1、2008全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： A 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的

2、話）： 第六隊(duì) 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）： 蘭州理工大學(xué) 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 王榮 2. 楊莉 3. 王寶 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 黎鎖平 潘錚榮 洪小波 日期： 2008 年 9 月 22 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2008全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）： 數(shù)碼相機(jī)定位問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型和計(jì)算摘要：本文提出了一種通過(guò)數(shù)碼相機(jī)所攝照片上的特征點(diǎn)的像素坐

3、標(biāo)（用Matlab程序通過(guò)計(jì)算二值化圖形加權(quán)平均獲得），準(zhǔn)確確定特征點(diǎn)在像平面坐標(biāo)系中實(shí)際位置的數(shù)學(xué)模型和算法；利用問(wèn)題1中所建模型和算法有效計(jì)算出了問(wèn)題2中靶標(biāo)上圓的圓心在給定像平面上的像坐標(biāo)A(-49.7334，51.6901)，B(-23.4710,49.7221)，C(33.5608，45.4232)，D(18.5747, -31.4994)，E(-60.0581，-31.1789)。又在所給靶標(biāo)上不同圓的像邊緣取若干采樣點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種客觀的模型驗(yàn)證方法，利用所建模型求得這些采樣點(diǎn)在靶標(biāo)上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置和相關(guān)距離等理論指標(biāo)，與給定的半徑和邊長(zhǎng)等實(shí)際指標(biāo)分析比較，驗(yàn)證了本文所建模型和算法具

4、有良好的精度與穩(wěn)定性。最后在問(wèn)題1所建模型的基礎(chǔ)上，給出了一種有效利用靶標(biāo)標(biāo)定兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型與方法，較好的解決了數(shù)碼相機(jī)的系統(tǒng)標(biāo)定問(wèn)題。關(guān)鍵詞：數(shù)碼相機(jī)定位 靶標(biāo) 像坐標(biāo) 數(shù)學(xué)模型一、問(wèn)題重述交通監(jiān)管等方面廣泛應(yīng)用的數(shù)碼相機(jī)定位技術(shù)，常用雙目定位，即用兩部相機(jī)來(lái)定位【1，2】。若知道兩部相機(jī)精確的相對(duì)位置，就可得到物體上特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)【2，3】。為得到兩部相機(jī)的相對(duì)位置，在物平面上畫(huà)若干個(gè)圓（稱為靶標(biāo)），其圓心為幾何點(diǎn)，通過(guò)相機(jī)照相得像點(diǎn)，利用像點(diǎn)幾何關(guān)系得兩相機(jī)相對(duì)位置。考慮到靶標(biāo)的像一般會(huì)變形，須從靶標(biāo)上圓的像中精確找出其圓心。現(xiàn)有靶標(biāo)如下，正方形邊長(zhǎng)

5、為100mm,分別以四個(gè)頂點(diǎn)（對(duì)應(yīng)為A、B、C、D）為圓心，12mm為半徑做圓。以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，如圖1所示：圖1 靶標(biāo)示意圖 用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像，如圖2所示：圖2 靶標(biāo)的像利用以上資料解決如下問(wèn)題：（1）建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在相機(jī)像平面的像坐標(biāo), 其中坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面；（2）對(duì)圖2、圖3，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo)。相機(jī)的像距是1577個(gè)像素單位(1毫米約為3.78個(gè)像素單位)，相機(jī)分辨率為1024×768；（3）設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)所建模型，并對(duì)方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)

6、行討論；（4）建立用靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型和方法。二、模型假設(shè)1） 相機(jī)的焦距保持恒定不變；2） 兩相機(jī)的光軸平行；3） 兩相機(jī)的物理參數(shù)相同。三、符號(hào)說(shuō)明 V：像距光學(xué)中心到像平面的距離。：焦距光學(xué)中心到焦點(diǎn)的距離；：特征點(diǎn)在像平面上的像坐標(biāo)；：特征點(diǎn)成像的像素坐標(biāo)；：特征點(diǎn)的像在像平面的坐標(biāo)；：射線繞Y軸擺動(dòng)到面內(nèi)所形成的角度；：射線在面內(nèi)轉(zhuǎn)到與軸重合所形成的角度；：兩相機(jī)間相對(duì)位置。四、問(wèn)題分析與求解由于相機(jī)依凸透鏡成像原理成像【3】，因此對(duì)數(shù)碼相機(jī)視覺(jué)系統(tǒng)建立坐標(biāo)系,其中原點(diǎn)為凸透鏡的光學(xué)中心，為光軸，平面平行于像平面。坐標(biāo)系建立在像平面上，且與共線，實(shí)物與其成像位于透

7、鏡兩側(cè)，通過(guò)對(duì)稱關(guān)系將其化為同側(cè)，則空間實(shí)物、其在像平面上成像關(guān)系如圖3所示。則在坐標(biāo)系下坐標(biāo)即為其在像平面的像坐標(biāo)。 圖3 點(diǎn)與成像關(guān)系對(duì)應(yīng)圖（一）問(wèn)題1的數(shù)學(xué)模型和算法 在如下圖所示的坐標(biāo)系中（坐標(biāo)的單位長(zhǎng)度為像素），確定靶標(biāo)上圓的像的幾何中心及其在圖3所示像平面上的坐標(biāo)，算法如下： 1）將相機(jī)分辨率為m×n拍攝的靶標(biāo)上圓的像（圖4）進(jìn)行二值化轉(zhuǎn)換【5，6】；2）將二值化圖形導(dǎo)入Matlab程序中得到二進(jìn)制矩陣,其中。3）編程統(tǒng)計(jì)計(jì)算矩陣中所有0（白點(diǎn)）值點(diǎn)x，y坐標(biāo)的均值，所求值即為靶標(biāo)上圓的像的幾何中心。其Matlab計(jì)算程序如下【6】：totalx=0;totaly=0;p

8、=0; for x = 1:m for y = 1:n if H(x,y) = 0O totalx = totalx+x; totaly =totaly+y; p = p+1; end end endpsx=totalx/ppsy=totaly/p4） 將幾何中心轉(zhuǎn)換為像平面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即：在獲得特征點(diǎn)在像平面上的投影后，靶標(biāo)上圓的圓心在像平面坐標(biāo)系中絕對(duì)位置坐標(biāo)可計(jì)算如下：首先求射線到光軸在視覺(jué)空間的位置差（，）,等價(jià)于將擺動(dòng)角度到面內(nèi)，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)；再在面內(nèi)旋轉(zhuǎn)線角度，使點(diǎn)移動(dòng)到，最終使與軸重合。此時(shí)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為由旋轉(zhuǎn)關(guān)系可得【4】：并且。式中 ；下標(biāo)?；?jiǎn)上式可以得到下列方程組

9、：根據(jù)以上條件解上述方程組可得：則靶標(biāo)上特征點(diǎn)在像平面坐標(biāo)系中像坐標(biāo)（絕對(duì)位置）為：（二）問(wèn)題2的解決及結(jié)果 本節(jié)對(duì)由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓 A、B、C、D、E的圓心在像平面上的像坐標(biāo)。依據(jù)靶標(biāo)上圓 A、B、C、D、E的像的相互位置關(guān)系，在（一）的Matlab計(jì)算程序中，對(duì)x、y取賦值范圍x = 147:232，y = 280:365運(yùn)行程序可得圓A的像的幾何中心：psx =189.2287，psy =322.5792賦值x = 151:237，y = 381:464，可得靶標(biāo)上圓 B的像的幾何中心：psx=196.6423, psy =42

10、2.6556賦值x = 174:252, y = 602:677,可得靶標(biāo)上圓 C的像的幾何中心： psx =212.8426，psy =639.6065 賦值x = 469:536，y = 547:618，可得靶標(biāo)上圓 D的像的幾何中心：psx =502.6915，psy =582.4110賦值x = 465:538，y = 243:324，可得靶標(biāo)上圓E的像的幾何中心： psx =501.4840，psy =284.3511 oo由平移關(guān)系獲得靶標(biāo)上圓 A、B、C、D、E的圓心在像平面上的像坐標(biāo)為：其中坐標(biāo)單位為像素。利用問(wèn)題2中的模型，可計(jì)算靶標(biāo)上圓A的圓心

11、在像平面上的坐標(biāo)（單位為mm）：， ，同理可求得靶標(biāo)上B、C、D、E圓的圓心在像平面上的坐標(biāo)，即：A(-49.7334，51.6901)，B(-23.4710,49.7221)，C(33.5608，45.4232)，D(18.5747, -31.4994)E(-60.0581，-31.1789)。（三）問(wèn)題3的解決-模型檢驗(yàn)方法和精度穩(wěn)定性討論1）分別在靶標(biāo)上不同圓的像邊緣取若干采樣點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)其像素坐標(biāo)；2）利用問(wèn)題1的模型算法，計(jì)算上述采樣點(diǎn)在像平面上的像坐標(biāo)及其對(duì)應(yīng)靶標(biāo)上的點(diǎn)；3）計(jì)算與靶標(biāo)上對(duì)應(yīng)圓心的距離，將求得的距離與靶標(biāo)上給定圓A、B、C、D、E的半徑（12mm）作比較，結(jié)果如下表所示

12、。采樣點(diǎn)坐標(biāo)（像素點(diǎn)）圓心的坐標(biāo)(mm)與相應(yīng)圓心的距 離(mm)采樣點(diǎn)坐標(biāo)（像素點(diǎn)）圓心的坐標(biāo)(mm)與相應(yīng)圓心的距 離(mm)（188,282）A(-49.7334,51.6901)10.6535(500,549)D(18.5747, -31.4994)8.8416（203,361）10.6909(535,574)8.8639（151,309）10.6979(514,612)8.3489（230,326）10.8468(474,603)9.3698（173,392）B(-23.4710,49.7221)10.1631(490,249)E(-60.0581，-31.1789)9.8455（1

13、57,429）10.6636(529,257)10.1982（190,462）10.4916(507,322)10.0529（224,449）10.0085(476,314)10.2981（188,615）C(33.5608,45.4232)9.2725（176,647）9.9505(250,637)9.8804(215,675)9.3329計(jì)算結(jié)果表明：由采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)求得的靶標(biāo)上的點(diǎn)均落入靶標(biāo)上半徑為12mm的圓內(nèi)（與相應(yīng)圓心的距離均小于12mm）。另外采用同樣的計(jì)算方法得出，靶標(biāo)上圓A、B、C、D、E的像素坐標(biāo)對(duì)應(yīng)在像平面坐標(biāo)系中所標(biāo)定出的位置獲得的相關(guān)距離AB=26.3360mm（<

14、30mm）, AC=83.5296mm(<100mm), CD=78.3688mm(<100mm), DE=78.6335mm(<100mm), AE=83.5097mm(<100mm)均不超過(guò)圖2靶標(biāo)上實(shí)際給出數(shù)值。說(shuō)明本文提出的模型和算法能夠通過(guò)靶標(biāo)的像的情況準(zhǔn)確標(biāo)定出靶標(biāo)上特征點(diǎn)的位置，模型具有良好的精確度和穩(wěn)定性。（四）問(wèn)題4的解決兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的模型與方法在已知靶標(biāo)中抽象出一空間實(shí)物點(diǎn)，由人的雙目確定物體位置獲得啟示，兩焦距相同的數(shù)碼相機(jī)觀察同一時(shí)，兩相機(jī)的像平面處于同一平面，則垂直于像平面的兩光軸平行（如下圖所示）。其中X軸通過(guò)光學(xué)中心， , 設(shè)為坐標(biāo)

15、原點(diǎn), , 分別為在兩像平面中的相點(diǎn)。以光學(xué)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，光軸方向?yàn)檩S建立坐標(biāo)系- ，以光學(xué)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，光軸方向?yàn)檩S建立坐標(biāo)系-，則在坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（），在坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（）。利用射影幾何學(xué)可得如下數(shù)學(xué)模型： 兩式相減得： 同理可得： 其中與在像平面中的坐標(biāo)為和，和分別為像素的列間距和行間距，由于兩相機(jī)參數(shù)相同，并且列間距和行間距基本相同?；?jiǎn)得： ，則解得兩相機(jī)相對(duì)位置： 其計(jì)算方法如下：1）從靶標(biāo)中抽象出實(shí)物點(diǎn)，則其位置坐標(biāo)（）確定。2）由在問(wèn)題一中建立的模型，可求得點(diǎn)在兩相機(jī)像平面中的坐標(biāo)分別為和。3）和分別表示數(shù)碼相機(jī)光軸與像平面的交點(diǎn)所在的行和列數(shù)，通常位于圖像的中心，通過(guò)計(jì)算機(jī)掃描計(jì)算可得其值。4）由式 求得，問(wèn)題獲解。五、 結(jié)束語(yǔ)本文所提出的通過(guò)數(shù)碼相機(jī)所攝照片上的特征點(diǎn)的像素坐標(biāo)，準(zhǔn)確確定特征點(diǎn)在像平面坐標(biāo)系中具體位置的數(shù)學(xué)模型和算法，成功計(jì)算出了問(wèn)題2中靶標(biāo)上圓A、B、C、D、E的圓心在給定像平面上的像坐標(biāo)。通過(guò)把模型理論計(jì)算結(jié)果指標(biāo)與實(shí)際給定的半徑和邊長(zhǎng)等指標(biāo)對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文所建模型和算法具有良好的精度與穩(wěn)定性。所給出的利用靶標(biāo)標(biāo)定兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型與方法，較好的解決了數(shù)碼相機(jī)的系統(tǒng)標(biāo)定問(wèn)題。模型建立和問(wèn)題的解決充分利用了題目所給的實(shí)際數(shù)據(jù)和各類資料，理論推導(dǎo)清