1、2022-3-12解排列問題的常用技巧解排列問題的常用技巧 解排列問題，首先必須認真審題，明確問解排列問題，首先必須認真審題，明確問題是否是排列問題，其次是抓住問題的本質題是否是排列問題，其次是抓住問題的本質特征，靈活運用基本原理和公式進行分析解特征，靈活運用基本原理和公式進行分析解答，同時，還要注意講究一些基本策略和方答，同時，還要注意講究一些基本策略和方法技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解。法技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解。 下面就不同的題型介紹幾種常用的解題下面就不同的題型介紹幾種常用的解題技巧。技巧。（一）相鄰問題（一）相鄰問題捆綁法捆綁法 對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將

2、相對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素鄰的元素“捆綁捆綁”在一起，看作一個在一起，看作一個“大大”的元的元（組），與其它元素排列，然后再對相鄰的元素（組）（組），與其它元素排列，然后再對相鄰的元素（組）內(nèi)部進行排列。內(nèi)部進行排列。例例1 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相鄰，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相鄰，分別有多少種站法？分別有多少種站法？分析：先將甲，乙，丙三人捆綁在一起看作一個元素，分析：先將甲，乙，丙三人捆綁在一起看作一個元素，與其余與其余4人共有人共有5個元素做全排列，有個元素做全排列，有 種排法，然后種排法，然后對甲，乙，丙三人進行全排列。對甲，乙，丙三人

3、進行全排列。55A由分步計數(shù)原理可得：由分步計數(shù)原理可得： 種不同排法。種不同排法。5353A A（二）不相鄰問題（二）不相鄰問題插空法插空法 對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其它對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其它元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可。之間及兩端的空隙之間插入即可。例例2 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種站法？分別有多少種站法？分析：可先讓其余分析：可先讓其余4人站好，共有人站好，共有 種排法，再在種排法，再在這這4人之

4、間及兩端的人之間及兩端的5個個“空隙空隙”中選三個位置讓甲、中選三個位置讓甲、乙、丙插入，則有乙、丙插入，則有 種方法，這樣共有種方法，這樣共有 種不種不同的排法。同的排法。44A35A3544AA（1）三個男生，四個女生排成一排，男生、女）三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？生各站一起，有幾種不同方法？3三個男生，四個女生排成一排，三個男生，四個女生排成一排，男生之間、男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？女生之間不相鄰，有幾種不同排法？捆綁法：捆綁法：443322AAA 4433AA 插空法：插空法：2如果有兩個男生、四個女生排成一排，要如果有兩個男生、四個

5、女生排成一排，要 求男求男生之間不相鄰，有幾種不同排法？生之間不相鄰，有幾種不同排法？2544AA 插空法：插空法：練練 習習 1 2：（三）特殊元素的（三）特殊元素的“優(yōu)先安排法優(yōu)先安排法” 對于特殊元素的排列組合問題，一般應先考慮特對于特殊元素的排列組合問題，一般應先考慮特殊元素，再考慮其它元素。殊元素，再考慮其它元素。 例例2 用用0，1，2，3，4這五個數(shù)，組成沒有重復數(shù)字這五個數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于該三位數(shù)是偶數(shù)，所以末尾數(shù)字必須是偶數(shù)，分析：由于該三位數(shù)是偶數(shù)，所以末尾數(shù)字必須是偶數(shù)

6、， 又因為又因為0不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素，應優(yōu)元素，應優(yōu)先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分為兩類；排在末尾和不排在末尾分為兩類；0排在末尾時，有排在末尾時，有 個；個；0不排在末尾時，先用偶數(shù)排個位，再排百位，最后排不排在末尾時，先用偶數(shù)排個位，再排百位，最后排十位有十位有 個；個；由分類計數(shù)原理，共有偶數(shù)由分類計數(shù)原理，共有偶數(shù) 30 個個.2A4111233A A AB （1）0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可組成多少個無重這六個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字的五位數(shù)？復數(shù)字的五位數(shù)？4515AA （2）0，1，2，3，4，5可組成多少個無

7、重復數(shù)可組成多少個無重復數(shù)字的五位奇數(shù)？字的五位奇數(shù)？341413AAA 練練 習習 3例例6 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互不等，將將7名學生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高名學生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？排列，有多少種排法？（四）順序固定問題用（四）順序固定問題用“除法除法” 對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先將對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先將這幾個元素與其它元素一同進行排列，然后用總的這幾個元素與其它元素一同進行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù).所以共有所以

8、共有 種。種。 473377AAA分析：先在分析：先在7個位置上作全排列，有個位置上作全排列，有 種排法。其中種排法。其中3個女生因要求個女生因要求“從矮到高從矮到高”排，只有一種順序故排，只有一種順序故 只只對應一種排法，對應一種排法，33A77A（1） 五人排隊，甲在乙前面的排法有幾種？五人排隊，甲在乙前面的排法有幾種？練練 習習 42三個男生，四個女生排成一排，其中三個男生，四個女生排成一排，其中甲、乙、丙甲、乙、丙三人的順序不變，有幾種不同排法？三人的順序不變，有幾種不同排法？473377AAA分析：若不考慮限制條件，則有分析：若不考慮限制條件，則有 種排法，而甲，種排法，而甲，乙之間

9、排法有乙之間排法有 種，故甲在乙前面的排法只有一種種，故甲在乙前面的排法只有一種符合條件，故符合條件，故符合條件的排法有符合條件的排法有 種種.55A22A5522AA35A即（五）分排問題用（五）分排問題用“直排法直排法” 把把n個元素排成若干排的問題，若沒有其他個元素排成若干排的問題，若沒有其他的特殊要求，可采用統(tǒng)一排成一排的方法來處理的特殊要求，可采用統(tǒng)一排成一排的方法來處理.例例7 七人坐兩排座位，第一排坐七人坐兩排座位，第一排坐3人，第二排坐人，第二排坐4人，則有多少種不同的坐法？人，則有多少種不同的坐法？ 分析：分析：7個人，可以在前后排隨意就坐，再無個人，可以在前后排隨意就坐，再

10、無其他限制條件，故兩排可看作一排處理，所以其他限制條件，故兩排可看作一排處理，所以不同的坐法有不同的坐法有 種種.77A（1）三個男生，四個女生排成兩排，前排三人、）三個男生，四個女生排成兩排，前排三人、后排四人，有幾種不同排法？后排四人，有幾種不同排法？或：七個人可以在前后兩排隨意就坐，再無其他或：七個人可以在前后兩排隨意就坐，再無其他條件，所以條件，所以兩排可看作一排來處理兩排可看作一排來處理不同的坐法有不同的坐法有 種種77A774437AAA （2）八個人排成兩排，有幾種不同排法？八個人排成兩排，有幾種不同排法？88A練練 習習 5 例例3 用用0，1，2，3，4這五個數(shù)，組成沒有重復

11、這五個數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中數(shù)字的三位數(shù)，其中1不在個位的數(shù)共有不在個位的數(shù)共有_種。種。（六）否定問題總體淘汰法（六）否定問題總體淘汰法(剔除法或間接法）剔除法或間接法） 對于含有否定詞語的問題，還可以從總體中把不對于含有否定詞語的問題，還可以從總體中把不符合要求的減去，此時應注意既符合要求的減去，此時應注意既不能多減又不能少減不能多減又不能少減。 分析分析：五個數(shù)組成三位數(shù)的全排列有五個數(shù)組成三位數(shù)的全排列有 個，個，0排在首位的排在首位的有有 個個 ，1排在末尾的有排在末尾的有 ，減掉這兩種不合條件的排，減掉這兩種不合條件的排法數(shù)，再加回百位為法數(shù)，再加回百位為0同時個位為同

12、時個位為1的排列數(shù)的排列數(shù) （為什么？）（為什么？）故共有故共有 種。種。24A24A35A13A392132435AAA或或3913132414AAAA（1）三個男生，四個女生排成一排，甲不）三個男生，四個女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有幾種不同方法？在最左，乙不在最右，有幾種不同方法？5566772AAA （2）五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，）五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙不站第二個位置，那么不同的站法有（乙不站第二個位置，那么不同的站法有（ ） A.120 B.96 C.78 D.72782334455AAA間接4113433378AA A A種直接練練 習習

13、6 （3）0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字這六個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字且個位數(shù)字不是且個位數(shù)字不是4的五位數(shù)？的五位數(shù)？個）(2344556AAA種）(1008) ! 4! 52! 6(2（4）用間接法解例）用間接法解例1“6個同學和個同學和2個老師排成一排個老師排成一排照相，照相， 2個老師站中間，學生甲不站排頭，學生乙不個老師站中間，學生甲不站排頭，學生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？站排尾，共有多少種不同的排法？”（七）實驗法（畫樹行圖）（七）實驗法（畫樹行圖） 題中附加條件增多，直接解決困難時，用實驗逐題中附加條件增多，直接解決困難時，用實驗逐步尋求規(guī)律有時

14、也是行之有效的方法。步尋求規(guī)律有時也是行之有效的方法。 例例8 將數(shù)字將數(shù)字1，2，3，4填入標號為填入標號為1，2，3，4的的四個方格內(nèi)，每個方格填四個方格內(nèi)，每個方格填1個，則每個方格的標號個，則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ）A.6 B.9 C.11 D.23分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，可用實驗法逐步解決?？捎脤嶒灧ㄖ鸩浇鉀Q。第一方格內(nèi)可填第一方格內(nèi)可填2或或3或或4。如填。如填2，則第二方格中內(nèi)可填，則第二方格中內(nèi)可填1或或3或或4。若第二方格內(nèi)

15、填若第二方格內(nèi)填1，則第三方格只能填，則第三方格只能填4，第四方格應填，第四方格應填3。若第二方格內(nèi)填若第二方格內(nèi)填3，則第三方格只能填，則第三方格只能填4，第四方格應填，第四方格應填1。同理，若第二方格內(nèi)填同理，若第二方格內(nèi)填4，則第三方格只能填，則第三方格只能填1，第四方格應，第四方格應填填3。因而，第一格填。因而，第一格填2有有3種方法。種方法。不難得到，當?shù)谝桓裉畈浑y得到，當?shù)谝桓裉?或或4時也各有時也各有3種，所以共有種，所以共有9種。種。（八）特征分析（八）特征分析 研究有約束條件的排數(shù)問題，須要緊扣題目所提研究有約束條件的排數(shù)問題，須要緊扣題目所提供的數(shù)字特征，結構特征，進行推理

16、，分析求解。供的數(shù)字特征，結構特征，進行推理，分析求解。 例例11 由由1，2，3，4，5，6六個數(shù)字可以組成多少六個數(shù)字可以組成多少個無重復且是個無重復且是6的倍數(shù)的五位數(shù)？的倍數(shù)的五位數(shù)？分析數(shù)字特征：分析數(shù)字特征：6的倍數(shù)既是的倍數(shù)既是2的倍數(shù)又是的倍數(shù)又是3的倍數(shù)。的倍數(shù)。其中其中3的倍數(shù)又滿足的倍數(shù)又滿足“各個數(shù)位上的數(shù)字之和是各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的的倍數(shù)倍數(shù)”的特征。把的特征。把6分成分成4組，（組，（1，2，3），（），（6），），（1，5），（），（2，4），每組的數(shù)字和都是），每組的數(shù)字和都是3的倍數(shù)。的倍數(shù)。因此可分成兩類討論；因此可分成兩類討論；第一類：由第一類：由1

17、，2，4，5，6作數(shù)碼；首先從作數(shù)碼；首先從2，4，6中任選一個作個位數(shù)字有中任選一個作個位數(shù)字有 ，然后其余四個，然后其余四個數(shù)在其他數(shù)位上全排列有數(shù)在其他數(shù)位上全排列有 ，所以，所以13A44A14341NA A第二類：由第二類：由1，2，3，4，5作數(shù)碼。依上法有作數(shù)碼。依上法有14242NA A12=+=120()N N故個N（1，2，3），（），（6），（），（1，5），（），（2，4）總的原則總的原則合理分類和準確分步合理分類和準確分步 解排列（或）組合問題，應按元素的性質進行解排列（或）組合問題，應按元素的性質進行分類，事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標準分類，事情的發(fā)生的連續(xù)

18、過程分步，做到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。明確，分步層次清楚，不重不漏。解法解法1 分析：先安排甲，按照要求對其進行分類，分兩類：分析：先安排甲，按照要求對其進行分類，分兩類：根據(jù)分步及分類計數(shù)原理，不同的站法共有根據(jù)分步及分類計數(shù)原理，不同的站法共有例例1 6個同學和個同學和2個老師排成一排照相，個老師排成一排照相， 2個個老師站中間，學生甲不站排頭，學生乙不站排老師站中間，學生甲不站排頭，學生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？尾，共有多少種不同的排法？1）若甲在排尾上，則剩下的）若甲在排尾上，則剩下的5人可自由安排，有人可自由安排，有 種方法種方法.55A若甲在第若甲在第2、3、

19、6、7位，則位，則排尾的排法有排尾的排法有 種，種，1位的排法位的排法有有 種種, 第第2、3、6、7位的排法有位的排法有 種種，根據(jù)分步計數(shù)，根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的站法有原理，不同的站法有 種。種。14A14A44A441414AAA再安排老師，有再安排老師，有2種方法。種方法。.(1008)(244141455種）AAAA解法解法2 見練習見練習3（2）（1）0，1，2，3，4，5可組成多少個無重復數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字的五位偶數(shù)？的五位偶數(shù)？個位數(shù)為零：個位數(shù)為零：個位數(shù)為個位數(shù)為2或或4：45A341412AAA 34141245AAAA 所以所以練練 習習 1（2）0，1，2，

20、3，4，5可組成多少個無重復數(shù)可組成多少個無重復數(shù)字且能被五整除的五位數(shù)？字且能被五整除的五位數(shù)？分類：后兩位數(shù)字為分類：后兩位數(shù)字為5或或0：個位數(shù)為個位數(shù)為0：45A個位數(shù)為個位數(shù)為5：216341445 AAA3414AA （3）0，1，2，3，4，5可組成多少個無重復數(shù)可組成多少個無重復數(shù)字且大于字且大于31250的五位數(shù)？的五位數(shù)？分類：分類：（4）31250是由是由0，1，2，3，4，5組成的無重復組成的無重復數(shù)字的五位數(shù)中從小到大第幾個數(shù)？數(shù)字的五位數(shù)中從小到大第幾個數(shù)？3251231234134512 AAAAAA2753254515 AA27512212233445 AAAA

21、方法一：（排除法）方法一：（排除法）方法二：（直接法）方法二：（直接法）（1）三個男生，四個女生排成一排，甲不能）三個男生，四個女生排成一排，甲不能在中間，也不在兩頭，有幾種不同方法？在中間，也不在兩頭，有幾種不同方法？（2）三個男生，四個女生排成一排，三個男生，四個女生排成一排，甲只能甲只能在中間或兩頭，有幾種不同排法？在中間或兩頭，有幾種不同排法？6614AA 6613AA 找位置：找位置：找位置：找位置：練練 習習 7例例1 1：7 7名師生站成一排表演節(jié)目，其中老師名師生站成一排表演節(jié)目，其中老師1 1人，男生人，男生4 4人，女生人，女生2 2人，在下列情況下，各人，在下列情況下，各

22、有多少種不同的方法？有多少種不同的方法？：兩名女生必須相鄰而站；：兩名女生必須相鄰而站；：4 4名男生互不相鄰；名男生互不相鄰；：若：若4 4名男生身高都不等，按從高到低一種名男生身高都不等，按從高到低一種順序站；順序站；：老師不站中間，女生不站兩端。：老師不站中間，女生不站兩端。6622AA 4433AA 44772AA441424551412AAAAAA例例2 2：七名同學站隊，其中：七名同學站隊，其中4 4名男生，名男生，3 3名女生。名女生。：若甲乙兩位同學必須排在兩端；：若甲乙兩位同學必須排在兩端；：若甲乙不得排在兩端；：若甲乙不得排在兩端；：若男生必須相鄰；：若男生必須相鄰；：若：

23、若3 3名女生互不相鄰；名女生互不相鄰；：若：若4 4名男生互不相鄰；名男生互不相鄰；：若甲乙兩名女生相鄰且不與第三名女生：若甲乙兩名女生相鄰且不與第三名女生相鄰。相鄰。5522AA 5525AA 4444AA 3344AA 3344AA 254422AAA例例3 3：用數(shù)字：用數(shù)字0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5組成無重復數(shù)組成無重復數(shù)字的數(shù)，依下列條件能組成多少個？字的數(shù)，依下列條件能組成多少個？：六位偶數(shù)；：六位偶數(shù)； ：六位奇數(shù)；：六位奇數(shù)；：被：被3 3整除的五位數(shù)；整除的五位數(shù)；：被：被5 5整除的六位整除的六位數(shù)；數(shù)； ：被：被6 6整除的五位數(shù)；整除的五位數(shù)；：比

24、：比102345102345大的自然數(shù)；大的自然數(shù)； ：若把所有的六位數(shù)組成的六位數(shù)按從?。喝舭阉械牧粩?shù)組成的六位數(shù)按從小到大的順序排列，則到大的順序排列，則321045321045是第幾個數(shù)字？是第幾個數(shù)字？ ：求由：求由1 1、2 2、3 3、4 4、5 5構成的所有五位數(shù)構成的所有五位數(shù)之和；之和；例例1: 5個人站成一排個人站成一排.（l）共有多少種不同的排法？）共有多少種不同的排法？（2）其中甲必須站在中間有多少種不同排法？）其中甲必須站在中間有多少種不同排法？（3）其中甲、乙兩人必須相鄰有多少種不同的排法？）其中甲、乙兩人必須相鄰有多少種不同的排法？（4）其中甲、乙兩人不相鄰有

25、多少種不同的排法？）其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？解：（解：（1）由于沒有條件限制，）由于沒有條件限制，5個人可作全排列，有個人可作全排列，有（2）由于甲的位置已確定，其余）由于甲的位置已確定，其余4人可任意排列，有人可任意排列，有55A44A（3）因為甲、乙兩人必須相鄰，可視甲、乙在一起為一個元）因為甲、乙兩人必須相鄰，可視甲、乙在一起為一個元素與其他素與其他3人排列有人排列有 44A而甲、乙又有而甲、乙又有 22A根據(jù)分步計數(shù)原理共有根據(jù)分步計數(shù)原理共有 4242A A48（捆綁法）（捆綁法）（4）甲、乙兩人外的其余）甲、乙兩人外的其余3人先排有人先排有 33A要使甲、乙不相鄰只

26、有排在他們的空檔位置，有要使甲、乙不相鄰只有排在他們的空檔位置，有 24A所以共有所以共有 種排法種排法3234A A72或用（或用（1）（）（3）（間接法）（間接法）（插空法）（插空法）【演練反饋】【演練反饋】1某一天的課程表要排入語文、數(shù)學、英語、物理、體育、某一天的課程表要排入語文、數(shù)學、英語、物理、體育、音樂六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，一音樂六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，一共有多少種不同的排法？共有多少種不同的排法？6546542504AAA51145444504AA A A4名男生和名男生和3名女生站成一排名女生站成一排（2）甲、乙必須站在兩端有多少種站法。）甲、乙必須站在兩端有多少種站法。（1）一共有多少種站法）一共有多少種站法（3）甲、乙不能站在兩端有多少種站法。）甲、乙不能站在兩端有多少種站法。（4）甲不站排頭和排尾有多少種站法）甲不站排頭和排尾有多少種站法。（5）甲只能站排頭或排尾有多少種站法。