1、巧借三角形的兩條內(nèi)（外）角平分線夾角的模型解決問題新北實驗中學(xué)三角形的兩個內(nèi)（外）角平分線所夾的角與第三個角之間的數(shù)量關(guān)系模型一：當(dāng)這兩個角為內(nèi)角時：這個夾角等于90°與第三個角一半的和（如圖1） ；模型二：當(dāng)這兩個角為外角時：這個夾角等于90°與第三個角一半的差（如圖2） ；模型三： 當(dāng)這兩個角為一內(nèi)角、一外角時：這個夾角等于第三個角一半（如圖3） ；如圖 1【分析】三個結(jié)論的證明例 1、 如圖1，ABC中，BD、 CD為兩個內(nèi)角平分線，試說明：D=90° + 1 A。2（方法一）解：BD、 CD為角平分線11CBD ABC， BCD ACB。22在BCD中：D

2、 180°（CBDBCD） 180°1 （ ABCACB）2 180°1 （ 180°A）2 180°1 × 180°1 A22 90°1 A2（方法二）解：連接AD 并延長交BC于點 E解：BD、 CD為角平分線11CBD ABC， BCD ACB。22BDE是ABD的外角BDEBAD+ ABD1= BAD+ ABC2ADE同理可得CDECAD+1 ACB2又BDCBDE+ CDEBDCBAD+1 ABC+ CAD+1 ACB22 1BAC+ (ABC+ ACB)1BAC+ ( 180°BAC)2 90

3、°1 BAC2例、如圖，、為的兩條外角平分線，1試說明：D=90°1 A。2解：BD、 CD為角平分線1 CBD= CBE21 BCD BCF2又CBE、BCD為ABC的外角 CBEAACB BCFAABCCBEBCFAACB AABC 180°在BCD中： D180°( CBDBCD)180°(1 CBE 1 BCF)22180°1 (CBEBCF)2180°1 (A 180°)290° 1 A2【小結(jié)】通過對模型1、 2 的分析和證明，我們還能發(fā)現(xiàn)三角形兩內(nèi)角平分線的夾角和兩外角平分線的夾角互補，即和

4、為180°。例：如圖，在ABC中， BD 為 ABC的平分線，CD 為的平分線，1試說明：D A；2解： BD為角平分線，1CBD ABC，2又CD為ACE的平分線1 DCE= ACE， 2而DCE為BCD的一個外角DCE= D+ DBC，即D DCE DBC11D 1 ACE 1 ABC221（ACEABC） A。21、 運用模型直接求值例 4、 如圖，在ABC中，=400， D 點是ABC 和ACB角平01 的模型：三角形兩條內(nèi)角1 A220° =110°BDC 90°1 A，2分線的交點，則BDC=【思路分析】由條件知，這是圖平分線的夾角，BDC

5、90當(dāng) =400時，BDC=90°反之，如果已知BDC 的度數(shù)，則把度數(shù)代入公式：可以解出A的度數(shù)。2、 運用模型揭秘畫圖題例 5、 小明用下面的方法畫出了45°角：作兩條互相垂直的直線MN、 PQ， 點 A、B分別是MN、 PQ上任意一點，作ABP的平分線BD， BD的反向延長線交OAB的平分線于點C，則C就是所求的45°角你認為對嗎？請給出證明【思路分析】通過對兩條角平分線的分析，可以發(fā)現(xiàn)AC、 BD分別是 AOB的內(nèi)角平分線和外角平分線的夾角。根據(jù)圖3 的結(jié)論：這個夾角等于第三個角一半，1可知 C= AOB。 2解：先模仿圖3 證明 C=1 AOB2又AOB

6、=90°1 C= AOB=45° 23、 運用模型探究規(guī)律，提升拓展例 6、 問題引入：（ 1）如圖，在ABC中，點O是ABC和ACB平分線的交點，若A= ， 則 BOC= （用 表示） ；拓展研究：2）如圖，CBO=1 ABC，BCO= 1 ACB，A= ，試求BOC的度數(shù)33 表示）歸納猜想：（ 3）若BO、 CO分別是ABC的ABC、ACB的 n 等分線，它們交于點O，n（用 表示） 類比探索：CBO= 180°1 （ 180°A）n ABC，BCO=1 ACB，A= ，則 BOC=4)特例思考：如圖，CBO= 1 DBC，BCO=1 ECB，A=

7、 ，求33BOC的度數(shù)（用 表示） BO、CO分別是ABC的外角DBC、ECB的 n 等分線，它們交于點O，CBO=1 DBC， BCO=1 ECB，A= ，請猜想BOC= 表示） 【思路分析】1） 此為圖 1 的模型，O= 90° + 1 BAC= 90° + 1 2212） 把角平分線換成1 ，但證明的思路大致相似。3在OC中：BOC 180°（OBCOCB）180°180°1801(ABCACB)311 ( 180°A)3× 180° A12012031 A31313）把角平分線換成1 ，證明的思路類似。n在

8、中：BOC 180°（OBCOCB）1 180°1 （ABCACB）180° 180°(A 180°) × 180°1 Ann 1 × 180nn 1 × 180n1 A n14)此為圖2 的模型中，把角平分線換成1 ，證明如下：3CBD、BCE為ABC的外角CBDAACB, BCEAABCCBDBCE A ACBAABCA180在中：BOC 180°(CBOBCO)11 180°( CBD BCE)331 180°(CBDBCE)31 180°(A180)3 12

9、0°1 A31 120°1 3IIIII 再次推廣為1 ，證明類似：3n在中：BOC 180°(CBOBCO)IV 180°( CBD BCE)nn1 180°(CBDBCE)nn1180nn 1 × 1801n【小結(jié)】在（2） （ 3） （ 4）的結(jié)果對比中，我們發(fā)現(xiàn)這兩個夾角不再互補，但仍然存在中間的運算符號相反的問題，從一般猜想中可以發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律。雖1111然在問題設(shè)計中引起一連串的變式，從1 變成 1 ，再從 1 推廣為 1 ，但問題證明233n的思路并未發(fā)生質(zhì)的變化。四、 三種模型合為一體，滲透分類思想例7、 好學(xué)的小紅在學(xué)

10、完三角形的角平分線后，鉆研了下列4 個問題，請你一起 參與，共同進步如圖，ABC，點I 是ABC與ACB平分線的交點，點D 是MBC與 NCB平分線的交點，點E 是ABC與ACG平分線的交點問題（1） ：若BAC=5°0，則BIC= °， BDC= °問題（2） ： 猜想BEC與BAC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由問題（3）：若BAC=x°（0<x<90） ，則當(dāng)ACB等于度（用含x的代數(shù)式表示）時，CE AB說明理由問題 （ 4） ： 若BDE中存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的三倍，試求BAC的度數(shù)（ 1） 已知點 I 是兩內(nèi)角ABC、ACB平分線的交

11、點，故由圖1 歸納的模型： BIC=90+ BAC，由此可求BIC；因為CD、 BD分別為ABC的兩外角平分線，故由圖2 的模型：BDC=190 BAC，由此可求BDC；（ 2）因為BE、 CE分別為ABC的內(nèi)角、外角平分線，故由圖3的模型：BEC= BAC，由此可求BEC；（3）當(dāng)CEAB時， BEC= ABC，由 （3）可知， ABC=BAC， ACB= （ 180BAC） （ 4）由題意可證：BDE 是直角三角形，DBE=9°0，D+ E=90°。已知條件中：一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的三倍，則不明確，所以應(yīng)當(dāng)分類討論。若EBD=3 D；若EBD=3 E；若D=3 E；若

12、E=3 D解： （ 1）點I 是兩角B、 C平分線的交點，BIC=180° (IBC+ ICB)=180° (ABC+ ACB)=180° （ 180° A）=90+ BAC=115°；類似證明BDC=18°0BIC=90° BAC=6°5；或者也可以這樣證明：BE、 BD分別為ABC的內(nèi)角、外角平分線， IBC = ABC，CBD= CBM；DBI= IBC+ CBD= IBC = ABC+ CBM= （ABC+ CBM）= × 180°DBI=90°，同理DCI=90°，

13、在四邊形CDBI中，BDC=18°0BIC=90° BAC=6°5；（ 2）有圖3 的模型可證BEC= BAC也可借助上面的小題這樣證明：在BDE中，DBI=90°， BEC=9°0BDC=90° （90° BAC） = BAC；（ 3）當(dāng)ACB等于（180 2x） °時，CE AB理由如下： CE AB，ACE= A=x°， CE是ACG的平分線，ACG=2 ACE=2°x，ABC= ACGBAC=2°x x°=x°，ACB=18°0BACABC=（ 1

14、80 2x） °（4）由題意知：BDE是直角三角形D+E=90°若EBD=3D 時 BAC=12°0；若EBD=3E時BAC=6°0；若D=3 E時BAC=4°5；若E=3 D時BAC=13°5綜上所述，BAC=120或 60°或 45°或 135° 鞏固練習(xí)：1、 如圖：BO、 CO分別平分ABC和ACB，1）若A=40°，求BOC的度數(shù)；2）若A=60°，BOC=；若A=100°，BOC=；3） 由 （ 1） 、（ 2） 的結(jié)果， 試直接寫出BOC與A之間的數(shù)量關(guān)系4）利用你得出的結(jié)論，求當(dāng)BOC=150°時，求A的度數(shù)2、已知如圖，COD=90°，直線AB與 OC交于點B，與OD交于點A，射線OE和射線 AF交于點G（ 1）若 OE平分BOA， AF平分B