1、分類變量的重復(fù)測量分類變量的重復(fù)測量資料分析資料分析流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)教研室流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)教研室沈毅沈毅2005.3.15 分類變量分類變量（categorical variable）又稱為定性變量（qualitative variable），在工作中應(yīng)用甚廣。根據(jù)其不同的取值性質(zhì)，又可分為3種類型： 第一種是名義刻度名義刻度（nominal scale）的分類變量，它是按事物屬性分類的變量，如性別、職業(yè)等。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上為了計(jì)算方便，將這些不同的屬性進(jìn)行數(shù)量化處理，如男性賦值為1，女性賦值為2。這種數(shù)值只是作為屬性的代碼，其間并無大小之分。 第二種為有序刻度有序刻度(ordinal scal

2、e)的分類變量，它是根據(jù)事物呈現(xiàn)出的程度或水平不同進(jìn)行賦值。如臨床化驗(yàn)結(jié)果用符號“-、+、+、+”，文化程度用“文盲、小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)、研究生”來劃分等級，在進(jìn)行數(shù)量化處理時(shí)賦值1、2、3、。這里需要注意的是，1與2之差不一定等于2與3之差。 第三種是區(qū)間刻度區(qū)間刻度（interval scale)，如人口學(xué)統(tǒng)計(jì)中的年齡分組，“0-，10-，20-，”就是典型的例子。根據(jù)資料的性質(zhì)，區(qū)間跨度有等距的，也有不等距的。 把分類變量作為反應(yīng)變量進(jìn)行重復(fù)觀察的情形在工作中應(yīng)用較廣。在本書第九章第五節(jié)中介紹了二分類反應(yīng)變量的重復(fù)測量資料分析方法。 本章將介紹分類反應(yīng)變量重復(fù)測量資料的一般分析方法。主要介

3、紹加權(quán)最小二乘法分析方法。第一節(jié)一個(gè)總體的二分類反應(yīng)重復(fù)測量資料的分析。第一節(jié)第一節(jié) 二分類反應(yīng)重復(fù)測量二分類反應(yīng)重復(fù)測量資料的分析資料的分析一、資料結(jié)構(gòu) 設(shè)有n例受試者，反應(yīng)變量y，分為 r水平（當(dāng)r=2時(shí)稱y為二分類反應(yīng)變量)，有p個(gè)觀測時(shí)間點(diǎn)，每一受試者可能出現(xiàn)的結(jié)果共有rp種。當(dāng)r=2、p=3時(shí)的所有可能結(jié)果共有8種。當(dāng)對y用（0，1）賦值方法時(shí)，n例受試者在這8種組合情況下出現(xiàn)的邊際合計(jì)數(shù)為n000至n111。詳細(xì)分配情況見下面示意圖圖11 .1。 邊際合計(jì)數(shù)n000至n111是每種可能取值結(jié)果組合情況下的觀察例數(shù)?？偫龜?shù)n為邊際合計(jì)數(shù)之和。如果將上述示意圖資料按獨(dú)立觀察資料整理各時(shí)

4、間點(diǎn)的頻數(shù)分布時(shí)（表11.1),每一時(shí)間點(diǎn)的合計(jì)數(shù)都為n=n1+=n2+=n3+，總例數(shù)變成了3n而不是n。但實(shí)際是觀察例數(shù)為n，觀察次數(shù)為3n。一般統(tǒng)計(jì)學(xué)方法是以表11 .1的資料類型為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行分析的。而本章介紹的方法是以圖11 .1的邊際合計(jì)數(shù)為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行分析的。二、模型結(jié)構(gòu) 受試者i在時(shí)間點(diǎn)j的反應(yīng)變量為yij ，其取值概率為pj，（j=1,p）。單總體重復(fù)測量資料的任務(wù)為是要分析這p個(gè)概率p1，pp，是否相等。令反應(yīng)頻數(shù)的某種函數(shù)即反應(yīng)函數(shù)（response function）Ff（m），建立的線性模型為： 式中X為dq維的設(shè)計(jì)矩陣，d=(r-1)p，為反應(yīng)函數(shù)。B為q維未知參數(shù)。

5、由于每一個(gè)體在不同時(shí)間點(diǎn)的反應(yīng)變量的取值是相關(guān)的，因此，在配合模型時(shí)應(yīng)將這種相關(guān)性納入模型中。對式（11.1)求參數(shù)估計(jì)值的加權(quán)最小二乘解法就是在考慮到這種相關(guān)性的基礎(chǔ)上建立起來的。模型（11.1)的加權(quán)最小二乘解法求參數(shù)的估計(jì)值 的計(jì)算公式為 例11.1一項(xiàng)藥物對風(fēng)濕性關(guān)節(jié)炎的治療效果觀察。用一種藥物對46名患風(fēng)濕性關(guān)節(jié)炎的病人進(jìn)行治療，共三個(gè)療程。每個(gè)療程結(jié)束后評價(jià)其治療效果。有效者記為yij=1，否則yij=0 i=1，,46; j=1,2,3。資料列于表11.2中。表中的T1,T2,T3分別代表三個(gè)療程。本項(xiàng)研究的目的是探討不同療程的療差別。三、配合線性模型的步驟 表11.2為資料的原

6、始記錄形式，需要將其整理成邊際頻數(shù)表的格式后再配合模型。計(jì)算步驟介紹如下。 1.首先用下列SAS程序計(jì)算邊際合計(jì)數(shù) 程序中的subj為受試者號，time1、time2、time3代表3個(gè)療程。計(jì)算出的邊際頻數(shù)列于表11.3中。從而得到邊際頻數(shù)向量n及其函數(shù)邊際頻率向量m為： n= (6 16 2 4 2 4 6 6) M=(6/46 0.3478 0.0435 0.0870 0.0435 0.0870 0.1304 0.1304) 用nj及mj表示向量n及m中的元素。 2.給出轉(zhuǎn)換矩陣A 本例的轉(zhuǎn)換矩陣A的結(jié)構(gòu)為 A的作用是將反應(yīng)頻率M轉(zhuǎn)換成反應(yīng)函數(shù)F。 3. 求出反應(yīng)函數(shù)F 它是每一時(shí)間點(diǎn)反

7、應(yīng)變量各個(gè)水平的邊際概率。但它不包含該反應(yīng)變量最后一個(gè)水平的反應(yīng)概率。本例有3個(gè)時(shí)間點(diǎn)（time1 time2 time3），每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的反應(yīng)變量為r=2水平，故每一時(shí)間點(diǎn)只有一個(gè)反應(yīng)函數(shù)。共有3個(gè)反應(yīng)函數(shù)為： 如f1=0.6086957=0.1304348+0.3478261+0.0434783+0.0869565 以上分析可用SAS的CATMOD過程。程序如下： PROC CATMOD DATA=exmp11_1 order=DATA; RESPONSE MARGINALS; MODEL time1*time2*time3=_RESPONSE_/ONEWAY COV; REPEATED t

8、ime3/_RESPONSE_=time; RUN; 程序中的RESPONSE MARGINALS語句是指定反應(yīng)函數(shù)為在MODEL中規(guī)定的反應(yīng)變量的邊際概率。輸出結(jié)果見表11.5、 表11.6、 表11.7。 從輸出的表11.5反應(yīng)函數(shù)和協(xié)方差矩陣中看出，第一和第二療程的有效率都為0.6087（60.87%），第三療程的有效率為0.3478（34.78%）。從表11.6方差分析看，標(biāo)記time的有效率分析，第三療程的效果顯著低于前兩個(gè)療程。對各療程療效一致性的假設(shè)檢驗(yàn)可用下列公式計(jì)算。令對比矩陣C為： 從表11.7加權(quán)最小二乘估計(jì)值分析可見，有關(guān)TIME的兩個(gè)參數(shù)估計(jì)值都為正值，反映藥物在療程

9、1、2期的效果優(yōu)于第3期的效果。在程序中的REPEATED語句的下面加入CONTRAST語句：CONTRAST time1 VS time3_RESPONSE_2 1; 或CONTRAST time1 VS time3 ALL _PARMS 0 2 1;為了檢驗(yàn)第一療程與第三療程療效的相等性，所用的檢驗(yàn)假設(shè)為： Ho：22 3或Ho : 2 2 3 0 ；H1：2 2 3 0 這是因?yàn)樵趨?shù)化時(shí)用了關(guān)系式4 2 3（ 4代表第三療程療效），故有2 4等價(jià)于2 2 3 上述SAS程序是用每個(gè)病例的記錄建立數(shù)據(jù)集配合模型用的，也可以用頻數(shù)表資料（表11.3)配合模型。所用SAS程序?yàn)椋旱玫捷敵鼋Y(jié)果

10、見表11.8。從表11.8對比分析看出，第一期的療效與第三期療效間有顯著差異（P0.0161）。DATA exmpl 1_1; INPUT time1 time2 time3 count;CARDS; 1 1 1 6 1 1 0 16 1 0 1 2 1 0 0 4 0 1 1 2 0 1 0 4 0 0 1 6 0 0 0 6 ;PROC CATMOD DATA=exmpl 1_1 ORDER=DATA; RESPONSE MARGINALS; WEIGHT count;MODEL time1*time2*time3=_RESPONSE_/ONEWAY COV; REPEATED time3

11、/_RESPONSE_=time;RUN;第二節(jié) 多組資料的分析方法 當(dāng)有多組資料時(shí)，統(tǒng)計(jì)分析所要回答的問題有三點(diǎn)： 資料是否存在組間差異。 反應(yīng)是否隨時(shí)間變化。 是否存在處理組與時(shí)間之間的交互效應(yīng)。分析所用公式以及計(jì)算步驟與單總體的情形基本一致。 下面用一個(gè)具有二分類反應(yīng)變量的2組重復(fù)測量資料為例加以介紹。 例11.2 對65歲及以上老年人參與某項(xiàng)社會活動(dòng)的6年追蹤調(diào)查。樣本量為男性662人，女性1311人，分別在當(dāng)年、第3年和第6年調(diào)查他們參與社會活動(dòng)的情況。反應(yīng)變量y的賦值規(guī)則為： y= 1 經(jīng)常參加該項(xiàng)社會活動(dòng) 0 不經(jīng)常參加該項(xiàng)社會活動(dòng) 資料列于表11.9中。 本例的分組變量為性別，

12、分組數(shù)a2。反應(yīng)變量y的分類數(shù)：r2。重復(fù)測量時(shí)間點(diǎn)數(shù)p3。計(jì)算步驟如下。 1列出邊際頻數(shù)矩陣N及相應(yīng)的邊際頻率矩陣M 每一組的邊際頻數(shù)占一列，即N(n1，n2 )。與之對應(yīng)，每一組的邊際頻率也占頻率矩陣中的一列，即M(ml，m2) 。 同時(shí)可以建立一個(gè)161維的邊際頻率向量L為： L(0.69 0.07 0.02 0.04 0.03 0.02 0.02 0.12 0.59 0.05 0.02 0.04 0.02 0.03 0.03 0.22） 2. 建立轉(zhuǎn)換矩陣A 由于每一組都是3個(gè)反應(yīng)變量，每一反應(yīng)變量具有2個(gè)水平，所以所建立的轉(zhuǎn)換矩陣A與例11 1的A完全相同。即3計(jì)算反應(yīng)函數(shù)F 4分組

13、計(jì)算邊際頻率mg（g1，2）的協(xié)方差矩陣V（ml）和V（m2） 5兩組反應(yīng)頻率的協(xié)方差矩陣V（M）本例的V（M）為1616維矩陣，對角元素為V（mg），非主對角元素為0。 6求F的協(xié)方差矩陣V（F） 本例的V（F）為66維矩陣：7定設(shè)計(jì)矩陣X 例11.2資料的設(shè)計(jì)矩陣（含交互效應(yīng)）見表11.11故本例含有交互作用項(xiàng)的設(shè)計(jì)矩陣為： 8用式（11 .2）計(jì)算參數(shù)估計(jì)值（表11.12）9用對比矩陣C作兩組比較的假設(shè)檢驗(yàn) C的結(jié)構(gòu)為：利用式（11.6）得到231.38，自由度3，查附表3： 2界值表，有20.05（3）7.81，反映兩組間的差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。以上計(jì)算過程所用SAS程序如下：DATA e

14、xmpl 1_2; input gender $ year0 year3 year6 count ;CARDS; f 1 1 1 904 f 1 1 0 88 f 1 0 1 25 f 1 0 0 51 f 0 1 1 33 f 0 1 0 22 f 0 0 1 30 f 0 0 0 158 m 1 1 1 391 m 1 1 0 36 m 1 0 1 12 m 1 0 0 143 m 0 1 1 15 m 0 1 0 21 m 0 0 1 18 m 0 0 0 143 ;PROC CATMOD ORDER=DATA; WEIGHT count; RESPONSE marginals; MOD

15、EL year0*year3*year6=gender| _RESPONSE_/PRED=FREQ COV; REPEATED year; RUN;輸出結(jié)果見表11.13表11.17。 從輸出表11 .17方差分析結(jié)果看，性別（gender）和年份（year）都有顯著的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P0.0001）；但性別*年份（gender*year）間交互作用無顯著的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P0.6476）。 因此，在模型中剔除交互作用項(xiàng)后從新配合下列模型： MODEL year0*year3*year6genderRESPONSE/FREDFREQ COV； 得到輸出結(jié)果見表11 .18，表11.19。 輸出結(jié)果表11.19表明，性別間的差異和年份間的差異都具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。由于無性別關(guān)年份交互作用，所以不同性別受試者對參與某項(xiàng)社會活動(dòng)的時(shí)間趨勢是類似的。 為進(jìn)一步驗(yàn)證這一結(jié)論，可對不同時(shí)間的效應(yīng)進(jìn)行兩兩比較。提出的檢驗(yàn)假設(shè)為： H0: year3-year0=year6-year3, H1:year3-year0year6-year3,由于在參數(shù)化中year0 , year3的效應(yīng)是用3和4表示的,year6的效應(yīng)則為34。故上述假設(shè)用參數(shù)表示為： 在表11.19加權(quán)最小二乘估計(jì)值分析中已給出了檢