1、數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)大綱課程名稱數(shù)學(xué)分析/Mathematical Analysis課程編碼10000300110課程類型學(xué)科基礎(chǔ)課課程性質(zhì)專業(yè)基礎(chǔ)課適用范圍數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)、信息與計算科學(xué)專業(yè)學(xué)分數(shù)16先修課程初等數(shù)學(xué)學(xué)時數(shù)288 實驗/實踐學(xué)時無課外學(xué)時無考核方式考試 一、教學(xué)大綱說明 （一）課程的性質(zhì)、地位、作用和任務(wù)數(shù)學(xué)分析是綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)類各專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)過渡的橋梁。本課程所占學(xué)分多，跨度大（計劃共四個學(xué)期），是一門內(nèi)容豐富而整體性強、思想深刻而方法基本的課程，以經(jīng)典微積分為主體內(nèi)容，其中，極限的思想貫穿全課程，它不僅為許多后繼課程提供必要的基礎(chǔ)知識

2、和基本技能的訓(xùn)練，而且對全面培養(yǎng)學(xué)生的現(xiàn)代數(shù)學(xué)素質(zhì)以及運用數(shù)學(xué)思想和方法解決問題的能力起著十分重要的作用。本課程的任務(wù)是使學(xué)生系統(tǒng)地掌握極限理論、一元函數(shù)微積分學(xué)、無窮級數(shù)與多元函數(shù)微積分學(xué)等方面的知識，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)的邏輯性，嚴密性方面的嚴格訓(xùn)練，使學(xué)生掌握近代數(shù)學(xué)的方法、技巧，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)乃至畢業(yè)后能勝任相應(yīng)的實際工作奠定堅實的基礎(chǔ)。（二）教學(xué)目的和要求本課程教學(xué)目的是通過系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生全面掌握數(shù)學(xué)分析的基本理論知識，初步掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點與方法，使學(xué)生具備靈活、快捷的運算能力與技巧，培養(yǎng)學(xué)生嚴格的邏輯思維能力與推理論證能力，簡潔、清晰運用數(shù)學(xué)符號和語言的表達能力，提高建

3、立數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用微積分這一工具解決實際應(yīng)用問題的能力。在教學(xué)基本要求上分為三個檔次，即了解、理解和掌握。1、掌握能聯(lián)系幾何與物理的直觀背景，從正反兩方面理解基本概念；熟練運用基本理論較進行推理論證和分析問題；熟練運用基本方法、靈活運用基本技巧進行運算和解決應(yīng)用問題。包括實數(shù)與函數(shù)、各類極限、連續(xù)、（偏）導(dǎo)數(shù)、（全）微分、各類積分、級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)的斂散性、冪級數(shù)的概念、性質(zhì)、計算及應(yīng)用。2、理解能從正面理解基本概念；能應(yīng)用和了解如何證明基本理論；能掌握基本方法解決問題，但不要求很熟練和技巧性。包括泰勒公式、函數(shù)圖像的討論、實數(shù)完備性基本定理的內(nèi)容、證明及應(yīng)用、一般有理函數(shù)的不定積分及萬能變換

4、、歐拉變換、隱函數(shù)定理的證明、各類斂散問題中的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法、傅里葉級數(shù)的概念、性質(zhì)、計算與應(yīng)用、斯托克斯公式。3、了解要求能應(yīng)用基本理論，不要求掌握證明方法；對基本方法一般要求會做，不要求靈活技巧。包括各類近似計算問題、上、下極限問題、可積性理論及積分在物理中的應(yīng)用、數(shù)項級數(shù)的拉貝判別法，傅里葉級數(shù)的收斂定理的證明、n重積分與反常二重積分、復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)與歐拉公式、場論初步，流形上的微積分。（注：課文中打*號的章節(jié)均為選講內(nèi)容）。（三）課程教學(xué)方法與手段本課程的教學(xué)以課堂教學(xué)為主，輔以習(xí)題練習(xí)與自學(xué)。基本內(nèi)容由老師講授，通過習(xí)題課鞏固，其余部分主要是*號部分由學(xué)生自學(xué)提高。由

5、于本課程具有強烈的幾何背景，結(jié)合培養(yǎng)目標，教學(xué)過程可恰當?shù)厥褂矛F(xiàn)代教育技術(shù)手段，把傳統(tǒng)的板書與現(xiàn)代化手段相結(jié)合，重要的定理、圖表、圖像制成多媒體，利用黑板進行問題分析與推理。另外由于本課程與數(shù)學(xué)應(yīng)用聯(lián)系密切，課程的教學(xué)中可適當介紹數(shù)學(xué)實驗以及數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)內(nèi)容，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模方法來解決各種實際問題的能力。（四）課程與其它課程的聯(lián)系數(shù)學(xué)分析是綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)類各專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)過渡的橋梁。因此要學(xué)習(xí)本課程，需先修初等數(shù)學(xué)，而本課程的多元微積分部分需運用空間平面、直線等有關(guān)知識，故需先修空間解析幾何知識。而后繼課程包括：常微分方程、復(fù)變函數(shù)、實變函數(shù)、泛函分析、

6、點集拓撲、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、物理學(xué)及其他應(yīng)用數(shù)學(xué)相關(guān)課程。（五）教材與教學(xué)參考書教材：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（第三版）（上、下冊），高等教育出版社，2001年教學(xué)參考書：1、陳紀修，數(shù)學(xué)分析（第二版）（上、下冊），高等教育出版社，2004年2、鄧東皋、尹小玲，數(shù)學(xué)分析簡明教程（第2版）（上、下冊），高等教育出版社，2006年3、菲赫金哥爾茨，微積分學(xué)教程（第1卷）（第8版）、微積分學(xué)教程（第2卷）（第8 版）、微積分學(xué)教程（第3卷）（第8版），高等教育出版社，2006年4、吳良森、毛羽輝等，數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊），高等教育出版社，2006年5、裴禮文，數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法（

7、第2版），高等教育出版社，2006年二、課程的教學(xué)內(nèi)容、重點和難點第一章 實數(shù)集與函數(shù)教學(xué)內(nèi)容：實數(shù)集的有關(guān)概念及性質(zhì)，確界原理，函數(shù)有關(guān)概念與基本性質(zhì)。重點：三角形不等式，鄰域、有界集，確界概念、確界原理，基本初等函數(shù)與初等函數(shù)，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性及周期性。難點：上、下確界概念及確界原理。第二章 數(shù)列極限教學(xué)內(nèi)容：數(shù)列極限的概念與性質(zhì)，數(shù)列極限存在條件。重點：數(shù)列極限的定義與幾何意義，收斂、發(fā)散數(shù)列與無窮小數(shù)列，收斂數(shù)列性質(zhì)，單調(diào)數(shù)列概念、單調(diào)有界定理，柯西收斂準則，收斂與發(fā)散數(shù)列的證明，數(shù)列極限的求法，重要極限：。難點：利用-定義和柯西收斂準則證明數(shù)列的斂散性，子列的概念。第三章

8、 函數(shù)極限教學(xué)內(nèi)容：各類函數(shù)極限的概念與性質(zhì)、函數(shù)極限的存在性，兩個重要極限，無窮小量及階的比較，無窮大量，曲線的漸近線。重點：二十八種函數(shù)極限（含數(shù)列極限及無窮大）的概念與關(guān)系，六種類型（x、）函數(shù)極限定義和相應(yīng)的性質(zhì)，歸結(jié)原則及柯西準則，兩個重要極限及函數(shù)極限的求法，等價無窮小與高階無窮小。難點：利用定義或柯西準則證明函數(shù)極限的存在性，歸結(jié)原則的運用。第四章 函數(shù)的連續(xù)性 教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的連續(xù)與間斷的定義，函數(shù)間斷點的分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)與閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性。重點：函數(shù)在一點連續(xù)與左、右連續(xù)概念，間斷點及分類，函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)的概念，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值

9、性、有界性、介值性、根的存在性與一致連續(xù)性定理，初等函數(shù)的連續(xù)性及在求極限中應(yīng)用。難點：間斷點的分類，一致連續(xù)性概念與運用。第五章 導(dǎo)數(shù)和微分教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)法則與公式、各類型函數(shù)的求導(dǎo)（含高階導(dǎo)數(shù)）法，函數(shù)極值的概念與費馬定理、達布定理，微分與高價微分概念、性質(zhì)及應(yīng)用。重點：導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義，求導(dǎo)法則、公式及各種求導(dǎo)法，函數(shù)極值與費馬定理，微分概念與性質(zhì)，可導(dǎo)、可微與連續(xù)的關(guān)系。難點：極值與最值的聯(lián)系與區(qū)別，微分的概念。第六章 微分中值定理及其應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：三個微分中值定理，不定式極限、泰勒公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值與最值以及函數(shù)的凹凸性，利用導(dǎo)數(shù)進行

10、函數(shù)作圖。重點：三個微分中值定理，特別是拉格朗日中值定理及推論1、2，函數(shù)單調(diào)性與凹凸性的判定，利用中值定理以及導(dǎo)數(shù)證明不等式與恆等式，不定式極限求法，函數(shù)的極值與最值的求法及應(yīng)用，函數(shù)作圖。難點：導(dǎo)數(shù)極限定理與泰勒公式。第七章 實數(shù)的完備性、教學(xué)內(nèi)容：區(qū)間套、點集聚點與開覆蓋的概念與性質(zhì)，實數(shù)完備性，七個基本定理及應(yīng)用。重點：區(qū)間套、點集聚點與開覆蓋概念的概念，實數(shù)完備性七個基本定理的內(nèi)容及證明（除確界原理），閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明。難點：開覆蓋的概念，有限覆蓋定理，用區(qū)間套定理證明柯西收斂準則，用確界原理證明根的存在性定理以及用有限覆蓋定理證明其它定理。第八章 不定積分教學(xué)內(nèi)容：原函數(shù)

11、與不定積分的概念與性質(zhì)，不定積分的求法、重點：原函數(shù)與不定積分的概念，利用換元積分法與分部積分法求不定積分，常用的簡單的有理函數(shù)、三角函數(shù)與某些無理根式的不定積分。難點：有理函數(shù)的部分分式分解，某些無理根式的不定積分。第九章 定積分教學(xué)內(nèi)容：定積分的概念與性質(zhì)，可積條件，變限積分的概念，微積分學(xué)基本定理與牛頓萊布尼茨公式，定積分的換元積分法與分部積分法。重點：定積分的概念、幾何意義與主要性質(zhì)，可積性與有界性的關(guān)系，三類可積函數(shù)，變限積分的概念、性質(zhì)以及應(yīng)用，微積分學(xué)基本定理與牛頓萊布尼茨公式，定積分的計算，換元積分法的應(yīng)用。難點：可積條件。第十章 定積分的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：定積分在幾何與物理方面的

12、應(yīng)用。（注：其中平面曲線弧長與曲率，旋轉(zhuǎn)曲面面積及定積分在物理中的某些應(yīng)用可選講）重點：用定積分計算各種形式平面圖形面積，已知截面面積函數(shù)求立體體積和旋轉(zhuǎn)體的體積。第十一章 反常積分教學(xué)內(nèi)容：無窮積分與瑕積分斂散性的概念、關(guān)系、性質(zhì)與判別，絕對收斂性與條件收斂性，混合型反常積分斂散的判別。（注：其中狄利克雷判別法與阿貝爾判別法僅需掌握定理內(nèi)容）重點：無窮積分斂散性的概念，幾個常用的無窮積分的斂散性，無窮積分的比較判別法與柯西判別法。難點：應(yīng)用狄利克雷判別法與阿貝爾判別法判別反常積分條件收斂。第十二章 數(shù)項級數(shù)教學(xué)內(nèi)容：級數(shù)斂散性的概念與性質(zhì)，正項級數(shù)斂散性的判別，一般級數(shù)的絕對收斂與條件收斂的

13、概念與判別。（注：級數(shù)的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法僅需掌握定理內(nèi)容，絕對收斂級數(shù)的兩亇重要性質(zhì)可選講）重點：級數(shù)斂散性概念，級數(shù)收斂的必要條件，常見級數(shù)的斂散性，正項級數(shù)斂散的比較判別法、比式與根式判別法，p級數(shù)的斂散性，交錯級數(shù)與萊布尼茨判別法。難點：狄利克雷判別法與阿貝爾判別法。第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的概念、判別與性質(zhì)。（其中函數(shù)項級數(shù)一致收斂的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法僅需掌握定理內(nèi)容）重點：函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的概念（注：對于不以實變函數(shù)為后繼課程的非師范類學(xué)生可作為一般內(nèi)容），函數(shù)項級數(shù)一致收斂的M判別法，一致收斂的函數(shù)列的極限

14、函數(shù)與函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性、可積性與可導(dǎo)性。難點：一致收斂性的概念，判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂的的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法。第十四章 冪級數(shù)教學(xué)內(nèi)容：冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域與和函數(shù)，冪級數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在x處的冪級數(shù)展開。重點：冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域的求法，冪級數(shù)的主要性質(zhì)，利用逐項積分與逐項求導(dǎo)求某些冪級數(shù)的和函數(shù)，幾個重要函數(shù)：，的冪級數(shù)展開式，用間接方法將其它函數(shù)展開成冪級數(shù)。難點：冪級數(shù)的收斂區(qū)間端點處的性質(zhì)，初等函數(shù)冪級數(shù)展開式收斂性的證明。第十五章 傅里葉級數(shù)教學(xué)內(nèi)容：正交函數(shù)系與三角級數(shù)，函數(shù)展開成各類型的傅里葉級數(shù)及其收斂性、一致收斂性。（注：收斂性定理的證明可作選講）

15、重點：函數(shù)在區(qū)間上展開成傅里葉級數(shù)與在上展開成正、余弦級數(shù)及其收斂情況。難點：收斂性定理及其證明。第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)教學(xué)內(nèi)容：R空間的拓撲結(jié)構(gòu)與完備性，二元函數(shù)與多元函數(shù)，二重極限與累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性與有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。重點：鄰域與區(qū)域的概念，二元函數(shù)的定義域，二元函數(shù)的極限求法，二元函數(shù)極限存在性的證明，重極限與累次極限的關(guān)系。難點：R空間的拓撲結(jié)構(gòu)，二元函數(shù)的極限概念與求法。第十七章 多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)內(nèi)容：多元函數(shù)的可微性與全微分，偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)，多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的鏈式法則，方向?qū)?shù)與梯度，二元函數(shù)的中值公式與中值定理，泰勒公式，二元函數(shù)的極值問題，

16、多元函數(shù)的最值問題。重點：二元函數(shù)的可微性、全微分概念，一階全微分形式不變性，二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)的概念及求法（特別是利用鏈式法則求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)），方向?qū)?shù)的概念與求法，梯度的概念及意義，二元函數(shù)的極值與判定，曲面的切平面與法線。難點：全微分概念與可微性判定，利用鏈式法則求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，泰勒公式。第十八章 隱函數(shù)定理及應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：隱函數(shù)、隱函數(shù)組、反函數(shù)組的概念，存在性與求（偏）導(dǎo)法，平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線，條件極值問題。重點：隱函數(shù)、隱函數(shù)組、反函數(shù)組的存在條件與求（偏）導(dǎo)法，雅可比行列式，平面曲線的切線與法線，曲面的切平面與法線，

17、用拉格朗日乘數(shù)法解條件極值問題。難點：隱函數(shù)、隱函數(shù)組、反函數(shù)組的概念，反函數(shù)組與坐標變換的關(guān)系，條件極值的概念。第十九章 含參量積分教學(xué)內(nèi)容：含參量正常積分、含參量反常積分的概念，含參量正常積分的性質(zhì)，一致收斂性的判別及含參量反常積分的性質(zhì)，歐拉積分。重點：含參量正常積分的概念與性質(zhì)，累次積分概念，含參量反常積分的一致收斂性概念（注：對于不以實變函數(shù)為后繼課程的非師范類學(xué)生可作為一般內(nèi)容）與M判別法，含參量反常積分的性質(zhì)，函數(shù)概念及主要性質(zhì)（定義域、可導(dǎo)性、遞推公式、（），B函數(shù)的概念及定義域，函數(shù)與B函數(shù)關(guān)系，利用B函數(shù)計算三角函數(shù)的積分。難點：含參量反常積分的一致收斂性概念，狄利克雷判別

18、法與阿貝爾判別法，兩個無窮限累次積分的次序交換。第二十章 曲線積分教學(xué)內(nèi)容：第一型曲線積分概念、性質(zhì)與計算，第二型曲線積分概念、性質(zhì)與計算。重點：第二型曲線積分的方向性，兩型曲線積分的計算。難點：第二型曲線積分的概念。第二十一章 重積分教學(xué)內(nèi)容：二重積分、三重積分的概念、性質(zhì)以及計算，格林公式，曲線積分與路線無關(guān)性，重積分的應(yīng)用。重點：二重積分的幾何意義，直角坐標系下二重積分的計算，二重積分的變量變換（主要為線性變換，（廣義）極坐標變換），格林公式，曲線積分與路線無關(guān)性，全微分式及其原函數(shù)，三重積分化為累次積分計算，三重積分換元法（主要為：線性變換，（廣義）柱面變換，（廣義）球坐標變換）。難點：三重積分的計算，格林公式用于奇點的研究。第二十二章 曲面積分教學(xué)內(nèi)容：第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)以及計算，高斯公式與斯托克斯公式。重點：第二型曲面積分的方向性，型積分的計算，高