1、.f J、田 j布L 課刖頂習華盛頓的傍晚親愛的小朋友們：“在那山的那邊海的那邊的美國首都華盛頓，有一位中年人， 他聰明又勤奮， 他潛心探討，他反復思考與演算”，那是 1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁?，時而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使，加菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是加菲爾德便問他們在干什么？那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如

2、果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4,那么斜邊長為多少呢？”加菲爾德答道：“是 5呀?！毙∧泻⒂謫柕溃骸叭绻麅蓷l直角邊分別為5和7,那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？ ”加菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上 7的平方. ”小男孩說：“先生，你能說出其中的道理嗎？”加菲爾德一時語塞，無法解釋了，心里很不是滋味。加菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經(jīng)過反復思考與演算，終于弄清了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。具體方法如下：兩個全等的 RtABC和RtBDE可以拼成直角梯形 ACDE則梯形面積等于三個直角三角形面積之和。即(AC+ DE) Xd 冢

3、 ACX BO2FBDX D上 斗 ABX B& 2(a+b) 2+2= axbf ax bf cXc+2化簡整理得a2+b2=c2EC aB b D點評：此種解法主要利用了三角形的面積公式：底X高安，和梯形的面積公式：(上底+下底)X高登.而在我國對于勾股定理的證明又做出了那些貢獻哪？在我國古代，把直角三角形叫做勾股形。把直角三角形的較短直角邊稱為勾”，較長直角邊為股”，斜邊稱為 弦”，所以把這個定理稱為勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關(guān)系。即：在直角三角形中倆條直角邊的平方和等于斜邊的平方。公元前11世紀的周髀算經(jīng)中提到：故折矩，以為句廣三，股修四、徑修五.既方之.外半

4、卿一矩，環(huán)而共盤.得成三、四、五.通既方之4fh升半之三國時期的趙爽注解道：句股各自乘,并之為弦實，開方除之倍之為朱實四，以句股之差自相乘為中黃實,加差之,亦成弦實.區(qū)既方之懶h環(huán)而共盤c.環(huán)而共撤,即弦.案：弦圖又可以句股相乘為朱實二外半之.其中解釋到：短面曰句，長面曰股，相與結(jié)漢朝張蒼、狄昌壽整理的九章算術(shù)第九卷為句股 角曰弦.句短其股，股短其弦.句股各自乘，并，而開方除之，即弦。勾股定理的證明:(1)方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形:一.22.1.SE 方形 ABCD = a b =c 4 ab(2)方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形:2Sfc萬形 EF

5、GH = ca - b 1，4： -abGF(3)方法三： 總統(tǒng)”法如圖所示將兩個直角三角形拼成直角梯形:S弟形 ABCD=(a b)(a b) =2 1ab 1c2 2223、 4、 5;知識框架勾股定理：直角三角形中的兩直角邊平方后的和等于斜邊的平方.注：勾一一最短的邊、股一一較長的直角邊、弦斜邊。勾股定理實際上包含兩方面的內(nèi)容： 如果一個三角形是直角三角形，那么兩條直角邊的平方之和等于斜邊的平方；如果一個三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么它一定是直角三角形.勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)擴大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù).常用勾股數(shù):5、 12、 13; 7

6、、 24、 25; 8、 15、 17。弦圖:EFrJ重難點1 .會用勾股定理解決簡單問題。2 .會用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形3 .勾股定理與弦圖的聯(lián)系與應(yīng)用岸 例題精講【例1】如圖，以一個直角三角形的三邊為邊長分別向外作三個正方形，如果兩個較大正方形的面積分別 是576和676,那么最小的正方形的面積為【鞏固】如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊和長為27cm,則正萬形A, B, C, D的面積之和為 cm。例 2已知，如圖，四邊形 ABCD43, AB=3cm AD=4cm BC=13cm CD=12cm 且ZA=90°

7、 ,求四邊形ABC而面積?！纠?】在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60。方向以每小時8海里的速度前進，乙船沿南偏東某個角度以每小時15海里的速度前進，2小時后，甲船到 M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你知道 乙船是沿哪個方向航行的嗎？【鞏固】如圖，某沿海開放城市 A接到臺風警報，在該市正南方向100km的B處有一臺風中心，沿 BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市 A到BC的距離AD=60km那么臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移到正在D點休閑的游人在接到臺D點？如果在距臺風中心 30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風的破壞的危險, 風警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險？【例4】 從一個

8、正方形的木板上鋸下寬0.5米的一個長方形木條以后，剩下的長方形的面積為5平方米,問鋸下的長方形木條的面積等于多少?坪方米336平方分【鞏固】從一塊正方形玻璃上裁下寬為16分米的一長方形條后，剩下的那塊長方形的面積為米，原來正方形的面積是多少平方分米?【例5】如圖，P是正方形ABC/卜面一點，船為12厘米.4APB的面積是90平方厘米，ACPB勺面積是48平方厘米.請你回答：正方形ABCM面積是多少平方厘米 ？有一個長方形，它的長是寬的4倍，對角線長34cm。求這個長方形的面積?！纠?】.如圖，EFGH正方形 ABCD勺內(nèi)接四邊形，四邊形 EFGH的面積是94.5.已知EG=15,FH=13，求

9、正方形ABC而面積.【鞏固】如圖所示，在四邊形 ABCM, E, F, G, H分別是ABC哈邊的中點，求陰影部分與四邊形PQRS的面積之比。HD【例7】.如圖，一張長14厘米，寬11厘米的長方形紙片最多能裁出多少個長4厘米、寬1厘米的紙片樣裁？青畫圖說明.【鞏固】三個面積都是 12的正方形放在一個長方形的盒子里面，如圖 7-15,盒中空白部分的面積已經(jīng)標 出，求圖中大長方形的面積？圖775【例8】.有5個長方形,它們的長和寬都是整數(shù),且5個長和5個寬恰好是110這10個整數(shù)；現(xiàn)在用這5個長方形拼成1個大正方形，那么，大正方形面積的最小值為多少 ？【鞏固】已知兩數(shù)的和為 3,兩數(shù)的積為1.25

10、,求兩數(shù)?例9.如圖,A在線段BG上,ABCD和DEFGIB是正方形，面積分別為7和11.求三角形CDE勺面積的平方【鞏固】(第8屆華羅庚金杯賽小學組第一試決賽試題第4題)如圖32-6(b),平面上CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，它的上底肋為23厘米，下底口 C為35厘米.求三角形ADE的面積.【例10】園林小路，曲徑通幽.如圖32-7所示，小路由白色正方形石板和青、紅兩色的三角形石板鋪成.問:內(nèi)圈三角形石板的總面積大，還是外圈三角形的總面積大？請說明理由.圖 32-7【鞏固】一個長方形若能分割成大小不一樣的小正方形，則稱它為完美長方形。下圖完美長方形可以分割成9個小正方形，其中小正方形

11、 A和B的邊長分別為5厘米和9厘米，那么大長方形的面積是多少平方厘米？1平方課堂檢測1、四個完全一樣的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形（如圖）如果小正方形的面積是米，大正方形的面積是 5平方米，那么直角三角形中，最短的直角邊長度是2、請問下圖正方形的面積是 平方厘米。3、如圖7-4, 一個邊長為1米的正方形被分成 4個小長方形，他們的面積分別是10平方米、5平方米、115平方米和10平方米。已知圖中的陰影部分是正方形，那么它的面積是多少平方米？k!p （西城實驗考題）E不拿二一樣的直角三角形相一個小正方形拼成一個大正方加圖）如果小正方形面枳是1GL加系復習總結(jié)大正方形面積是5平方米，那

12、麼直曲三角形中,最短的直角邊長度是米.根據(jù)直角三角形計算出三角形中第三邊甲長用，在計算時可;以借助分解質(zhì)因數(shù)，或者根據(jù)三遍關(guān)系判斷是 直角三角形；有直角的通過加輔助線構(gòu)造通過對弦圖進行觀察分析得出構(gòu)成弦圖 M角三角形兩畝j邊的次系,始終要有方程意識昉形面積是1平方米.大正方形面積是5平方米所以外邊四個面積和是5-1=4, 一 每個三角形的面枳是1，這個圖形是“玄形”，所以長直角邊和短直角邊差就是中 GLW”喇g作曲求明融百是1.1、左下圖中有三個直角三角形。請問x=厘米。2、用同樣的長方形條磚，在一叢花的周圍鑲成一個正方形邊框，如右圖.邊框的周長為264厘米.里邊小正方形的面積為900平方厘米，問每塊長方形條磚的長和寬各是多少厘米？3 .如下圖所示，紅、黃、綠三塊大小一樣的正它們方形紙片，放在一個正方形盒內(nèi)，它們之間相互疊合, 已知露在外面的部分中， 紅色的面積是20 ,黃色的面積是14 ,綠色的面積是10,那么，正方形盒子的 底面積是. （2003年一零一培訓學校期末考試題（2003年12月）第17題）4 .如圖：長方形的面積是小于 100的整數(shù)，他的內(nèi)部由三個邊長是整數(shù)的正方形，正方形的邊長是51，、一一一，.長方形長的 ,正方形的邊長是長方形寬的-，那么圖中陰影部分的面積是多少？1285 .在直角