1、1利用直角坐標(biāo)系計(jì)算1.1積分區(qū)域?yàn)閄型或Y型區(qū)域時二重積分的計(jì)算對丁一些簡單區(qū)域上的二重積分，可以直接化成二次積分來解決.在直角坐標(biāo)系下，被積分函數(shù)f（x,y）在積分區(qū)域D上連續(xù)時，若D為x型區(qū)域（如圖1），即D其中1（x）,2（x）在a,b上連續(xù)，則有f(x,y)dbdxa2(x)1(x)f(x，y)dy；若D為y型區(qū)域（如圖2）,即D(x,y)|1(y)y2(y),cyd(x,y)1(x)x2(x),axb,(D，其中1(y),2(y)在c,d上連續(xù),則有f(x,y)dD2(y)(y)f(x,y)dx1(2)2計(jì)算dxdy,其中DxD是由x2,yx,及xy1所圍成.分析積分區(qū)域如圖3所示

2、，為x型區(qū)域D=.C1x,y1x2-yxx.確定了積分區(qū)域然后可以利用公式（1）進(jìn)行求解.解積分區(qū)域?yàn)閤型區(qū)域D=x,y12,1xyx圖32ydxdyx2xy21dxi*ly1xx3y3x237dx是簡單的x型或y是可以將復(fù)雜的積f(x,y)dDf(x,y)dD1f(x,y)df(x,y)d(3)D2x2122741612x641.2積分區(qū)域非X型或Y型區(qū)域二重積分的計(jì)算當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)比較容易求出，但積分區(qū)域并不型區(qū)域，不能直接使用公式（1）或者（2）進(jìn)行計(jì)算，這分區(qū)域劃分為若干x型或y型區(qū)域，然后利用公式進(jìn)行計(jì)算,例2計(jì)算二重積分d，其中D為直線y2x,x2y及x3所圍成的區(qū)域.分析：積

3、分區(qū)域D如圖5所示，區(qū)域D既不y型區(qū)域，但是將可D劃分為D1x,y02x均為x型區(qū)D2x,y1x3,2yy和（1）可進(jìn)行計(jì)算.D劃分為D1x,y02x,D2x,y1x3,2yydD1dD21dx02xxdy22dx13xXdy2c12xdx23xdx2這時可根據(jù)被積函數(shù)劃分積分區(qū)域，然后域x1,0y2.接求得，以至丁不能現(xiàn)當(dāng)我們把積分區(qū)域被積函數(shù)在每一個積2。323-x3x-x一o4i21.3被積函數(shù)較為復(fù)雜時二重積分的計(jì)算重積分化為二次定積分后的計(jì)算可以按定積分的求解進(jìn)行，但是當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜，雖然能定出積分限，但被積函數(shù)的原函數(shù)不易求出或根本求不出,例3計(jì)算二重積分Jyx1dxx2，yx

4、2dy|dxdy，其中D為區(qū)D分析由丁被積函數(shù)含有絕對值，其原函數(shù)不能直直接化為二次積分進(jìn)行計(jì)算，觀察函數(shù)本身，不難發(fā)戈U分為D1xy2d2°yx兩部分1x11x1分區(qū)域都可以化為基本函數(shù)，其原函數(shù)很容易求得.解區(qū)域D如圖6可分為D1UD2,其中D1x2y2x1'0yx21x1由公式(3)則Jyx2dxdyVy_x2dxdy/x2xdyDD1D21x21dxoxydy2利用變量變換法計(jì)算定理1設(shè)f(x,y)在有界區(qū)域D上可積，變換T:xxu,v,yyu,v,將u,v平'面按段光滑封閉曲線所圍成的區(qū)域一對一地映成x,y平面上的區(qū)域D,函數(shù)xu,v,yu,v在內(nèi)分別具有一

5、階連續(xù)x.y偏導(dǎo)數(shù)且它們的雅克比行列式Ju,v0,u,v.則u,vf(x,y)dfxu,v,yu,vJu,vdudv(4)D(4)式叫做二重積分的變量變換公式,2.1根據(jù)被積函數(shù)選取新變量使被積函數(shù)簡化當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜，這時可以考慮利用變量變換化被積函數(shù)為簡單函數(shù)，原積分區(qū)域相應(yīng)的轉(zhuǎn)化為新的積分區(qū)域，進(jìn)而利用公式進(jìn)行計(jì)算.Xy例4求exydxdy，其中D是由x0,y0,xy1所圍曲線(圖7)D替換T:uxy,v分析由丁被積函數(shù)含有e的指數(shù)，且較為復(fù)雜，這時可以考慮替換變量，簡化被積函數(shù)，如果做xy.在變換T作用下區(qū)域D的原像如圖8所示，根據(jù)二重積分的變量變換公式,積分計(jì)算就簡單了.解做變換T

6、:1u21u2所以xye%dyD-1evdudv21v-duevdu0v1.edvufx,y,vgx,y且2.2根據(jù)積分區(qū)域選擇新變量計(jì)算二重積分當(dāng)被積函數(shù)比較簡單，積分區(qū)域卻比較復(fù)雜時，可考慮積分區(qū)域，若有mun,v，則把xy平面上的積分區(qū)域D對應(yīng)到uv平面上簡單的矩形區(qū)域，然后根據(jù)二重積分的變量變換公式（4）進(jìn)行計(jì)算.例5求拋物線y2mx,y2nx和直線yx,yx所圍區(qū)域D的面積D.分析D的面積Ddxdy.實(shí)際是計(jì)算二重積分dxdy,其被積函數(shù)很簡單，但是積分區(qū)域DD卻比較復(fù)雜，觀察積分區(qū)域不難發(fā)現(xiàn)222m*n七；j%如果設(shè)u%,v:，則有mun,v,解D的面積DdxdyD作變換所以dxd

7、yD3xdxdy.D:xydyxy分析xT:m,n積分區(qū)域的處理與上題類似,應(yīng)到uv平面上的矩形區(qū)域在變換T作用下，區(qū)域D的原像u,v所以23x3dxdydyxyu,vu.dudvvNC21,xy3,y2.3利用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分dvvnudu=mx,y23x所圍區(qū)域.可以做變量替換u3,1vuvT:uxy,v2匕，它把xy平面上的區(qū)域D對xy2yxu,v13v1.一dudv3v3dvidu1vvuv2ln2.3當(dāng)被積函數(shù)含有fx2/、f或f1形式或積分區(qū)域的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來表示比較x方便，如圓形及圓形區(qū)域的一部分，可考慮用極坐標(biāo)變換xrcosT:.,0,02yrsin這個變換除原點(diǎn)

8、和正實(shí)軸外是一一對應(yīng)的(嚴(yán)格來說極坐標(biāo)變換在原點(diǎn)和正實(shí)軸上不是一對一的,但可以證明公式(1)仍然成立)，其雅可比行列式為r.示為則有(1)如果原點(diǎn)0D,且xy平面上射線常數(shù)與積分區(qū)域D的邊界至多交丁兩點(diǎn)，則必可表rifx,ydxdyDrifrcos,rsinrdr類似地，若xy平面上的圓r常數(shù)與積分區(qū)域D的邊界至多交丁兩點(diǎn)，則必可表小為r,rirr2那么x,ydxdyrdrri2rfrcos,rsindir(6)(2)如果原點(diǎn)。為積分區(qū)域D的內(nèi)點(diǎn)，D的邊界的極坐標(biāo)方程為rr則有r0frcos,rsinrdr(7)2fx,ydxdy0D(3)如果原點(diǎn)。在積分區(qū)域D的邊界上,那么fx,ydxdyd

9、frcos,rsinrdr(8)例7計(jì)算I-p=，其中D為圓域：x2y21分析觀察到積分區(qū)域?yàn)閳A域，被積函數(shù)的形式為f(x2y2),且原點(diǎn)為D的內(nèi)點(diǎn)，故可采用極坐標(biāo)變換T:xrcosyrsin,0,0,可以達(dá)到簡化被積函數(shù)的目的.作變換則有例8計(jì)算二重積分xT:yrcosrsin.1r2dd00ydxdy,其中D是由直線,0,011.rdr02、1r2,y0,y2,以及曲線、.2yy2所圍成D據(jù)極坐標(biāo)變換簡化區(qū)域，Di為半圓區(qū)ydxdy,積分區(qū)域D與DiydxdyydxdyDDD1DydxdyDDi2dxdy4,0故原式D1:0r2sin,-22sinydxdyDirsinrdr8sin4d3

10、2cos2fx,ydxdyDfarcos,brsinabrdrd例9計(jì)算Ic1與Jdxdy,其中d，ab2Dx,y0ybJ1,0xnxaa2cos22.4利用廣義極坐標(biāo)變換計(jì)算一些二重積分與極坐標(biāo)類似，作如下廣義極坐標(biāo)變換:arcos,0brsin,0并且雅可比行歹0式Ju,vabr同樣有分析根據(jù)給出被積函數(shù)和積分區(qū)域的形式，我們可以確定采用廣義極坐標(biāo)變換xarcos,0r1T:,可以達(dá)到簡化積分區(qū)域和被積函數(shù)的目的.ybrsin,02解作廣義極坐標(biāo)變換xarcos,0Ju,vabrT:ybrsin,0由（9）知abc0%DC"奈A1r2dr2y.：2dxdy02dc、1r2abrd

11、rabc63某些特殊函數(shù)的計(jì)算3.1利用積分區(qū)域的對稱性簡化二重積分的計(jì)算如果D可以分為具有某種對稱性（例如關(guān)丁某直線對稱，關(guān)丁某點(diǎn)對稱）的兩部分Di和D2,那么有如果fx,y在Di上各點(diǎn)處的值與其在D2±各對稱點(diǎn)處的值互為相反數(shù)，那么fx,yd0D如果fx,y在Di上各點(diǎn)處的值與其在D2上各對稱點(diǎn)處的值包相等，那么fx,yd2fx,yd2fx,yd3DDiD2例10計(jì)算x2ydxdy,其中D為雙曲線x2y2D1及y0,y1所圍成區(qū)域.分析首先根據(jù)題意，在坐標(biāo)系中劃出積分區(qū)域，觀察到fx,yx2y為x的偶函數(shù)，另一方面D關(guān)丁y軸對稱，且fx,y在D1在D2上各點(diǎn)處的值與其在D2上各對

12、稱點(diǎn)處的值包相等，然后再化為累次積分計(jì)算.解積分區(qū)域如圖11所示：D1為D在第一象限內(nèi)的部分，D關(guān)丁y軸對稱，乂fx,yx2y為x的偶函數(shù)，由對稱性有22xydxdy2xydxdyDD1宜選擇先對x后對y的積分次序故原式22,xydxdy2xydxdyDD112ody°2y2.xydxyO11J15y2'1。W13.2分段函數(shù)和帶絕對值函數(shù)的二重積分計(jì)算分段函數(shù)：首先畫出被被積函數(shù)和積分區(qū)域的圖形，然后根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式將積分區(qū)域劃分成若干個子區(qū)域，是在每個子區(qū)域上的被積函數(shù)的表達(dá)式是唯一的，最后再由性質(zhì)加以討論.被積函數(shù)帶絕對值時，首先去掉絕對值號，同樣也將積分區(qū)域劃分成若干個子區(qū)域，使每個子區(qū)標(biāo)準(zhǔn)文檔域上被積函數(shù)的取值不變號.例11求x2y24dxdy，其中D為x2y29圍成的區(qū)域.D分析被積函數(shù)表達(dá)式含有絕對值，為了去掉絕對值符號，應(yīng)將積分區(qū)域分成使得X2y240及X2y240的兩部分，在兩部分上分別積分后，再相加.解為去絕對值號，將D分成若干個子區(qū)域，即_22_22.Di:xy4D2:4xy9在Di內(nèi)在D2內(nèi)故原式4dxdydxdy4dxdy,DiD2利用極坐標(biāo)計(jì)算有4Didxdyrdr25222,.xy4dxdy232dr4rdr012541故原式8一.22例12求fx,ydxdy,其