1、專題14圓錐曲線中的最值和圍問題高考在考什么【考題回放】2 2xy1 .雙曲線 牙1(a>0,b>0)的右焦點為F,假設過點F且傾斜角為60。的直ab線與雙曲線的右支有且只有一個交點，那么此雙曲線離心率的取值圍是(C )A.( 1,2)B. (1,2)C.2,)D.(2,+ 鄉(xiāng)2 2x y2222 . P是雙曲線1的右支上一點，M、N分別是圓(x+ 5) + y = 4和(x 5)9162+ y = 1上的點，那么|PM|PN|的最大值為(B )A. 6B.7C.8D.93 .拋物線2y=-x上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是(A )478A.B.C _D. 33552

2、24 .雙曲線2 篤 1,( a 0, b 0)的左、右焦點分別為Fi、F2，點P在雙曲a b線的右支上，且|PF|=4|PR|,那么此雙曲線的離心率e的最大值為：(B)45c7(A) 3(B)-(C)2(D)：3 332225 .拋物線y=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(X1y),B(池,y2)兩點，那么y1 +y2的最小值是32.2L 1,41 uuu (OA2 uuiu(2) |NP|的最小值與最大值【專家解答】(1)法1:直線I過點M (0, 1)設其斜率為k，那么I的方程為y=kx+ 1.記A(x1,y1),B(x2,y2)，由題設可得點 A、B的坐標(x1,y1)&g

3、t; (x2,y2)是方程組y6 .設橢圓方程為x2uuu坐標原點，點P滿足OP求(1)動點P的軌跡方程;kx 12y_4X2所以y1y24 k824 k過點M (0, 1)的直線l交橢圓于點 A、B, O是uuu11OB)，點N的坐標為(一，)，當I繞點M旋轉時,2 22 2的解將代入并化簡得(4+k)x+2kx-3=0 ,OP1(OA OB)(2治 X2 y1y2)(_4)2 24 k2 4 k2設點P的坐標為(x,y),那么4 k2消去參數(shù)2 2k 得 4x + y - y=02Y11,2X2y2 1.44一得2X12X24y；)0 ,所以(xX2)(X1X2)4(y1y2)(y1y2)

4、0.當X1x2時，有X1X2、y1 y2y2)0當k不存在時，A、B中點為坐標原點(0, 0),也滿足方程 ,2 2所以點P的軌跡方程為4x + y-y=0解法二：設點 P的坐標為(x,y)，因A(xi,yi),B(X2,y2)在橢圓上，所以2 24x-ix2捲 x2x,2并且、業(yè) 吐、將代入并整理得4x2+y2-y=02y 1 yi y2x x1 x2當xi = X2時，點 A、B的坐標為(0，2)、( 0,(0，0)也滿足，所以點P的軌跡方程為2(2)由點P的軌跡方程知x右即2xT161|NP|2(x故當x41)2| NP |取得最小值，最小值為 12),這時點P的坐標為1(y -)1.4

5、1所以41 2 1 22) (y 2)(x2 1 24x 3(x 6)7121時，| NP |取得最大值，最大值為高考要考什么【考點透視】與圓錐曲線有關的最值和圍問題，因其考查的知識容量大、分析能力要求高、區(qū)分 度高而成為高考命題者青睞的一個熱點。【熱點透析】與圓錐曲線有關的最值和圍問題的討論常用以下方法解決：(1) 結合定義利用圖形中幾何量之間的大小關系；(2) 不等式(組)求解法：禾U用題意結合圖形(如點在曲線等)列出所討論的參 數(shù)適合的不等式(組)，通過解不等式組得出參數(shù)的變化圍；(3) 函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當?shù)膮?shù)作為自變 量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的

6、值域來求參數(shù)的變化圍。(4) 利用代數(shù)根本不等式。代數(shù)根本不等式的應用，往往需要創(chuàng)造條件，并進行 巧妙的構思；(5) 結合參數(shù)方程，禾U用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們 的一個共同特點是均含有三角式。因此，它們的應用價值在于： 通過參數(shù)B簡明地表示曲線上點的坐標； 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、圍等問題；(6) 構造一個二次方程，利用判別式0。 突破重難點2【例1】動點P與雙曲線1的兩個焦點F1、Fa的距離之和為定值,31 且cos F1PF2的最小值為一.9求動點P的軌跡方程；假設 D(0,3), M、N在動點2(2)講解cos(1 )由題意 c=5

7、設 |PF|+|PR|=2a ( aIPF1I2 IPF2I2 廳心2FiPF2P的軌跡上且DM DN，數(shù)的取值圍.-5 ),由余弦定理，得2a2102|PFi | |PF2 |I PFi | | PF2 |1.又 IPF1 I PF2 I (I PF1 |PF21)22當且僅當|PF|=|PF2|時，|PF|?|P冃取最大值, 心1,令 a此時cos FPF2取最小值2 a2102a解得=9 , c ' 5，二b=4，故所求P的軌跡方程為19仝92y-1.4故x=/ M、2S(S, t-3),(2)設 N(s,t), M(x,y)，那么由 DM DN，可得(x, y-3)= s, y

8、= 3+ (t- 3).N在動點P的軌跡上，t2( s)2( t 3 3 )21且1 ,2 2 2消去s可得(t 33) 12，解得t 135 ,4 61351又 |t| 2, | 2，解得5 ,651故實數(shù)的取值圍是 ,5.5【點晴】為了求參數(shù)的取值圍，只要列出關于參數(shù)的不等式，而建立不等式的方法有多種方法，諸如：判別式法、均值不等式法、有界性法等等.【文】點M(-2 , 0), N(2,0),動點P滿足條件|PM | | PN | 2. 2 .記動點P的 軌跡為W.(I )求W的方程；uur uuu(n )假設A, B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求OA OB的最小值 解：(I )依題意

9、，點P的軌跡是以M, N為焦點的雙曲線的右支，2 2所求方程為：一一y=1( x 0)2 2(n )當直線AB的斜率不存在時，設直線 AB的方程為x= X0,- uur uuu此時 A (X0, ,2 ), B (X0, - ,x：2 ), OA OB = 2當直線AB的斜率存在時，設直線 AB的方程為y= kx+ b,2 2代入雙曲線方程 =1中，得：(1 kjx? 2kbx b 一 2 = 02 2依題意可知方程1有兩個不相等的正數(shù)根，設A(x1,y1),B(x2,y2)，那么4k2b2 4(1 k2)?( b2 2) 0x1x2x1x2uuu又OA2kb1 k20 k2 1 uuuOB

10、= X1X2 + yy = X1*+( kx1+ b) (kx2+ b)2k2+ 2,42= 2 22k 1k 1解得|k| 1,綜上可知2=(1 + k ) X1X2+ kb (X1 + X2)+ buur uuuOA OB的最小值為2【例2】2x 給定點 A(-2,2)， B是橢圓 一25W 1上的動點，F(xiàn)是右焦點，當AB 3bf取得最小值時，試求 B點的坐標。11一AB- BF，而一BF為動點BeeB,使得它到A點和左準線的距離之35解析：因為橢圓的 e 一，所以AB - BF5 3到左準線的距離。故此題可化為，在橢圓上求一點和最小，過點B作I的垂線，垂點為 N，過A作此準線的垂線，垂點

11、為|BF | e e|BN |I BN |BF |e53|BF|其中,M，由橢圓定義AB5|bf3當且僅當|AB|BN | | AN | AM 為定值B點AM與橢圓的定點時等點成立，此時B為(所以，當AB55!33|BF取得最小值時，B點坐標為(亍2 )【點晴】在處理許多與焦點有關的距離和差最值問題時，常常用圓錐曲線的定義化 折為直，是一種簡便而有效的好方法。2【文】點A (3, 2)為定點，點F是拋物線y =4x2的焦點，點P在拋物線y =4x上移動，假設|PA|+|PF| 取得最小值，求點 P的坐標。解：拋物線y =4x的準線方程為x=-1,設P到準線的距離為 d，那么|PA|+|PF=|

12、PA|+d。要使|PA|+|PF取得最小值，由圖 3可知過A點 的直線與準線垂直時， 代入y =4x，得P|PA|+|PF取得最小值，把y=2 (1, 2)?！纠?】2x點在橢圓y92 2P點在圓x+(y-2) =1上移動，Q1上移動 試求|PQ|的最大值。解：故先讓 Q點在橢圓上固定，顯然當PQ通過圓心的最大值，只要求|01Q|的最大值設Q(x, y),那么|01Q|= x +(y-4) 因Q在橢圓上那么x =9(1- y )01時|PQ|最大，因此要求|PQ|22 2 2將代入得|O1Q|= 9(1-y )+(y-4)因為Q在橢圓上移動，所以-1 y 1，故當21 2 72j 時，0Q m

13、ax 3 3此時PQ【點晴】1與圓有關的最值問題往往與圓心有關；2函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值圍的考察不能被無視max其中所涉及到的函數(shù)最常見的2x2【文】設P是橢圓一2 y 1 a 1短軸的一個端點，Q為橢圓上的一個動點,a求|PQ|的最大值。解：依題意可設 R0,1), Q(x,y),那么|PQ|= ,x2+(y 1)2，又因為Q在橢圓上，2 2 2亠 2 2 2 2 2 2 2所以 x = a (1 y), |PQ| = a (1 y )+y 2y+ 仁(1 a )y 2y+1+ a2 i 2 i 2=(i a)(yi? ) i7+

14、i+a .廠ii因為|y鬥,a>i,假設ap,那么|廠孑冃，當丫=百孑時，IPQI取最大值 假設i<a< 2,那么當y= i時，|PQ|取最大值2.*umr uiur【例4】 OFQ的面積為 2.6 , OF FQ mi設.6 m 4.6，求 OFQ正切值的取值圍；2設以O為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點 Q 如圖uuu當|OQ|取得最小值時，求此雙曲線的方程。解析：1設OFQ =mur uuu| OF | | FQ | cos1 unr'OF |2Q 622X2aumr|FQ|sin4、62、6tan4*6m設所求的雙曲線方程為2 y_ b2tan2uuur又/ OF

15、Xiuuui(a 0,b0),Q(Xi,yi),那么 FQi ujur-JOFI |yi| 2 6 ,uuurFQuuur uum:.OF FQ(Xic, yi)二 yi4一6(c,0)(Xic, yi) (Xic)c e6 i c244 c，當且僅當c=4時,6_a2a【點晴】unr2|OQ| , Xi2 yi 、 2uuuY c|oq |最小，此時 q的坐標是、6八6或、6,二2yi96 3c2常ib2 i6當題中的條件和結論表達出一種明顯的函數(shù)關系時，可通過建立目標函數(shù),求其目標函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有：一元二次函數(shù)法、根本不等式法、判a24 ，所求方程為i.b2 i24 i2

16、別式法、定義法、函數(shù)單調(diào)性法等。【文】橢圓的一個焦點為Fi0,-2 ,對應的準線方程為y心率e滿足：2,e,-成等差數(shù)列。33i求橢圓方程;(2)是否存在直線I,使丨與橢圓交于不同的兩點M、N,且線段MN恰被直線X平分，假設存在，求出I的傾斜角的圍；假設不存在，請說明理由。2 J2a2(1)解：依題意e, Qc922.23c44 a= 3, c = 2 2 , b = 1,9.24又F(0,- 2 一2 ),對應的準線方程為y橢圓中心在原點，所求方程為 x21 29y1(2)假設存在直線1,依題意I交橢圓所得弦MN被x丄平分2直線I的斜率存在。 設直線I： y= kx+ my kx m222由

17、 2 y2 消去 y,整理得(k + 9)x+ 2kmx + m -9 = 0 x219/ I與橢圓交于不同的兩點 M、N,2 2 .2 2 2.2k2 92k設 M(X1y),N(X2,y2)x1x2km1m2k2 92把代入式中得2 2(k 9) 4k2(k29)0 k> .3 或 kv V直線I傾斜角(，-)3 2(2,23)-= 4k m 4(k + 9)(m 9) > 0 即 m - k - 9v 0自我提升2 21 .設AB是過橢圓務與 a b那么 FAB的面積最大為(A )A. bcB. ab1 .設AB是過橢圓一1(a b 0)中心的弦，橢圓的左焦點為F(-c,0)

18、,大值為(C )C. acD. b222xJ 1259上一點，PA|+ |PB的最10<5C.10V'5D.10 2J52 . A ( 3, 2)、B (- 4, 0), P是橢圓A. 10 B.1，過其右焦點F的直線I交雙曲線于AB,假設|AB|=5，那么2 23 .雙曲線169直線I有BA. 1條B. 2條C. 3條24 .點P是拋物線y=4x上一點，設 x+2y+10=0的距離為d2,那么d1 + d2的最小值為D. 4條P到此拋物線的準線的距離為d1,到直線C B. 4c.1K 5511(D)5x25 .設F是橢圓一73,)，使 |FR|, |FR|,21的右焦點，且橢圓

19、上至少有6|FR|，組成公差為d的等差數(shù)列，貝U d的取值圍為1 1 荷00訝 ，1 221個不同的點 Pi (i=1 , 2,26 .拋物線y=2x上到直線x-y+3=0距離最短的點的坐標為2 2x y7 .如圖， A、B是橢圓1的兩個頂點，169AB兩側，那么四邊形 ABCDC、D是橢圓上兩點，且分別在面積的最大值是222 2如圖3,拋物線y2=4x的一段與橢圓 壬 1的一段圍成封閉圖形，點430在x軸上，又A、B兩點分別在拋物線及橢圓上，且AB/X軸，求 NABI的取值圍。N 1 ,的周長2解：易知N為拋物線y=4x的焦點，又為橢圓的右焦點, 拋物線的準線I1: x=-1 ,橢圓的右準線

20、I2: x=4 , 過A作AC I1于C,過B作BD |2于D, 那么 C A、B、4x2y_3D在同一條與x軸平行的直線上。2y由x!4，得拋物線與橢圓的交點M的橫坐標1打y心B2 'O3圖= 1而 |BN|=e|BD|=? |BD|,|AN|=|AC| NAB 的周長 l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|1 1=|BC|+|BD|=|BC|+|BD|- |BD|1 1=|CD|- |BD|=5-|BD|Q4 2 | BD | 4 -，即 131 5-|BD| ；2 31010丄I 4，即I的取值圍為昱,433. . 29 .數(shù)m的取值圍，使拋物線 y=x上存在兩點關

21、于直線 y=mx-3對稱那么當m=0時，有直線y=0,顯然存在點關于它對稱。當m 0時，2Y1x1Y1 Y21112y2x2為X2y1y22ymm所以y，所以M的坐標為5Jm/ M在拋物線,2222解法1:設拋物線上兩點 A(xi,yi),B(X2,y2)關于直線y=m(x-3)對稱，A, B中點M(x,y),那么有5 m ，得.10 m 、10且m 0,綜上所述，m. 10. 102 2解法2：設兩點為A(x1，y),B(x2，y2)，它們的中點為M(x，y)，兩個對稱點連線的方2 2程為x=-my+b，與方程y=x聯(lián)立，得y+my-b=0所以 y1 + y2= -m，即 y又因為中點5 mM在直線y=m (x- 3)上，所以得 M的坐標為,2 2又因為中點25 m M 在直線 x=-my+b 上, b2 2對于 ，有=m2+4b=10-m2>0，所以 .10 m 、10。10 A (- 2, 0) , B (2, 0),動點P與A、B兩點連線的斜率分別為 kpA和k