條件 (2) 不滿足Green Th 連續(xù)條件 選取適當(dāng)小的,作圓周:(使全部含于所圍區(qū)域) 記圍成D, 于是在內(nèi), 格林公式成立 故 法一:右式 法二:右式二、平面上單邊通區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件概念:曲線積分與路徑無關(guān): 圖示 (且公與有關(guān))定理:和平面單連通域D上具連續(xù)一階偏導(dǎo),則如下四條件等價. (1) (2) 分段光滑閉曲線 (3)積分在D內(nèi)與路徑無關(guān),公與A,B位置有關(guān) (4)存在單值函數(shù), 使它全微分 即 證明:同證, 下證, , 存在函數(shù) 使 則 于是 由

3、條件 (連續(xù)) 故 曲線積分 僅與 ,有關(guān), 記 (說明右式是函數(shù)) 下證 同理, 故 推出公式: 圖示 AC: CB: 曲線積分計(jì)算公式原函數(shù)計(jì)算公式 特 可證 -曲線積分的N-2公式例4:計(jì)算 三路徑.解: 圖示 例5:計(jì)算.是的上半圓周.從到解:.I值與路徑無關(guān) , 則 例6:.:例5.解一:不能用與路徑無關(guān)的相關(guān)公式. 非閉 :才能用Green公式. 原始方法(第二類曲線積分) 圖示 幾乎不可能解二:(設(shè)法滿足二之一: 閉),設(shè):(從A到O直線段),則構(gòu)成閉曲線,順進(jìn)針.所圍閉域D:, 由Green公式 (即)而 故.解三:(設(shè)法滿足二之另一,) 設(shè) 則 與路徑無關(guān).例7:(得用曲線積分求)的原函數(shù). 并求.(其中是從A(1,0)

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