1、人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形常見模型總結(jié)要點(diǎn)梳理全等三角形的判定與性質(zhì)一般三角形直角三角形判邊角邊（SAS）角邊角（ASA）E角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性1對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等（其他對(duì)應(yīng)元素也相等，如對(duì)應(yīng)邊上的方高相等）備1判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等主類型一:角平分線模型應(yīng)用1 .角平分性質(zhì)模型：（利用角平分線的性質(zhì)）輔助線：過點(diǎn)G作GE，射線AC例題解析例：（1）如圖1,在ABC中，/C=90,AD平分/CAB,BC=6cm,Bd=4cBD=4cm,那么點(diǎn)D到直線AB的距離是cm.、廣（2）如圖2,已知，/1=/2,/3

2、=/4,求證：AP平分/BAC.圖1圖2【答案】2（提示：作DE!AB交AB于點(diǎn)E）12,PMPN34PNPQPMPQ,PA平分BAC類型二：角平分線模型應(yīng)用2 .角平分線，分兩邊，對(duì)稱全等（截長補(bǔ)短卞造全等）例題解析例1:在ABC中，/BAC=60,ZC=40,AP平分/BAC交BC于P,求證：AB+BP=BQ+AQ證明：如圖（1）,過O作OD/BC交AB于D,/ADO之ABC=180-60-40=80,又/AQOhC+ZQBC=80,/ADO=AQO又./DAO=QAOOA=AO.AD堂AQO.OD=OQAD=AQ又OD/BP,/PBOhDOB又./PBO=DBO/DBO=DOBBD=OD

3、又/BPA=ZC+/PAC=70,/BOP=OBA吆BAO=7O,/BOPhBPOBP=OBAB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ連OR構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（2）,過O作OD/BC交AC于D,則AD8ABOR而得以解決。如圖（“，過。作DE4BC交AB于D,交AC于邑JAaDOAAQO,ABQH也杷。從而得以解決.如圖（4）,過P作PD4BQ交AB的延長線于D,則APDAAPC從而得以解決.如圖（5）,過P作PD/BQ交AC于D,則4AB國ADP從而得以解決。小

4、結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法，體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。例2：如圖所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),試比較PBPC與ABAC的大小，并說明理由.PBPCABAC,理由如下.如圖所示，在AB的延長線上截取AE因?yàn)锳D是BAC的外角平分線，故CAPEAP.在ACP和AEP中，ACAE,CAPEAP,AP公用，因止匕ACPAEP,從而P

5、CPE.在BPE中，PBPEBE,而BEBAAEABAC,故PBPCABAC.例3:在ABC中，ABAC,AD是BAC的平分線.P是AD上任意一點(diǎn).求證：ABACPBPC.在AB上截取AEAC,連結(jié)EP,根據(jù)SAS證得AEPACP,PEPC,AEAC又BEP中，BEPBPE,BEABAC,ABACPBPC類型三：等腰直角三角形模型1、在斜邊上任取一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：（1）WAABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,使ACMABD,從而推出ADM為等腰直角三角形.（但是寫輔助線時(shí)不能這樣寫）（2）過點(diǎn)C作MCLBC,連AM導(dǎo)出上述結(jié)論.2、定點(diǎn)是斜邊中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在兩直角邊上滾動(dòng)的旋轉(zhuǎn)全等：AEB操作過程：連A

6、D.(1) .使BF=AE(AF=CE),導(dǎo)出BDFAADE.(2) .使ZEDF+ZBAC=180,導(dǎo)出BDF0ADE.例題解析例1:兩個(gè)全等的含30,60的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E、AC三點(diǎn)在一條直線上，連接BD取BD得中點(diǎn)M連接MEMC試判斷EMCW形狀，并證明。證明：連接AM,證明MDEMAC.特別注意證明ZMDE=ZMAC.R例2:已知：如圖所示，RtAABC中，AB=ACBAC90,。為BC中點(diǎn)，若MN分別在線段ACAB上移動(dòng)，且在移動(dòng)中保持AN=CM.(1)是判斷OMN勺形狀，并證明你的結(jié)論.(2)當(dāng)MN分別在線段AGAB上移動(dòng)時(shí)，四邊形AMONJ面積如何變化？

7、思路：兩種方法:類型四：三垂直模型(弦圖模型)由ABEABCD導(dǎo)出由ABEABCD導(dǎo)由ABEABCD導(dǎo)出ED=AE-CD出EC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CD例題解析例1:已知：如圖所示，在ABC中，AB=ACBAC90,D為AC中點(diǎn)，AFXBDTE,交BC于F,連接DF。求證：/ADB=/CDF.思路：方法一：過點(diǎn)C作MCLAC交AF的延長線于點(diǎn)M.先證ABDACAM,再證CDFCMF即可.方法二：過點(diǎn)A作AMLBC分別交BDBC于H、M.先證ABHACAF,再證4CDF叁ADH即可.方法三：過點(diǎn)A作AMLBC分別交BD、BC于H、M.先證RtAAMFRtBMH,得出HF/AC.由M

8、、D分別為線段AC、BC的中點(diǎn)，可得MD為ABC的中位線從而推出MD/AB,又由于BAC90,故而mdAC,MDHF,所以MD為線段HF的中垂線.所以/1=/2.再由ZADB+Z1=ZCDF+Z2，則/ADB=/CDF.類型五：手拉手模型1. ABE和ACF均為等邊三角形結(jié)論：（1）.ABFZAEC（2）./BOE=BAE=60（八字模型證明”X3）.OA平分/EOF拓展條件結(jié)論ABC和CDE均為等邊三角形(1)、AD=BE(2)、/ACB=/AOB(3)、PCQ為等邊三角形(4)、PQ/AE、AP=BQ(6)、CO平分/AOE、OA=OB+OC2.AABD和ACE均為等腰直角三角形(8)、O

9、E=OC+OD(7),(8)需構(gòu)造等邊三角形證明)結(jié)論：(1)、BE=CD(2)BEXCD3.ABEF和ACHD均為正方形結(jié)論：(1)、BDXCF(2)、BD=CF四、半角模型,一1條件：一,且+二180,兩邊相等.2思路：1、補(bǔ)短(旋轉(zhuǎn))輔助線：延長CD到E,使EC=BM,連AE或延長CB到F,使FB=CN,連AF將4ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得ABF,注意：旋轉(zhuǎn)需證F、BM三點(diǎn)共線結(jié)論：(1)MN=BM+DN;Ccmn=2AB;(3)AMAN分別平分/BMJ/MND2、翻折(對(duì)稱)輔助線：作APIMN交MN于點(diǎn)P將ADNABM分別沿ANAM翻折，但一定要證明MP、N三點(diǎn)共且滿足MN=BM+例1、在正方形ABCD中，若MN分別在邊BC、CD上