1、 畢 業(yè) 論 文論文題目 幾類生物數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜性行為研究系 別 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級 學(xué) 號 學(xué)生姓名 指導(dǎo)教師 完成時間 年 月摘要本文考慮了生態(tài)學(xué)中幾個經(jīng)典數(shù)學(xué)模型的改進和推廣,利用微分方程穩(wěn)定性理論和數(shù)值分析, 研究其動力學(xué)行為, 并探討了系統(tǒng)中參數(shù)對其動力學(xué)行為的影響, 為解釋、預(yù)測和控制生態(tài)學(xué)中的一些現(xiàn)象提供相應(yīng)的理論依據(jù)。具體地，本文做了以下工作:第一章，簡介微分方程穩(wěn)定性理論的基本知識。第二章，借助特征值判別法、 Lyapunov函數(shù)和微分不等式，細致地分析和討論單種群生物模型的優(yōu)缺點及平衡點的穩(wěn)定性，獲得了單種群生物模型穩(wěn)定性的充要條件。第三章，運用特征值判別法、

2、Lyapunov函數(shù)、微分不等式及計算機數(shù)值模擬，精細地分析和討論兩種群競爭模型的優(yōu)缺點，并對模型進行改進，使得模型與實際更加貼近，最后得出了兩種群相互競爭模型穩(wěn)定性的相關(guān)條件。同時在改進過程中，得出了一元四次方程實根個數(shù)的判別方法。此外，理論研究結(jié)果與兩個種群相互競爭模型的SIMLINK仿真數(shù)值結(jié)果十分吻合。關(guān)鍵詞： 生態(tài)學(xué)； 微分方程； 穩(wěn)定性； SIMLINK仿真Complex Dynamics in Several Mathematical Models AbstractThis thesis is focus on the improvement and popularization

3、 of several classical mathematic model in the ecology. Researching on its dynamic behaviors by using numerical analysis and theory of differential equation stability. As well as discussing the influence of parameters in system on the dynamic behaviors. All these have provide corresponding theoretica

4、l basis when we interpret ,predict, and control some phenomena in the ecology. Below are what this thesis has done in details：Chapter one , Stability theory for differential equation of the paper are presented.Chapter two, using Eigenvalue method, Lyapunov function and Differential Inequality. We an

5、alyze and discuss the advantages and disadvantages of single population biology model and stability of the equilibrium point, obtaining the sufficient condition of the stability of single population biology model .Chapter three, using Eigenvalue method, Lyapunov function, Differential Inequality and

6、 Computer numerical simulation. We analyze and discuss the advantages and disadvantages of the two population competition model .At the same time improving the model and make it more consistent with the actual, obtaining the related conditions of two populations competition model.In the improvement

7、process, obtaining the number of roots for quartic equation. In addition, our theoretical results are fit to the results of SIMLINK simulation .Key word: Ecology；differential equation；stability；SIMLINK simulation 目錄前言1一、 微分方程的穩(wěn)定性理論簡介2（一） 穩(wěn)定性概念2（二） 特征值判別法2（三） V(x)函數(shù)判別法3二、 單種群生物數(shù)學(xué)模型的穩(wěn)定性分析4（一） Malthus

8、人口模型4（二） 阻滯 logistic 增長模型6三、 兩個種群生物數(shù)學(xué)模型的改進和穩(wěn)定性分析10（一） 兩種群競爭模型10（二） 改進的兩種群競爭模型13參考文獻24致謝25前言生物數(shù)學(xué)是生物學(xué)在不同領(lǐng)域中應(yīng)用數(shù)學(xué)工具對生命現(xiàn)象進行研究的學(xué)科。其一般方法是建立被研究對象的數(shù)學(xué)模型并對其進行定性和定量研究，主要應(yīng)用的數(shù)學(xué)方法有：微分方程、概率論和數(shù)理統(tǒng)計、抽象代數(shù)、拓撲學(xué)、突變理論等，電子計算機的發(fā)展使生物數(shù)學(xué)的研究又有了新的突破。生物數(shù)學(xué)的內(nèi)容是多方面的：生物統(tǒng)計、數(shù)量遺傳、數(shù)學(xué)生態(tài)和數(shù)學(xué)生物分類學(xué)可做為四大分支。生物統(tǒng)計學(xué)用統(tǒng)計方法研究生物界的客觀現(xiàn)象；數(shù)量遺傳學(xué)用數(shù)學(xué)方法研究在各種不同

9、情況下全體基因型的變化，研究數(shù)量性遺傳規(guī)律；數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)用數(shù)學(xué)理論和和方法描述生態(tài)系統(tǒng)的的行為動態(tài)定量關(guān)系，建立各種生態(tài)模型，模擬動物行為；數(shù)學(xué)生物分類學(xué)使用現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法和工具（特別是電子計算機）對古老的生物分類學(xué)進行研究。目前，數(shù)學(xué)方法幾乎滲透到生物學(xué)的每個角落，有人預(yù)言：生物學(xué)將會取代物理學(xué)成為使用數(shù)學(xué)工具最多的部門，21世紀可能是生物數(shù)學(xué)的黃金時代。而生物數(shù)學(xué)中很重要的一個分支是種群生態(tài)學(xué)，種群生態(tài)學(xué)的研究起源于人口統(tǒng)計學(xué)、漁業(yè)資源學(xué)、和應(yīng)用動物學(xué)，它是以人類、昆蟲、動物為主要研究對象，其理論和方法來源于M.Odum,M.Begon和Mortimer（1981），Prece（1981），并

10、成為生態(tài)學(xué)中最活躍的一個領(lǐng)域。著名的英國社會學(xué)家神父Malthus在1998年出版的，人口論中第一次提出人口等比級數(shù)增長模型，即著名的Malthus模型。這個模型在短時期內(nèi)與人口的很吻合，但是隨著時間的推移，誤差就越大，因為它有一個重要的缺陷：沒有考慮環(huán)境資源、生活場所、食物等對自然增長率的影響。因為Malthus模型對于預(yù)測種群長時間發(fā)展的狀況不適用，1938年比利時學(xué)者P.F.Verhulst首先提出了阻滯logistic增長模型，是用于描述生物種群在有限的空間和資源稀缺的條件下成長的經(jīng)典模型。克服了Malthus模型的缺點，使模型預(yù)測的結(jié)果更加接近實際。隨著人類對生態(tài)學(xué)的研究，出現(xiàn)了經(jīng)典

11、的種群相互競爭模型、種群相互依存模型等等，種群生態(tài)學(xué)得到迅速的發(fā)展，使得人類更加合理的對種群進行保護、開發(fā)和利用。一、 微分方程的穩(wěn)定性理論簡介 （一）穩(wěn)定性概念 考慮微分方程 （1.1） 其中函數(shù)對和連續(xù)，對滿足局部李普希茲條件，設(shè)方程（1.1）對初值存在唯一解，而其他解記為。如果對于任意給定的和都存在，使得滿足就有對一切成立，則稱（1.1）的解是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。(二) 特征值判別法定理1. 對于非線性系統(tǒng) 其中，為常數(shù)矩陣，若特征方程沒有零根或零實部的根，則非線性系統(tǒng)與線性近似系統(tǒng)的平衡點的穩(wěn)定性是一致的。對于線性近似系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性的討論，其特征方程的根來判定是相當簡便的，下面對

12、二維的情景討論，有如下定理：定理2. 若的兩個特征值為實根，且，則<0時，平衡點漸近穩(wěn)定，而>0時平衡點不穩(wěn)定；若有重根，則<0時平衡點漸近穩(wěn)定，>0時平衡點不穩(wěn)定；若有共軛復(fù)根，則<0時平衡點漸近穩(wěn)定，>0平衡點不穩(wěn)定，=0時，平衡點穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定。（三）函數(shù)判別法定義1. 設(shè)為定義在閉區(qū)域上的連續(xù)實函數(shù)，滿足，其中.若恒有，則稱函數(shù)V為常正的，若對一切，都有，則稱函數(shù)V為定正的，若為常正（或定正）的，則稱函數(shù)V為常負（或定負）。定理3. 對于自治系統(tǒng) （1.2）其中且在區(qū)域內(nèi)連續(xù)可微。（a）若存在定正函數(shù)，其通過方程組（1.1）的導(dǎo)數(shù)為常負函數(shù)，則

13、方程組（1.1）的零解是穩(wěn)定的。（b）若存在定正函數(shù)，其通過方程組（1.1）的導(dǎo)數(shù)為定負函數(shù)，則方程組（1.1）的零解是漸近穩(wěn)定的。（c）若存在定正函數(shù)，其通過方程組（1.1）的導(dǎo)數(shù)為定正函數(shù)，則方程組（1.1）的零解是不穩(wěn)定的。二、單種群生物數(shù)學(xué)模型的穩(wěn)定性分析（一）Malthus人口模型1.背景長期以來，人類的繁殖一直是自發(fā)的進行著，然而隨著科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力的飛速發(fā)展，人口數(shù)量迅速膨脹，環(huán)境質(zhì)量也急劇惡化，人類才猛然醒悟，開始研究人類和自然的關(guān)系、人口數(shù)量的變化規(guī)律，以及如何進行人口控制等問題。這時候，著名的英國社會學(xué)家神父Malthus根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計資料，于1798年提出了著名的人

14、口增長模型，使種群增長模型得了到社會的普遍關(guān)注。 2.模型的建立記t的人口為，當考察一個國家或一個較大地區(qū)的人口時，是一個很大的整數(shù)。為了利用微積分這個數(shù)學(xué)工具，將視為連續(xù)，可微函數(shù)，記初始時刻（t=0）的人口為。假設(shè)人口增長率為常數(shù),考察時段人口總量的變化，有令得到的微分方程 （2.1）3.模型的求解對方程 分離變量得 （2.2）對方程（2.2）兩邊積分，得 （2.3）對方程（2.3）兩邊取指數(shù)函數(shù)，并帶入初始條件，方程（2.1）的解為由方程的解可知人口按指數(shù)規(guī)律增長。當時有 （2.4）由(2.4）可以看出，無論r多小，只要人口的增長率大于零，其數(shù)量最終都將會趨于正無窮。然而任何地區(qū)的人口都

15、不是無限增長的，對于種群來說也是如此，由于環(huán)境是有限的，大多數(shù)種群的指數(shù)增長都是短時間的，一般都是發(fā)生在早期階段，密度較低，資源豐富的情況下，而隨著密度的增大，資源的缺乏，代謝產(chǎn)物積累等勢必會影響到種群的增長率，使其降低。這些都說明了模型是有缺陷的，不能很好的刻畫種群長時間增長規(guī)律，因此有必要對模型進行改進。為了形象說明這種情況，在這里取=100（萬），利用matlab進行編程畫圖得圖一由圖一可知一百年后總?cè)丝诟哌_（萬），這是不符合實際的，因此，有必要對模型進行改進。4.模型的穩(wěn)定性分析由方程（2.4）以及圖一都可以知道，當時，系統(tǒng)（2.1）的零解是不穩(wěn)定的。（二）阻滯logistic增長模型

16、1.背景Malthus人口模型在種群短時間內(nèi)能有效的反映群體的增長規(guī)律，但隨著時間的推移就不符合實際了。它有一個明顯的缺陷就是不能反映環(huán)境條件、自然資源等因素對種群自然增長率的影響，以及各生物成員之間為了爭奪有限的生活空間和食物所進行的競爭，這些影響隨著種群總數(shù)的增長更加明顯，并對種群的增長起到阻滯的作用。考慮這些因素，1938年比利時學(xué)者P.F.Verhulst首先提出了阻滯logistic增長模型，成為描述生物種群在有限的空間和資源稀缺的條件下成長的經(jīng)典模型。 2.模型的建立設(shè)在考察的自然條件下，種群可能達到最大總數(shù)（環(huán)境容納量），當時，種群是零增長；設(shè)開始時種群的自然增長率為，增長率隨密

17、度上升而降低的變化是按比例的。最簡單的是每增長一個個體，就產(chǎn)生的抑制影響，每個個體利用了的“空間”，而種群繼續(xù)增長的“剩余空間”只有（）。于是模型改進為 （2.5）3.模型的求解對方程（2.5）分離變量，得 （2.6）對（2.6）兩邊積分，得 （2.7）對方程（2.7）兩邊取指數(shù)函數(shù)，并帶入初始條件，方程（2.5）的解為 （2.8） 由（2.8）式知 （）為了研究的圖形，對（2.5）進行求導(dǎo)，得由<知>0,即隨時間的增加而增加。當時，>0, 單調(diào)增加，知增加的速率越來越大。即曲線是凹的。當時，<0, 單調(diào)減少，知增加的速率越來越慢。即曲線是凸的。由以上分析知的圖像是S型

18、，且是一個拐點，由拐點的數(shù)學(xué)意義，可知此時種群的增長達到最佳狀態(tài)。為了刻畫這種情況，取，用matlab編程畫圖如下：圖二由圖二知，圖形是S型，且是拐點，時間的增長，種群的總數(shù)不斷的接近環(huán)境容納量100，可知我們數(shù)值模擬的結(jié)果與結(jié)論十分吻合。阻滯增長模型與Malthus人口模型相比有了很大的改進，它是許多兩種相互作用增長模型的基礎(chǔ)，也是農(nóng)業(yè)、林業(yè)、漁業(yè)等實踐領(lǐng)域中，研究最大的持續(xù)產(chǎn)量的主要模型。但是該模型還是有缺陷的，因為模型中每個個體的生育率都是一樣的，沒有考慮生育率的時滯性和不同年齡段的生育率的變化。自然增長率和環(huán)境容納量等很多有關(guān)因素的難以確定，也給這個模型的應(yīng)用帶來了困難。4.模型的穩(wěn)定

19、性分析令(2.5)式右端等于零，得系統(tǒng)(2.5)兩個平衡點 和 對于，取正定的Lyapunov函數(shù)其沿著模型（2.5）的解有所以是不穩(wěn)定的。對于，也取正定的Lyapunov函數(shù)其沿著模型（2.5）的解有故是全局穩(wěn)定的。綜上所述平衡點是不穩(wěn)定的，是穩(wěn)定的。由圖二同樣可以知道平衡點是不穩(wěn)定的，平衡點是穩(wěn)定的。三、兩個種群生物數(shù)學(xué)模型的改進和穩(wěn)定性分析 （一）兩種群競爭模型1.背景在生態(tài)環(huán)境中有許多的物種，每一個物種的生物數(shù)量的變化不僅受到本物種自限規(guī)律的制約，也受到其他物種的影響，很多物種為了爭奪賴以生存的同一資源和生存空間而相互競爭，從而出現(xiàn)了競爭能力較弱的物種滅絕，競爭力較強的物種的數(shù)量不斷增

20、長，甚至可以達到環(huán)境容納量，優(yōu)勝劣汰已經(jīng)成為自然界一個很普遍的規(guī)律。所以研究兩個種群之間在競爭的情況下種群的變化情況是很有實際意義的。2.模型的建立設(shè)時刻兩物種群體的總數(shù)分別為和，種群1的自然增長率為，種群2的自然增長率為，和分別為種群1和種群2環(huán)境容納量，因為兩個種群是相互制約的關(guān)系，若每個種群2的生物個體消耗的資源相當于種群1每個生物個體消耗資源的陪，則種群1總體的增長率為；同理，若每個種群1的生物個體消耗的資源相當于種群2每個生物個體消耗資源的陪，則種群1總體的增長率為。綜上所述，得出兩種群的競爭數(shù)學(xué)模型 (3.1)設(shè),方程（3.1）可化為 （3.2）其中，都是正常數(shù)，反映種群受食物、環(huán)

21、境等因素影響的密度制約；和是兩種群間有效的競爭系數(shù)。3.模型的仿真SIMULINK是MATLAB一起發(fā)行的用于對非線性系統(tǒng)進行仿真的交互軟件系統(tǒng)。它是實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模與仿真的一個集成工作環(huán)境。作為MATLAB的重要組成部分，SIMULINK使MATLAB功能進一步擴展。SIMULINK具有相對獨立的功能和使用方法簡便，提供友好的圖形界面，模型由模塊組成的框圖表示，實現(xiàn)了可視化建模，使系統(tǒng)化建模變得非常簡單，仿真過程是交互的，參數(shù)可以隨意的配置并迅速得到修正后的仿真結(jié)果，仿真結(jié)果能進行可視化。基于SIMKLINK仿真這些優(yōu)點，所以運用SIMULINK對系統(tǒng)（3.2）進行仿真。令，此時系統(tǒng)（2.2

22、）為 （3.3）利用SIMULINK建立以（3.3）微分方程為基礎(chǔ)的仿真模型如圖三，從模塊scope得到仿真圖如圖四。圖三圖四從圖四知道，隨著時間的增加，兩個種群都會趨于滅絕，從方程（3.2）我們同樣知道是方程組的解，這說明兩種群最終都會滅絕。而自然界中兩個相互競爭的種群一般不會都滅絕，自然界中常見的情況是，競爭力弱的種群趨于滅亡，而競爭能力強的種群，種群的生物量不斷增加，最終會趨于該種群的環(huán)境容納量。顯然模型（3.2）也不太貼近實際，仍需要對其進行改進。（二）改進的兩種群競爭模型1.模型的建立從模型（3.2）分析中，我們發(fā)現(xiàn)該模型是有缺陷的，需要對它進行改進。為了改進模型的這個缺點，使模型更

23、貼近實際，分別對種群1和種群2的總體的增長率加上修正因子和 ，且和不全為零，以保證兩個種群不會都滅絕，其模型如下： （3.4）2.模型的平衡點分析微分方程組（3.4）難以求得解析解，但是我們主要關(guān)心的是經(jīng)過較長時間后兩個種群的發(fā)展的趨勢，所以我們只對方程組（3.4）的平衡點的穩(wěn)定性進行分析。模型（3.4）相對應(yīng)的自治系統(tǒng)為 （3.5）方程組（3.5）是一個二元二次方程組，我們關(guān)心的是此方程組在什么條件下會有實數(shù)解，即系統(tǒng)（3.5）有平衡點對（3.5）第一個方程變形得 (3.6)將（3.6）帶入（3.4）第二個方程，并化簡得 （3.7）因為都是正常數(shù)，故，方程組（3.5）有解的問題就轉(zhuǎn)化為一元四

24、次方程（3.7）實數(shù)解存在的問題。2.1一元四次方程實根的判別方法此時一元四次方程（3.7）可一般化為 （3.8）為了消去，令，代入（3.8），化簡得 （3.9）其中。對（3.9）配方得 （3.10）設(shè)， , , ，則（3.10）可化為 （3.11）上式是以圓心為，半徑為的圓的方程。由方程（3.10）可知A. 當即，則方程（3.8）必無實根。B. 當即，這時一元四次方程（3.8）解的個數(shù)就轉(zhuǎn)化為圓（3.11）與拋物線交點的個數(shù)。下面分兩種情況討論交點的個數(shù)：當時，設(shè)拋物線上點到點的距離最短，根據(jù)直線與點切線相互垂直，有 （3.12）解方程（3.12）得 （復(fù)根舍去） 那么點到點的距離為由拋物線

25、與圓的圖像特點有以下結(jié)論：a. 當時，拋物線與圓在坐標平面的右半平面沒有交點，方程（3.8）沒有實數(shù)解。b. 當時，拋物線與圓在坐標平面的右半平面有一個交點，方程（3.8）有一個實數(shù)解。c. 當時，拋物線與圓在坐標平面的右半平面有兩個交點，方程（3.8）有兩個實數(shù)解。當時，討論的方法一樣，在這里就不論述了。 3.一類改進的兩個種群相互競爭的數(shù)學(xué)模型 3.1 模型的建立以及穩(wěn)定性分析為了方便研究，我們考慮特殊情況下的平衡點的穩(wěn)定性，即考慮種群1和種群2受食物、環(huán)境等因素影響的密度制約強度相同即，兩個種群的增長率相同即，兩個種群間有效的競爭系數(shù)是相同的即，并假定。系統(tǒng)（3.4）可變?yōu)?（3.13）

26、模型（3.13）相對應(yīng)的自治系統(tǒng)為 （3.14）解方程組（3.14）所得的平衡點為和而對于平衡點，顯然，不符合實際，不考慮它的穩(wěn)定性，只考慮平衡點的穩(wěn)定性。對，做平移變換代入（3.13）得對上式取線性近似系統(tǒng) （3.15）系統(tǒng)（3.15）的特征方程為顯然特征方程的兩個解分別為 所以當時，平衡點不穩(wěn)定所以當時，平衡點穩(wěn)定由以上分析可知，當時，種群1將最終穩(wěn)定于其環(huán)境容納量，種群2最終會滅絕。 3.2 模型的仿真令，此時系統(tǒng)（3.13）為代入數(shù)據(jù)，有平衡點， 那么有 ，故平衡點是穩(wěn)定的。利用SIMULINK建立以上微分方程的仿真模型如圖五，從模塊scope得到仿真結(jié)果如圖六。圖五圖六由圖六知，隨著

27、時間的增加，種群1的數(shù)量無限的接近10，而種群2會趨于滅絕，從中也可以知道平衡點是穩(wěn)定的，可知我們SIMULINK仿真的結(jié)果與結(jié)論是十分吻合的。4.另一類改進的兩個種群相互競爭的數(shù)學(xué)模型4.1 模型的建立以及穩(wěn)定性分析系統(tǒng)（3.8）考慮的是特殊情況，而在自然界中兩個種群相互競爭的關(guān)系是多種多樣的，下面我們來討論更一般的情況。常見的是種群1和種群2受食物、環(huán)境等因素影響的密度制約強度近似相同即，在競爭中占優(yōu)勢的種群增長率會偏大，并且有效的競爭系數(shù)也會偏大，設(shè)種群1的增長率為和有效競爭系數(shù)是，若種群1在競爭中占優(yōu)勢，那么種群2的增長率和有效競爭系數(shù)會比種群1的偏低，故設(shè)種群2的增長率為和有效競爭系

28、數(shù)是，其中.種群1在競爭中占優(yōu)勢，在環(huán)境相對穩(wěn)定的條件下，不會滅絕，所以在種群1總體增長率加上一個修正因子，系統(tǒng)（3.4）可變?yōu)?（3.16）模型（3.16）相對應(yīng)的自治系統(tǒng)為 （3.17）解方程組（3.16）所得的平衡點為和而對于平衡點，顯然，不符合實際，不考慮它的穩(wěn)定性，只考慮平衡點的穩(wěn)定性，對，做平移變換 （3.18）代入（3.16）得 （3.19）對上式取線性近似系統(tǒng) （3.20）系統(tǒng)（3.20）的特征方程為 （3.21）顯然特征方程的兩個解分別為 所以當時，平衡點不穩(wěn)定；所以當時，平衡點穩(wěn)定。由以上分析可知，當時，種群1將最終穩(wěn)定于其環(huán)境容納量，種群2最終會滅絕。 令，此時系統(tǒng)（3.

29、16）為 代入數(shù)據(jù)有，平衡點， 那么，故平衡點是穩(wěn)定的。 4.2 模型的仿真 利用SIMULINK建立以上微分方程的仿真模型如圖七，從模塊scope得到仿真結(jié)果如圖八圖七圖八由圖八知，隨著時間的推移，種群1群體數(shù)無限的接近10，而種群2會趨于滅絕，從圖中可以知道平衡點是穩(wěn)定的。綜上所述，可知我們SIMULINK仿真的結(jié)果與結(jié)論是十分吻合的，從仿真的結(jié)果可以看出改進的兩種群競爭模型更加符合實際，更具有現(xiàn)實意義。參考文獻1肖燕妮，唐三一.單種群生物動力系統(tǒng)M.北京：科學(xué)出版社的.2008，37-402姜啟源等.數(shù)學(xué)模型.北京：高等教育出版社M.2003，12-153毛凱，李日華.種群競爭模型的穩(wěn)定

30、性分析J.生物數(shù)學(xué)報。1999，14（3）.288-2914孫多如.山東大學(xué).生物種群的數(shù)學(xué)模型D.2007，2-5 5王高雄等.常微分方程M.北京：高等教育出版社.1978，256-2636張偉年等.常微分方程M. 北京：高等教育出版社.2004，165-1747馬利兵，林都.基于MATLAB的常微分方程仿真探索J.機械管理開發(fā)期刊.2006，第1期.110-1128顏爾達.用圖像法求一元三次、四次方程的實數(shù)根J.自然科學(xué)報.1996，第1期.56-579蔣長安，孫廣才.生物種群增長模型的研究J.陜西工學(xué)院報.2003，19（4）.42-4310棟祚蕃.關(guān)于一元系數(shù)四次方程根的分布特征J.

31、自然科學(xué)報.1996，3（1）.11-13 內(nèi)部資料請勿外傳9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpRWXmA&UE9aQGn8xp$R#&#849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%

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