1、排列與組合二、排列 1.排列的定義從n個不同的元素中任取mm< n個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列 2.排列數(shù)1排列數(shù)的定義：從n個不同的元素中取出mmW n個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從 n個不同元素中取出 m個元素的排列數(shù)，用表示2排列數(shù)公式1 n N 且A A；：2. c4 c5n 55,那么乘積(55n)(56 n)(69 n)等于B - A65n C - AfnD - A64nc6c7o =3 某八層大樓一樓電梯上來3名乘客，他們到各自的一層下電梯，下電梯的不同方法有4 4人排成一排，其中甲和乙都站在邊上的不同站法有 種本章知識網(wǎng)絡(luò)一、

2、根本計(jì)數(shù)原理 1.分類計(jì)數(shù)原理加法原理分類計(jì)數(shù)原理的定義：做一件事，完成它有n類方法。在第一類方法中有 m種不同的方法；在第二類方法中，有 m>種不同的方法； ；在第n類方法中，有 m中不同的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法。. 2.分步計(jì)數(shù)原理乘法原理分步計(jì)數(shù)原理的定義：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有m種不同的方法，做第二個步驟有 “種不同的方法，做第 n個步驟有 m中不同的方法，那么完成這件事共有 N=種不同的方法.特另U的， A = n!規(guī)定0 ! =三、組合 1.組合的定義從n個不同的元素中，任意取出m mW n個元素并成一組，叫做從n個不同元素中任取

3、m個元素的一個組合 2.組合數(shù)1組合數(shù)的定義：從n個不同的元素中，任取mmW n個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從 n個不同元素中任意取出 m個元素的組合數(shù)，用 表示2組合數(shù)公式cm特別的，C°=:3組合數(shù)的性質(zhì)解決排列組合問題的根本規(guī)律：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合，正難那么反，先選后排前測5用0,2,3,4,5 五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有 種6從3臺甲型和4臺乙型電腦中任意取出3臺，其中至少要甲型和乙型電腦各一臺，那么不同的取法有種.方案共有種.4 9個籃球隊(duì)中有3個強(qiáng)隊(duì)，平均分三組.(1) 假設(shè)3個強(qiáng)隊(duì)分別作為三個小組的種子隊(duì)，不同的分組方法有 種.

4、(2) 假設(shè)恰有2個強(qiáng)隊(duì)分在一組，不同的分組方法有 種.7 某停車場有8個連在一起的車位，有 4輛不同的車要停進(jìn)去，且恰有3輛車連在一起，那么不同的停放方法有種.5 .用5種不同的顏色涂色，要求每小格涂一種顏色，有公共邊的兩格不同顏色，顏色可重復(fù)使用(1)涂在“目字形的方格有 種不同的涂法 涂在“田字形的方格有 種不同的涂法典型例題1有4封不同的信和3個信筒.(1) 把4封信都寄出，有 種寄信方法;(2)把4封信都寄出，且每個信筒不空，有 種寄信方法.2 對某種產(chǎn)品的 6件不同正品和4件不同次品，(1) 一件一件的不放回抽取，連續(xù)取 3次，至少取到1件次品的不同取法有 種.(2) 一一進(jìn)行測試

5、，到區(qū)分出所有次品為止，假設(shè)所有次品恰好在第五次測試被全部發(fā)現(xiàn)，那么這樣的測試方法有種6 (1)編號為1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，那么不同的開燈方案有 種(2)某儀表顯示屏上一排有 7個小孔，每個小孔可顯示出0或1,假設(shè)每次顯示其中三個孔，但相鄰的兩孔不能同時顯示，那么這個顯示屏可以顯示 種不同的信號3. 某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：(1) 節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有種(2) 原有的節(jié)目單保持順序不變，但刪去第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目，添

6、加兩個新節(jié)目，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有 種.7.學(xué)校文藝隊(duì)有10名會表演唱歌或跳舞的隊(duì)員，其中會唱歌的有5人，會跳舞的有7人?，F(xiàn)選出3人，1人去唱歌，2人去跳舞( 1)共有種不同的選法；(2)那么這樣的3人共可開出 .穩(wěn)固練習(xí)1 8名男女學(xué)生，從男生中選 2人，從女生中選1人，共有30種不同的選法，其中女生有 人2. 有甲、乙、丙在的 6個人排成一排照相，其中甲和乙必須相鄰，丙不排在兩頭，那么這樣的排法 共有種.(3) 節(jié)目甲、乙、丙必須連排(順序不固定)，且和節(jié)目丁不相鄰，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排二項(xiàng)式定理3.用0,1,2,3,4 這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個偶

7、數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間，這樣的五位數(shù)有 種4在高三進(jìn)行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能連續(xù)出場，且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為5只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)字必須同時使用，且同一個數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)共有 個6從甲、乙等5名志愿者中選出4名，分別從事A，B，C，D四項(xiàng)不同的工作，每人承擔(dān)一項(xiàng).假設(shè)甲、乙二人均不能從事 A工作，那么不同的工作分配方案共有 種7.如果在一周周一到周日安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有種

8、&三個人坐到一排的八個座位上，假設(shè)每個人的兩邊都要有空座位，那么不同的坐法有種一、概念1二項(xiàng)式定理2 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作 Tk+1=.3. 二項(xiàng)式系數(shù)和4. 二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和典型例題1.3a5的第三項(xiàng)是；展開式中的常數(shù)項(xiàng)是；有理項(xiàng)是第項(xiàng).2.設(shè)(5x數(shù)項(xiàng)為1- xn的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M二項(xiàng)式系數(shù)之和為 N,假設(shè)M(x +3) =a°+ a*1X+ a2x+ a3X+a4X，貝V(a°+82+su) (a1 +33)的值3455023設(shè)(1 + x) + (1 + x) + (1 + x) + (1 + x) = ao + ax + a2x + a3X

9、 + )A. Cb 2氏 C. ChD.袪N=56,那么展開式中常a5ox，貝Ua3的值是9. 某棟樓從2樓到3樓共有10級臺階，上樓可以一步上一個臺階，也可以一步上兩個臺階，假設(shè)規(guī)定從2樓到3樓用八步走完，那么不同的走法有 種10. 如圖，用四種不同的顏色給圖中的A, B,C, D, E, F六個點(diǎn)涂色，要求每個點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同顏色.那么不同的涂色方法共有種穩(wěn)固練習(xí)1.假設(shè)1 2x n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，那么門=；1 2x n展開式中含x3的項(xiàng)是.82.1 2x x 1 x 展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為 3. 1 2C： 22C：2nC；2187，那么 C

10、： C2C；概率本章知識體系與考查要求考試容要求層次ABC概率取有限值的離散型隨機(jī)變量與其分布列V超幾何分布V條件概率V事件的獨(dú)立性Vn次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布V取有限值的離散型隨機(jī)變量的期望均值、方差V正態(tài)分布V一、超幾何分布：一般地，設(shè)有總數(shù)為 N的兩類物品，其中一類有MM N件，從所有物品中任取n件n N ，這n件中所含這類物品件數(shù) X是一個離散型隨機(jī)變量， 它取值為m m n 時的概率為PX=m=我們稱離散型隨機(jī)變量 X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N, M n的超幾何分布。其期望可以用公式 計(jì)算.二、條件概率：對于任何兩個事件 A, B,在事件 A發(fā)生的條件下，事

11、件 B發(fā)生的概率，用符號“ P(B| A) 來表示。且 P(B | A) =三、事件的獨(dú)立性： 事件A是否發(fā)生對事件E的發(fā)生的概率沒有影響，即PB | A = PB，這是我們稱兩個事件A,B是 相互獨(dú)立 的，并且把這兩個事件叫做相互獨(dú)立事件。假設(shè)事件A與E是相互獨(dú)立的，那么當(dāng)事件A與B同時發(fā)生時，其概率為PA B =假設(shè)事件A i,A2,An是相互獨(dú)立的，貝U PA, A2An =四、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：在相同的條件下，重復(fù)地做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立。二項(xiàng)分布：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中， 事件A恰好發(fā)生k次的概率是PX k 用p表示一次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率X的分布列

12、為：X01knP記作：X ;其期望可以用公式 計(jì)算；其方差可以用公式 計(jì)算.五、離散型隨機(jī)變量的期望均值、方差 如果離散型隨機(jī)變量 X的概率分布如下：XX1X2X；PP1P2Pn把E X = & P! + X2 P2+Xn Pn為離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望簡稱期望；期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的。把DX 冶EX 2 ? P X2 EX 2 ? P2x； EX 2 ? Pn叫做隨機(jī)變量 的方差。D 叫做隨機(jī)變量 的標(biāo)準(zhǔn)差；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映了 前測：1. 一個口袋有大小相等的 1個白球和已編有不同的 3個黑球，從中摸出2個球，1共有種不同的結(jié)果；2摸出2個黑球種不同的結(jié)果；3摸出2個黑球的概

13、率是.2將骰子先后拋擲 2次，計(jì)算：1 一共有種不同的結(jié)果；2其中向上的數(shù)之和是 5的結(jié)果 有種；(3)向上的數(shù)之和是 5的概率是 .3袋中有4個白球和5個黑球，連續(xù)從中取出 3個球，計(jì)算：(1) “取后放回，且順序?yàn)楹诎缀诘母怕蕿椋?2)“取后不放回，且取出 2黑1白的概率.4. 在10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件次品，從中任取 2件，計(jì)算：(1) 2件都是合格品的概率為；(2) 2件是次品的概率為；(3) 1件是合格品，1件是次品的概率為；(4) 至少有1件次品的概率為 ；(5) 至多有1件次品的概率為 .5. 甲、乙兩人參加普法知識競賽，共設(shè)有10個不同的題目，其中選擇題 6個，判斷題4

14、個，甲、 乙二人依次各抽一題，計(jì)算：(1)甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是(2 )甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是.典型例題1.2004年世界衛(wèi)生組織、聯(lián)合國兒童基金會等權(quán)威機(jī)構(gòu)將青蒿素作為一線抗瘧藥品推廣 2021年12月10日，我國科學(xué)家屠呦呦教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法上的奉獻(xiàn)獲得諾貝爾醫(yī) 學(xué)獎目前，國青蒿人工種植開展迅速某農(nóng)科所為了深入研究海拔因素對青蒿素產(chǎn)量的影響，在山上和山下的試驗(yàn)田中分別種植了100株青蒿進(jìn)行比照試驗(yàn).現(xiàn)在從山上和山下的試驗(yàn)田中各隨機(jī)選取了4株青蒿作為樣本，每株提取的青蒿素產(chǎn)量(單位：克)如下表所示：位置編號山上5.03.83.63.6山下3.6

15、4.44.43.6(I)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)山下試驗(yàn)田青蒿素的總產(chǎn)量；(n)記山上與山下兩塊試驗(yàn)田單株青蒿素產(chǎn)量的方差分別為s12, S22，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)s12與2S2的大小(只需寫出結(jié)論)(川)從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機(jī)選取1株，記這2株的產(chǎn)量總和為，求隨機(jī)變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望.6. 在4次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相同，假設(shè)事件A至少發(fā)生1次的概率是，那么事件A在81一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是.7. 隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布, B 4,1 ，貝U P 1的值為.22. 某中學(xué)有初中學(xué)生 1800人，高中學(xué)生1200人.為了解學(xué)生本學(xué)期課外閱讀時間，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽

16、取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們課外閱讀時間，然后按“初中學(xué)生和“高中3. 為了解高一新生數(shù)學(xué)根底，甲、乙兩校對高一新生進(jìn)行了數(shù)學(xué)測試現(xiàn)從兩校各隨機(jī)抽取 10名新生的成績作為樣本，他們的測試成績的莖葉圖如下：生的數(shù)學(xué)根底等級高于乙校新 生的數(shù)學(xué)生分為兩組，再將每組學(xué)生的閱讀時間單位：小時分為5組：0,10，10,20, 20,30，30,40，40,50，并分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如下列圖的頻率分布直方圖I寫出a的值；H試估計(jì)該校所有學(xué)生中，閱讀時間不小于30個小時的學(xué)生人數(shù)；川從閱讀時間缺乏 10個小時的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，并用X表示其中初中生的人數(shù)，求 X的分布列和數(shù)學(xué)期望甲校乙校5 191

17、1 243384 77 43277 88657 8I比擬甲、乙兩校新生的數(shù)學(xué)測試樣本成績的平均值與方差的大??；只需要寫出結(jié)論II如果將數(shù)學(xué)根底采用 A、B C等級制，各等級對應(yīng)的測試成績標(biāo)準(zhǔn)如下表：總分值100分，所有學(xué)生成績均在 60分以上測試成績85,10070,85)(60,70)根底等級ABC假設(shè)每個新生的測試成績互相獨(dú)立根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.從甲、乙兩校新生中各隨機(jī)抽取一名新生，求甲校新 學(xué)根底等級的概率.1)不同的組的概率是;4. 為降低霧霾等惡劣氣候?qū)用竦挠绊?，某公司研發(fā)了一種新型防霧霾產(chǎn)品每一臺新產(chǎn)品在進(jìn) 入市場前都必須進(jìn)行兩種不同的檢測，只有

18、兩種檢測都合格才能進(jìn)行銷售，否那么不能銷售11該新型防霧霾產(chǎn)品第一種檢測不合格的概率為-，第二種檢測不合格的概率為 ，兩種檢測是否610合格相互獨(dú)立.(I)求每臺新型防霧霾產(chǎn)品不能銷售的概率；(n)如果產(chǎn)品可以銷售， 那么每臺產(chǎn)品可獲利 40元；如果產(chǎn)品不能銷售，那么每臺產(chǎn)品虧損80元(即 獲利£0元)現(xiàn)有該新型防霧霾產(chǎn)品 3臺，隨機(jī)變量 X表示這3臺產(chǎn)品的獲利，求 X的分布列穩(wěn)固練習(xí)1 4個球投入5個盒子中，那么：(1) 每個盒子最多1個球的概率是；(2) 恰有一個盒子放 2個球，其余盒子最多放 1個球的概率是.2 把10支足球隊(duì)均勻分成兩組進(jìn)行比賽，求兩支最強(qiáng)隊(duì)被分在(2)同一組

19、的概率+與數(shù)學(xué)期望.310只晶體管中有8只正品，2只次品，每次任抽一個測試，求以下事件的概率(1) 測試后放回，抽三次，第三只是正品的概率是；(2) 測試后不放回，直到第6只才把2只次品都找出來的概率是.4.甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，各射擊4局，每局射擊10次，射擊命中目標(biāo)得 1分，未命中目標(biāo)得0分兩人4局的得分情況如下：甲6699乙79xy(I)假設(shè)從甲的4局比賽中，隨機(jī)選取 2局，求這2局的得分恰好相等的概率；(n)如果x y 7，從甲、乙兩人的4局比賽中隨機(jī)各選取 1局，記這2局的得分和為X , 求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(川)在4局比賽中，假設(shè)甲、乙兩人的平均得分相同，且乙的發(fā)揮更穩(wěn)定，寫出x的所有可能取值(結(jié)論不要求