1、第一章、解三角形一、教學目標1、理解海倫與秦九韶面積公式的推導過程。2、會用海倫與秦九韶面積公式解決一些簡單的數學問題，體會海倫與秦九韶面積公式在處理與三角形三邊有關的面積問題上的優(yōu)越性。3、通過介紹相關的數學史激發(fā)學生學數學的興趣，培養(yǎng)學生的人文精神，增強學生的名族 自豪感。二、教學重點與難點重點：（1）海倫與秦九韶面積公式的推導；（2）應用海倫與秦九韶面積公式解決一些簡單的數學問題。難點：（1）如何合理選擇海倫與秦九韶面積公式解決實際問題；（2）理解海倫與秦九韶面積公式在處理與三角形三邊有關問題上的優(yōu)越性。三、教學過程設計（一）情景引入我國南宋著名數學家秦九韶（約1202-1261 ）的著

2、作數學九章卷五“田域類”里有個題目：“問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法 三百步，欲知為幾何.”轉化為數學語言為下列圖形：設計意圖：從數學史角度看，用自己本民族的語言敘述數學問題能夠拉近學生的心理距離, 同時讓學生了解本民族的數學名詞，增強對本民族數文化的認同感，激發(fā)學習興趣。用符號語言表述即為：在 AABC 中，已知 a=15,b=14,c=13,求三角形的面積S abc .思考：你有哪些方法呢？設計意圖：為引入秦九韶面積公式作鋪墊。（二）問題導學問題1、我國古代數學家秦九韶在九章算術中記錄了 “三斜求積術”，即已知三角形的三邊邊長，求它的面積，用現代面積

3、公式可以表示為:SnDadg+l 七）2你能推導該公式嗎?證明：由余弦定理:222a c -bcosB 二2acS =-acsinB 3c22;1 -coJ B = ；ac, 1 -a2 c2-b22ac2,2.2a +c b2ac ，4a2c2 -(222a c -b)2.設計意圖：讓學生從現有的知識出發(fā)推導秦九韶面積公式, 理有據的，數學是自然的。體會任何數學公式的產生都是有問題2、已知三角形的三邊邊長，求它的面積，還可以借助海倫公式S=Jp(pa)(pb)(pc),其中 pa b c ，八，一一 一,你能借助秦九韶面積公式推導海倫公2式嗎？設計意圖：讓學生通過等式變形，學會知識間的融會貫

4、通，感受數學變中之不變的美感，讓 學生體會中西數學家的珠聯璧合，交相輝映。東西方數學家為數學的發(fā)展都作出應有的貢獻， 不同的表達方式講述了相同的內容，學生可從中感受數學統一美，同時也增強了名族自豪感。追問1：你還有其他方法推導秦九韶、海倫面積公式嗎？22 . .22 Ya +b c2a ；設計意圖：激發(fā)學生的探究興趣， 若學生能探討出其他方法， 則可以給學生展示自己的機會, 若學生課堂上無法解決，教師可以引導學生課后專研思考。解：如圖，,2, 222222a b -c,22b x =c -(a x ),則 x =,所以 h =b2aa b2 -c221112所以 S&bc =aah a

5、 J(ab J -2 , , 22 2a +b -c22 , , 22 >2a +b -c問題3、從公式的形式來看海倫與秦九韶面積公式的共同點是什么？哪個更簡潔? 共同點：都是用三角形三邊來表示面積，從公式形式來看海倫公式更簡潔。追問2:秦九韶公式的結構形式比較復雜，是不是秦九韶面積公式沒有海倫公式好用呢?如：在三角形 ABC中，a = , 10,b = . 13,c方便呢？ （ 7/2 ）設計意圖：讓學生體會在應用公式解決問題時，= J5,求三角形 ABC的面積。哪個公式用起更不同公式的結構特征在使用過程中的不同效果。（三）典例導析例、我國南宋著名數學家秦九韶發(fā)現了從三角形三邊求三角形

6、面積的“三斜公式”，設ABC三個內角A B、C所對的邊分別為a、b、c,面積為 S,則“三斜求積”公式為2222S = J1a2 22 =V4ab -(40 -ab)=20 ab -20 = 20 -a2 12a -20=2而 J-(a -6( +16設計意圖：讓學生體會在使用海倫和秦九韶面積公式時，如何選擇。追問2:如果不用海倫與秦九韶面積公式，如何求該三角形面積的最大值呢?解：由余弦定理可得:_2. 2264 = a b -2abcosC = a b)-2(1 cosC)ab =144 -2(1 cosC)abc2 _(a +c b )2,若 a2si C /sn A , (a+c)2 =

7、 12 + b2,則用“三斜求積” ,42公式求 ABC勺面積.解：根據正弦定理：由 a2 sin C =4sin A得ac = 4,由(a +c)2 =12+b2得a2+c2 b2 =4,則 S咨bc = J1(16-4) =73.設計意圖：讓學生會用秦九韶面積公式去求與三角形三邊有關的面積問題。追問：如果不用秦九韶面積公式，如何求該三角形面積呢?設計意圖：為引入變式題，海倫與秦九韶面積公式在有些問題的優(yōu)越性上作鋪墊。變式1：在AABC中，若a+b=12, c=8,請用海倫公式求 AABC面積的最大值. a -b -cp=10, a+b=12,二弟 2 (10-a)(10 -b)解：由已知：

8、2S =.,： p( p -a)( p -b)( p -c) *20(10 -a)(10 -b), 5 (10 -a) (10-b) =8 .5 .當且僅當10a=10b即a=b時取等號。, Smax =8 5.追問1：試一試用秦九韶面積公式求解，運算量怎么樣?S= 4但后一(22a b -c-)2=心西-(2，a b) -2ab -c4a2b2 -(144 -2ab -64)2.ab 二上1 +cosC，1S 二一 absin C220sin C1 cosCC 二20tan 22 C1 -tan -2cos C =-1 tan2 22,22a b -c80 -2ab2ab2ab40401 二

9、1ab a 12 - aa +c>buR +c >aa +8 >12 -au12-a+8>aa>2u 2 <a <10、a <10cosC 三 1 1 i 1 所以當cosC 9,1 I則92 C1 -tan 'J2 J 則1 -tan 一2tanCj港組2 1 5 5 一所以 S =20tan 2 三8 5設計意圖：讓學生體會使用海倫公式在處理三邊相關的三角形面積最值問題上的優(yōu)越性。變式2：在 MBC中，若b=2, sinC = J3sin A ,請用秦九韶公式（三斜求積術）求AABC 面積的最大值.S=jLa2c2_(a_W1 42解

10、：由 sinC=J3sina 得 c=J3a,)2=.1a2 3a2 -(a 3a 一2 )242144214212243a (4a -8a4)=4(y 8a 4)=,-ja -4)3當 a2 =4即 a =2時，Smax=J3.追問1：如果用海倫公式求解，運算量怎么樣?S = p(p -a)(p -b)(p -c)213a 23 -1a 13 a -2 21 - 3a設計意圖：讓學生體會在使用海倫和秦九韶面積公式如何選擇。追問2:如果不用海倫與秦九韶面積公式，如何求該三角形面積的最大值呢?解：由余弦定理可得：4=a2 c -2accosB =4a2-2 3a2c0sBa, 2SacsinB=

11、"a2sinB=3sinB=.2-也 cosB，222-V3cosB設計意圖：讓學生體會使用秦九韶公式在處理三邊相關的三角形面積問題上的優(yōu)越性。（四）反思導悟1、海倫與秦九韶面積公式是如何推導的？2、海倫與秦九韶面積公式的共同點是什么？ 一般用于處理什么問題？3、在選擇海倫公式還是秦九韶公式時，選擇的依據一般是什么？（五）反饋導練1 .在 ABC中，角 A B, C,所對邊分別為 a, b, c,若 a=12cm b=14cm c=16cm 則 ABC的面積是多少？ 21 . 15設計意圖：三條邊較大的三角形，用海倫公式便于計算2 .在 ABC中，角A,B,C,所對邊分別為a, b,

12、c,若a= <6,b=v7,c= <8,則 ABC的面積是多少？ -1434設計意圖：含根號的三條邊用“三斜求積”公式便于計算；3 .在4ABC中，角A,B,C 所對邊分別為a, b, c,若a=15,b=8,c=17,則ABC的面積是多少？ 60設計意圖：三邊長是三個勾股數，其意圖在于考察學生的觀察、靈活應變的能力。4 .數書九章中對已知三角形三邊長求三角形的面積的求法填補了我國傳統數學的一個空白，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的數學水平，其求法是:“以小斜哥并大斜哥減中斜哥，余半之，自乘于上，以小斜哥乘大斜哥減上，余四約之，為L/ 2 I _2 八 2|實.一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式， 即S=c2a2 - -_a-V4- < 2 打現有周長為 2J2+J5 的 4ABC 滿足 sin A：sin B：sin C =(J2 1 1 J5：(J2+1 ),用以上給出的公式求得 ABC的面積為4設計意圖：會用秦九韶面積公式求三角形的面積。5.定義一種四邊形，四邊長為整數，且它的面積也為整數的四邊形， 稱之為海倫一秦九韶四邊形.下列