1、第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1 了解極限的概念對極限定義 等形式的描述不作要求。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四那么運(yùn)算法那么。3理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系 會(huì)進(jìn)行無窮小量階的比擬高階、低階、同階和等價(jià)。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求 極限。4熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1 理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān) 系，掌握判斷函數(shù)含分段函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。3掌握在閉區(qū)間上

2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡單命題。4 理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。第二章一元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí)考試要求1 理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)。2. 會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。3熟練掌握導(dǎo)數(shù)的根本公式、四那么運(yùn)算法那么以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對數(shù)求導(dǎo)法。會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。會(huì)求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。6理解微分的概念，掌握微分法那么，了解可微和可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。 第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)考試要求1熟練掌握用洛必達(dá)法那么求芒卞“0 =、

3、“=-=型未定式的極限的方法。2掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法。會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡單的不等式。3理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值、最大值與最小值的方法， 會(huì)解簡單的應(yīng)用題。4會(huì)判斷曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)5 會(huì)求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線第三章一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)不定積分復(fù)習(xí)考試要求1 理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。2 .熟練掌握不定積分的根本公式。3. 熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法僅限三角代換與簡單的根式代換 4熟練掌握不定積分的分部積分法。5.掌握簡單有理函數(shù)不定積分的計(jì)算。第二節(jié)定積分及其應(yīng)

4、用復(fù)習(xí)考試要求1 理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件2 .掌握定積分的根本性質(zhì)3 理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。4 熟練掌握牛頓一萊布尼茨公式。5 .掌握定積分的換元積分法與分部積分法。6理解無窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。7掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成 的旋轉(zhuǎn)體的體積。第四章多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)考試要求1了解多元函數(shù)的概念，會(huì)求二元函數(shù)的定義域。了解二元函數(shù)的幾何意義。2 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。3理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念， 掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。 掌握 二元函數(shù)的二

5、階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)的全微分的求法。4掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。5會(huì)求二元函數(shù)的無條件極值和條件極值。6會(huì)用二元函數(shù)的無條件極值及條件極值解簡單的實(shí)際問題。第五章概率論初步復(fù)習(xí)考試要求1 了解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)的根本特點(diǎn)；理解根本領(lǐng)件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念2. 掌握事件之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對立關(guān)系。3. 理解事件之間并和、交積、差運(yùn)算的意義，掌握其運(yùn)算規(guī)律。4. 理解概率的古典型意義，掌握事件概率的根本性質(zhì)及事件概率的計(jì)算。5. 會(huì)求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨(dú)立性。6 .了解隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)。7理解離散性隨機(jī)變量的

6、意義及其概率分布掌握概率分布的計(jì)算方法。8會(huì)求離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1 了解極限的概念對極限定義-等形式的描述不作要求。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn) 處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四那么運(yùn)算法那么。3理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系 會(huì)進(jìn)行無窮小量階的比擬高階、低階、同階和等價(jià)。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求 極限。4熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。主要知識內(nèi)容一數(shù)列的極限1數(shù)列定義按一定順序排列的無窮多個(gè)數(shù)稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記作Xn，數(shù)列中每一

7、個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)Xn為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如11, 3, 5,，2n-1,等差數(shù)列2詁匕討等比數(shù)列3一白一遞增數(shù)列| 4 i：-i嚴(yán)41, 0, 1, 0,，震蕩數(shù)列都是數(shù)列。它們的一般項(xiàng)分別為2n-1,。對于每一個(gè)正整數(shù)n,都有一個(gè)xn與之對應(yīng)，所以說數(shù)列xn可看作自變量n的函數(shù)xn=f n，它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量n依次取1,2,3一切正整數(shù)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。在幾何上，數(shù)列xn可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1x2,x3,.x1,2數(shù)列的極限定義對于數(shù)列Xn，如果當(dāng)n-時(shí)，滄無限地趨于一個(gè)確定的常數(shù) A，那么稱當(dāng)n趨于 無窮大時(shí)，數(shù)列Xn以常數(shù)A為

8、極限，或稱數(shù)列收斂于A，記作匡：哄卅比方：無限的趨向0d,無限的趨向i1, 3,1, 0,2n-1，否那么，對于數(shù)列Xn,如果當(dāng)時(shí)，Xn不是無限地趨于一個(gè)確定的常數(shù)，稱數(shù)列Xn 沒有極限，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。比方:1, 0,數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項(xiàng)三三依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，假設(shè)數(shù)列Xn 以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，點(diǎn)Xn可以無限靠近點(diǎn)A，即點(diǎn)Xn與點(diǎn)A之間 的距離|x n-A|趨于0。比方：無限的趨向0一.-無限的趨向1二數(shù)列極限的性質(zhì)與運(yùn)算法那么1數(shù)列極限的性質(zhì)定理1.1 :惟一性假設(shè)數(shù)列Xn收斂，那么其極限值必定惟 定理1.2有界性假設(shè)數(shù)列Xn收斂，那

9、么它必定有界。注意：這個(gè)定理反過來不成立，也就是說，有界數(shù)列不一定收斂。比方:1, 0, 1, 0, 有界：0, 12. 數(shù)列極限的存在準(zhǔn)那么定理1.3兩面夾準(zhǔn)那么假設(shè)數(shù)列Xn,y n，z n滿足以下條件：2定理1.4假設(shè)數(shù)列Xn單調(diào)有界，那么它必有極限3 .數(shù)列極限的四那么運(yùn)算定理。定理1.5123如峽輒齊總則料5% 隼"I當(dāng)回嚴(yán)時(shí)，匹亍釜嗚三函數(shù)極限的概念1 .當(dāng) X X0時(shí)函數(shù)f X的極限1當(dāng)X X0時(shí)f X的極限定義對于函數(shù)y=fX，如果當(dāng)X無限地趨于X。時(shí)，函數(shù)f :X無限地趨于一個(gè)常數(shù) A, 那么稱當(dāng)X x0時(shí)，函數(shù)fX的極限是A，記作空蘭二或fx A當(dāng)x x0時(shí)例 y=

10、f X =2x+1 XT 1,f XT ?x<1x T1jr««D 4£L纂Ol艄乳亠1¥2 32.閥2.9S&x>1x T1>-3 2 302 3092-3j2左極限當(dāng)XTx0時(shí)f x的左極限定義對于函數(shù)y=f x，如果當(dāng)x從x0的左邊無限地趨于x0時(shí)，函數(shù)fx無限地趨 于一個(gè)常數(shù)A，那么稱當(dāng)xtXo時(shí)，函數(shù)fx的左極限是A，記作或 f Xo-O=A3右極限 當(dāng)XTx0時(shí)，f X的右極限定義對于函數(shù)y=f x，如果當(dāng)x從x0的右邊無限地趨于x0時(shí)，函數(shù)fx無限地趨 于一個(gè)常數(shù)A，那么稱當(dāng)xtXo時(shí)，函數(shù)fx的右極限是A，記作或

11、 f x0+0=A例子：分段函數(shù)|Mt|釈勺 耳鶯A. o Ex-1 機(jī)解：當(dāng)x從0的左邊無限地趨于0時(shí)fx無限地趨于一個(gè)常數(shù)1。我們稱當(dāng)XT0時(shí), fX的左極限是1,即有當(dāng)X從0的右邊無限地趨于0時(shí),fX無限地趨于一個(gè)常數(shù)-1。我們稱當(dāng)XT0時(shí),X的右極限是-1,即有冊A0 嗨(U顯然，函數(shù)的左極限 3右極限4與函數(shù)的極限出之間有以下關(guān)系: 定理1.6當(dāng)xtX0時(shí)，函數(shù)f x的極限等于A的必要充分條件是反之，如果左、右極限都等于A，那么必有'XT 1 時(shí) f(X)T ?xt 1f(x)T 2i F - i r| - 2對于函數(shù)會(huì)殳心，當(dāng)xt 1時(shí)，fX的左極限是2,右極限也是22當(dāng)x

12、tx時(shí)，函數(shù)f x的極限1當(dāng)xtx時(shí)，函數(shù)fx的極限y=f(x)x tx f(x)T ? y=f(x)=1+XTx f(X)=1 + t 1定義對于函數(shù)y=f x，如果當(dāng)xtx時(shí)，fx無限地趨于一個(gè)常數(shù) A，那么稱當(dāng)xtx 時(shí)，函數(shù)f x的極限是A，記作 m或f Xt A當(dāng)xtx時(shí)2當(dāng)XT + X時(shí)，函數(shù)fX的極限定義對于函數(shù)y=fx，如果當(dāng)xt + x時(shí)，fx無限地趨于一個(gè)常數(shù) A，那么稱當(dāng)xt + X時(shí)，函數(shù)fX的極限是A，記作區(qū)更這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義根本上一樣，數(shù)列極限的定義中nT + x的n是正整數(shù)；而在這個(gè)定義中，那么要明確寫出xt + X,且其中的x不一定是正整數(shù)，而為任意實(shí)數(shù)

13、。 y=f(x)x t + x f(x)xT?XT + X, f(x)=2+ t 2例：函數(shù) fx=2+e-X，當(dāng) xt + x時(shí)，fxt?解：fx=2+e-X=2+ ,XT + X, f X=2+ T 2所以，一3當(dāng)xt-x時(shí)，函數(shù)f x的極限定義對于函數(shù)y=fx，如果當(dāng)xt-x時(shí)，fx無限地趨于一個(gè)常數(shù) A，那么稱當(dāng)xt- x時(shí)，f x的極限是A，記作XT f(X)T?那么 f(x)=2+(xv 0)X X，-X + Xf(x)=2+ ' 2T護(hù)I 例：函數(shù) 解：當(dāng)壬* V,當(dāng) XT-3時(shí)，f XT? XT -3 時(shí)，-XT + 3 球古T 2,即有由上述 XTX, XT + 3,

14、 XT 的極限是A充分必要條件是當(dāng) 例如函數(shù)應(yīng)"L當(dāng)XT-3時(shí)，-3時(shí)，函數(shù)f X極限的定義，不難看出：XT3時(shí)f X XT + 3以及XT - 3時(shí)，函數(shù)f X有相同的極限Af X無限地趨于常數(shù)1,當(dāng)XT + 3時(shí)，f X也無限地 的極限是1,記作XT + 3時(shí)，f X的極限也存在，但這兩 個(gè)極限不相同，我們只能說，當(dāng) xt3時(shí)，y=arctanx的極限不存在。x)=1 +I E (I Iy=arcta nxksi arlaiJF=B 1±3l aelai z2 rH'不存在。但是對函數(shù)y=arctanx來講，因?yàn)橛屑措m然當(dāng)XT-X時(shí)，fX的極限存在，當(dāng)XT +

15、X時(shí)，fX的極限也存在，但這兩 個(gè)極限不相同，我們只能說，當(dāng) xtx時(shí)，y=arctanx的極限不存在。四函數(shù)極限的定理定理1.7惟一性定理如果熬加存在，那么極限值必定惟一。定理1.8兩面夾定理設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)可除外滿足條件：1盹m曲耳，2攔呦弋呦從那么有。注意：上述定理1.7及定理1.8對 也成立 下面我們給出函數(shù)極限的四那么運(yùn)算定理定理1.9如果隙曲“牴期皿那么123Jim E? = slim 取“bmU(i)±= Um /(x)± im g(jt) =A±B上述運(yùn)算法那么可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論:用極限的運(yùn)算法那么求極限時(shí)

16、，必須注意：這些法那么要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存 在，且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運(yùn)算法那么對于的情形也都成立。五無窮小量和無窮大量1.無窮小量簡稱無窮小定義對于函數(shù)二，如果自變量X在某個(gè)變化過程中，函數(shù)習(xí)的極限為零，那么稱在該變 化過程中，2為無窮小量，一般記作 常用希臘字母"日，來表示無窮小量。定理1.10函數(shù) 以A為極限的必要充分條件是： 跟可表示為A與一個(gè)無窮小量之和。亦無知N注意：1無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢無限趨 于為零。2要把無窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開，一個(gè)很小的數(shù)，無論它多么小也不是無窮 小量。3一個(gè)

17、變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關(guān)的。在不同的變化過程 中，同一個(gè)變量可以有不同的變化趨勢，因此結(jié)論也不盡相同。你H如：:-1- .宜 r uLhjt r 】- 振湯型發(fā)散I4越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當(dāng) x越變越大時(shí)，就越變越小，但它不是無窮小量。5無窮小量不是一個(gè)常數(shù)，但數(shù)“ 0是無窮小量中惟一的一個(gè)數(shù)，這是因?yàn)槭蟃。 2無窮大量簡稱無窮大定義；如果當(dāng)自變量三或乂時(shí)，的絕對值可以變得充分大也即無限地增大，那么稱在該變化過程中，了笛為無窮大量。記作譏"5。注意：無窮大不是一個(gè)數(shù)值，“是一個(gè)記號，絕不能寫成一或K。3.無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量與無窮大量

18、之間有一種簡單的關(guān)系，見以下的定理。定理1.11在同一變化過程中，如果 M為無窮大量，那么盒為無窮小量；反之，如果 w為 無窮小量，且口，那么田為無窮大量。當(dāng)八八廠無窮大-哄冷一琵.無窮小當(dāng)為無窮小右卡詔無窮大4 .無窮小量的根本性質(zhì)性質(zhì)1有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)變量與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的 乘積是無窮小量。11JZ.盂 3D = t)T ri ELG A|性質(zhì)3有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5.無窮小量的比擬 定義設(shè)是同一變化過程中的無窮小量，即 區(qū)vUBE1如果 那么稱 是比 較高

19、階的無窮小量，記作沁；2如果那么稱門與 為同階的無窮小量；3如果那么稱匕與為等價(jià)無窮小量，記為二；4如果 那么稱是比習(xí)較低價(jià)的無窮小量。當(dāng)空口i-M» i Ylie r'i * 1宀 ji 4等價(jià)無窮小量代換定理:$ I 口'Ilgf $如果當(dāng)時(shí)一小z,均為無窮小量，又有 |且存在，那么丈號均為無窮小這個(gè)性質(zhì)常常使用在極限運(yùn)算中，它能起到簡化運(yùn)算的作用。但是必須注意：等價(jià)無 窮小量代換可以在極限的乘除運(yùn)算中使用。常用的等價(jià)無窮小量代換有：當(dāng)-時(shí)，sinx x;ta n x;arcta nx x;arcs inx; * 】耳中1 -1 f :六兩個(gè)重要極限令1重要極限I

20、lara 1-» X 3血£ MO JadJ這個(gè)公式很重要，應(yīng)用它可以計(jì)算三角函數(shù)的型的極限問題。XI XI其結(jié)構(gòu)式為：31* T-7 Jlffi缸蚯9I I-:si二 km卄 172 .重要極限H重要極限H是指下面的公式: iim(1+1y* = sBf4 廿JUDt + iC = sJt其中e是個(gè)常數(shù)銀行家常數(shù)，叫自然對數(shù)的底，它的值為其結(jié)構(gòu)式為：Itnt訂十/切旳«重要極限I是屬于 型的未定型式，重要極限H是屬于“型的未定式時(shí)，這兩個(gè)重要極限在極限計(jì)算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。七求極限的方法：1利用極限的四那么運(yùn)算法那么求極限；2利用兩個(gè)重

21、要極限求極限；3利用無窮小量的性質(zhì)求極限；4利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5利用洛必達(dá)法那么求未定式的極限；6利用等價(jià)無窮小代換定理求極限。根本極限公式E Li:m it2噩弓例1.無窮小量的有關(guān)概念19601以下變量在給定變化過程中為無窮小量的是A.Cj : D ：； &A.B. 答C發(fā)散B r -» T - -oc.pH -f20202當(dāng)e時(shí)，刊與x比擬是A.高階的無窮小量B.等價(jià)的無窮小量C. 非等價(jià)的同階無窮小量D.低階的無窮小量答B(yǎng)解:當(dāng),與x是X. *djDl + jG J He -tafl+jftr->D X«n x17極限的運(yùn)算:0611亠-解:li

22、m (jr+1) l+t答案卜1例2.型因式分解約分求極限10208陋；一答 解：1-2 vl-4 it?店+ 押口-劉 1-»7，+ 220621計(jì)算冒答角軍:丄.k3-4 I盟丘互戶i'匸例3J型有理化約分求極限10316計(jì)算inz后虛一 hn、“運(yùn)費(fèi)吵l-Z J】g毎*屜松+J-J疝29516巳匸口 答例4.當(dāng)；y時(shí)求型的極限阿訐_刮麗i+軌R+兩 解:Jh-2-甌*+ 1+7心1：7+、習(xí)知-4)(7佔(zhàn)10308般地，有比+ 務(wù)躊 g - JH I-*如11*1 *百十*"1肝寸虬kiItm Jy = un J 毫 zb 人三;J町丿升珂丄 hra p+2j

23、 3x x-Mt i例5用重要極限I求極限im竺£“血、：*r -1g乂 富L :19603以下極限中，成立的是A歲晳"B豎寧j.X I$UI* .C囲丁 D.爆三I 答B(yǎng),_ Stu口廠20006=応上口_=丄辱幕=11"I 匸嚀百r-*L J-l+例6用重要極限H求極限Liffi嚴(yán)可,ttn +-<.耳平 楓打.dU10416計(jì)算答解析懈一：令汁：KT 吃JrlJ例7用函數(shù)的連續(xù)性求極限0407I 答0了阿= ln(U?)口訂-唱伽)1lai 1uC +Jain 卩+iAC> r-rO _例8用等價(jià)無窮小代換定理求極限,1 gs X0317答0Ml

24、 解:當(dāng)''T t . jSCj iDi. IidSl 0竽禺上nn.込J 4£例9求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限10307設(shè) 二佃+玄吧 那么在的左極限區(qū)叵y'o )=hOj t- hm J詞豆 km i&(l Cl20406設(shè)：0| J.答1解析尸于那么出皿=答1Im G+D-lr-»r.-/(0-0> = /(0+-0)=).lim /(x) s 11 .-*0 I例10求極限的反問題1I 那么常數(shù)解析解法一：，即HZZZI解軍法 :令*4吐44-艸亠岡_ T"1 +(3fIjJ - ffl ，解得F*日1- JF，得-.得

25、解法三：洛必達(dá)法那么巴即蟲2，得:土 1.丿 +<! +&2假設(shè)， 求a,b的值. 解析型未定式. 當(dāng)時(shí)， 令 于是即石亦 即 4代T亠帀=(!-)( 所以，e - HHaJ p q|04020017叮：，貝卩 k=-WM S,得二.答:ln2iim解析頭蘭 jni E-s- Is 2 = 3lfi 2Id.2前面我們講的內(nèi)容：極限的概念；極限的性質(zhì)；極限的運(yùn)算法那么；兩個(gè)重要極限；無窮小量、無窮大量的 概念；無窮小量的性質(zhì)以及無窮小量階的比擬。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1 理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān) 系，掌握判斷函數(shù)含分段函數(shù)在

26、一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。3掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡單命題。4 理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。 主要知識內(nèi)容一函數(shù)連續(xù)的概念1函數(shù)在點(diǎn)Xo處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)y=fx在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量x初值為X。趨近于0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的改變量厶y也趨近于0，即卩那么稱函數(shù)y=fx在點(diǎn)x0處連續(xù)。函數(shù)y=f x在點(diǎn)Xo連續(xù)也可作如下定義：定義2設(shè)函數(shù)y=f x在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)Xix0時(shí)，函數(shù)y=f x 的極限值存在，且等于x0處的函數(shù)值fx0J,即 定義3設(shè)函數(shù)y=fx，如果“：，那么稱函數(shù)fx在點(diǎn)X

27、。處左連續(xù)；如果立 那么稱函數(shù)f x在點(diǎn)x0處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f x在點(diǎn)x0處連續(xù), 那么fx在點(diǎn)X。處左連續(xù)也右連續(xù)。2.函數(shù)在區(qū)間a, b上連續(xù)定義如果函數(shù)fx在閉區(qū)間a, b上的每一點(diǎn)x處都連續(xù)，那么稱fx在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，并稱fx為a, b上的連續(xù)函數(shù)。這里，fx在左端點(diǎn)a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：亙ZZZZS,在右端點(diǎn)b連續(xù)，是指滿足關(guān) 系：hf 即f x在左端點(diǎn)a處是右連續(xù)，在右端點(diǎn)b處是左連續(xù)?？梢宰C明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3函數(shù)的間斷點(diǎn)定義如果函數(shù)f X在點(diǎn)X0處不連續(xù)那么稱點(diǎn)X0為fX一個(gè)間斷點(diǎn)。由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，假設(shè) f X在點(diǎn)X。

28、處有以下三種情況之一：1在點(diǎn)X0處，fX沒有定義；2在點(diǎn)X0處，fX的極限不存在；3雖然在點(diǎn)X0處f X有定義，且存在，但患;兀匸"一氐！那么點(diǎn)X0是fX一個(gè)間斷點(diǎn)。就0w 那么 f X在A.x=0,x=1處都間斷B.x=0,x=1處都連續(xù)C. x=0處間斷，x=1處連續(xù)D. x=0處連續(xù)，x=1處間斷 解：x=0 處，f 0=0伽U凹八gV f 0-0工 f 0+0x=0為fX的間斷點(diǎn) x=1 處，f 1=1U-O| = fin/ti) = lLmr=f 1-0=f 1+0=f 1 fx在x=1處連續(xù)答案C9703段f 丄口，在x=0處連續(xù)，那么k等于A.0 B.- C.-D.2分

29、析：f 0=klinn. 71 rJ«b" -* JC=lun -一 宀1?：上卜44：2) +答案例30209段網(wǎng)抵 丫在x=0處連續(xù)，那么a=解：f 0=e0=1/I 帥 Sitt'i i：yj 1|fr.棗 】10) = Urri ffr)» Lire 心 * x) jt f 0=f 0-0=f 0+0a=1答案1二函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運(yùn)算法那么，可以得到以下連續(xù) 函數(shù)的性質(zhì)。定理1.12 :四那么運(yùn)算設(shè)函數(shù)fx，g X在X。處均連續(xù)，那么1fx± gX在 x0處連續(xù)2fx gx在 x0 處

30、連續(xù)3假設(shè)gX。工0,貝卜在X。處連續(xù)。定理1.13復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù) u=gx在x=x0處連續(xù)，y=fu在u0=gx0J 處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=fgX在 x=X0處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，如果u=gx，在x0處極限存在，又y=f u在對應(yīng)的二M處 連續(xù)，那么極限符號可以與函數(shù)符號交換。即/!燈寓鞏-爾毀打h巧卜打吧 亦'1-nu.i定理1.14反函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù) y=fx在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加或 嚴(yán)格單調(diào)減少，那么它的反函數(shù)x=f-1y也在對應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加或 嚴(yán)格單調(diào)減少。三閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)的函數(shù)fx，有以下幾個(gè)根本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。定理1.15有界性定理如果函數(shù)fx在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，那