1、2019年北京市各區(qū)高三一模試題分類匯編03立體幾何（理科）1 （2019年東城一模理科）,如圖，在三棱推W-EQ7中,RC = DC = AB =如=0期=L平面.出口_平面BCD. 0為班）中點(diǎn)，點(diǎn)F.。分別為線段.4。3（?上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且AP=CQ,則三棱錐F-0c。體積的最大值為 0(B) 41432 （2019年西城一模理科）如圖，設(shè)P為正四面體 A BCD表面（含棱）上與頂點(diǎn)不重合的一點(diǎn)，由點(diǎn) P到四個(gè)頂點(diǎn)的距離組成的集合記為M,如果集合M中有且只有2個(gè)元素，那么符合條件的點(diǎn) P有（C ）(A) 4 個(gè)(B) 6 個(gè)(C) 10 個(gè)(D) 14 個(gè)3 （2019年西城一模

2、理科）已知一個(gè)正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均等于 那么它的側(cè)（左）視圖面積的最小值是_2石.2,它的俯視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為 2的正三角形,4 (2019年海淀一模理科）一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為968 (2019(D) 3主視圖1左視圖年石景山飛麻腳 ）右圖是某個(gè)三棱錐的三視圖，其中主視圖是等邊三角形，左視圖是直角三角形，俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的體積是（A . 6 c,3 c6 c3A.B .C ,D .129 （2019年順義一模理科）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是俯視圖如圖，在四棱錐產(chǎn)中，底面CZ）為矩形，總_L平面.四8(A)5 (20196 (20

3、19年朝陽一模理科）P年朝陽AB / CD , A正方體被一平棱錐的I8M圖如圖所示，則這個(gè)三棱錐的體積為AD =小,F是M中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn).模理科）如圖,在四棱隹s -ABCD側(cè)視圖B 11tAs =3 , C用麗向若點(diǎn)E是線段而正視圖7 （2019年豐臺(tái).4B = PA = 1.中，SB，底面ABCD .底面ABCD為梯形，AB _L AD ,AD上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足/SEC =90的點(diǎn)E的個(gè)數(shù)是 2C-其中一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的體積是（B）理科）棱長(zhǎng)為2的成兩個(gè)幾何體,（1）求證t 平面（2）當(dāng)3X為何值時(shí)，二面角匚-尸E-D為45晨12 （2019年西城一模理科）如

4、圖，在四棱柱ABCDABD 中，底面ABCD和側(cè)面BCC1B都是矩形,E 是 CD 的中點(diǎn)，DECD AB=2BC = 2.D1G（I）求證：BC_LDE；A1B1(n)求證：BQ平面BED1；17 (2019年順義一模理科)如圖在四棱錐 PABCD中，底面 ABCD是菱形，/ BAD = 600 , 平面PAD _L平面ABCD , PA=PD = AD = 2, Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC(出)若平面BCC1B1與平面BED所成的銳二面角的大小為 工3求線段D1 E的長(zhǎng)度.上一點(diǎn)，且13 (2019年海淀一模理科)如圖1,在RtABC中，/ACB=30 ,E ,延長(zhǎng)AE交BC于F,將AAB

5、D沿BD折起，使平面 ABDL平面(I )求證：AEX平面BCD ( D )求二面角 A- DC - B的余弦值./ABC=90, D 為 AC 中點(diǎn)，AE_LBD 于BCD如圖2所示.(I)求證:(n)證明:1 - PM = PC .3PQ_L 平面 ABCD ；PA / 平面 BMQ(m)在線段 AF上是否存在點(diǎn) M使得EM / /平面ADC 明理由.(出)求二面角 M - BQ-C的度數(shù).18 (2019年延慶一模理科)在四棱錐PABCD中，PA_L平面ABCD,?若存在，請(qǐng)指明點(diǎn) M的位置；若不存在，請(qǐng)說的底面為正方形，側(cè)面 PAD_L底面 AB和側(cè)棱PC的中點(diǎn).底面ABCD是正方形，

6、且PA = AD = 2 ,(I)求證：EF 平面PAB ；(n)求證：EF 1平面PBC ；(m)求二面角 E - PC - D的大小.E, F分別是棱AD,PC 的中點(diǎn).14 (2019年朝陽一模理科)如圖，四棱錐 P ABCD 等腰直角三角形，且 PA1AD . E , F分別為底邊(I )求證：EF /平面PAD ;(n )求證： EF _L平面PCD ;(出)求二面角 E -PD -C的余弦值.ABCD . PAD 為C2019年北京市各區(qū)高三一模試題匯編-立體幾何(理科)答案1,64811.【解析】XED1;2. C ; 3. 2y3 ; 4. 96 ; 5. L 2+%/3 ；

7、6-15(2019年豐臺(tái)一模理科)如圖，在棱長(zhǎng)為1的ABCD-A1B1C1D仲，點(diǎn)E是棱 AB上的動(dòng)點(diǎn).(I)求證：DA116 (2019年石景山一模理科)如圖，正三棱柱 2 ,側(cè)棱長(zhǎng)是6, D是AC的中點(diǎn).(I)求證：BC/平面ABD；證明閡為上4 平面4及刀，二平面 ASCD,所以正4_LH，閃為一出足地形， 所以始.因?yàn)?PA n AB = A r所以me平面尸一，囚為.好U平面尸.超，所以,因?yàn)橐?8 = Hi I F是尸H中點(diǎn), 所以一4F _L產(chǎn)百，ABC -AB1GI月為產(chǎn)8|百匚二3 所以“,千而說.解：閃為用_L平面源CZK所以以.4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD.的底面邊長(zhǎng)是坐標(biāo)系，班氏

8、;=仃，則中0 0 ,久志,0, 0).所以應(yīng)二(n)求二面角A1 BD 7的大??；(m)在線段AA1上是否存在一點(diǎn)E , 使得平面B1C1E _L平面ABD ,若存在， 求出AE的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.所以用所聯(lián)(仃一6)牙十_F = 0,6T -二=0.平面PCE的法向量為打=HF所以8加，舞= 2二=r f H 容 g所以仃=也.6所以當(dāng)月E工拽時(shí).二面角產(chǎn)-座-且為4F.6tn DE = 0 tnt PD = 0.0,一乎- -A12 (I)證明：因?yàn)榈酌?ABCD和側(cè)面BCC1B1是矩形,所以所以因?yàn)锽C_LCD, BC_LCC/又因?yàn)?CDAcCi=C,BC _L 平面 DCC1

9、D1 ,D1E 二平面 DCCiDi ,(H)證明：因?yàn)锽B1/DD1,連接DBi交DiB于點(diǎn)F ,連接 在ABiCD中，因?yàn)镈E =CE由平面BCCiB與平面BE)所成的銳二面角的大小為得 |cos； m, n |=所以 BC D1E .BBi =DDi,所以四邊形 DiDBBi是平行四邊形.EF ,則F為DB1的中點(diǎn).,DF = BF ,所以 EFBC.13分14分13(1)因?yàn)槠矫?ABD 1平面BCD ,交線為BD ,所以AE _L平面BCD -又在 AABD 中，AE _L BD 于 E , AE二3分(n )由(I )結(jié)論 AE _L平面BCD可得AE_L EF .由題意可知EF

10、_L BD ,又AE _L BD .如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EF,ED,EA所在直線為x軸，y軸,軸，建立空間直角坐標(biāo)系 E-xyz 4分不妨設(shè) AB = BD = DC = AD = 2 ,則 BE = ED = 1 .由圖1條件計(jì)算得，AE = J3，BC=2j3，BF=3則 E(0,0,0), D(0,1,0), B(0,-1,0), A(0,0, . 3), FDC = (V3,1,0), AD = (0,1,).由AE，平面BCD可知平面DCB的法向量為EA -設(shè)平面ADC的法向量為n= (x,y, z),則平面ABD,0,0), C(. 3,2,0)n DC =0, 即n AD

11、 =0.、3x y = 0,y - , 3z : 0.令 z = 1,則 y = J3,x=1,所以 n= (1,J3, 1匕平面DCB的法向量為 以所以cos| DA1v |2|2 - m| 21所以 I A1 !I =2，所以 _ J2 m|一z =,解得 m=-. | DA1 11V |2, 2 , m2 - 2m 322(出)點(diǎn)E到直線D1C距離的最大值為16 (I)證明：連結(jié) AB1交AB于M 因?yàn)槿庵?ABC-ABiG是正三棱柱, 所以四邊形AABB是矩形，所以所以所以因?yàn)?1n設(shè)平面EPD的法向量為n =(x, y, z),則nuurEP =0, L x 2z =0,uur 所

12、以PD =0.2y _2z=0.uuux =2z, 即y =乙令z=1Un =(2,1,1).由(n)可知平面 PCD的法向量是EF =(0,11)所以u(píng)uu cos n, EF =uuu n EFuuuE PD -C的余弦值為237r76=7 .由圖可知,二面角E14分315.解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則 D(0,0,0),AB(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1),設(shè) E(1,m,0)-PD(1,-C的大小為銳角，所以二面角0, 0),(0w me 1)(I)證明:DAi=(1,0,1), ED1 =(-1,-m,1)DA1 ED1=1 乂

13、(-1)+0 黑(m) +1 父1 =0所以 DA11 ED1.-4(n)設(shè)平面 CED1的一個(gè)法向量為 v = (x, y,z),則v CD1 =0T ，而 CD1 =(0,T,1) , CE=(1,m1,0) v CE =0Y6 ,此時(shí)點(diǎn)E在A點(diǎn)處.14分2,連結(jié) BiC,DM ,C1M為A1B的中點(diǎn).因?yàn)镈是AC的中點(diǎn),MDMDMD是三角形ABC的中位線，/ BC. 3分D -2 B 分二平面A1BD, BC0平面A1BD ,所以BC/平面A1BD .(n )解：作CO _L AB于O ,所以CO _L平面AABA ,所以在正三棱柱 ABC - ABG中如圖建立空間直角坐標(biāo)系 O - x

14、yz .因?yàn)樗运訟B = 2, AA=J3, D 是 AC 的中點(diǎn).A(1,0, 0), B(-1,0, 0), C(0,0,展)，A1(1,73,0)1/3-3.32，。，)，BD=C2，0，1),BA=(2,J3,0) .設(shè) n=(x,y,z)是平面 ABD 的法向量,In BD =0, 所以$0 T 即1n BA1 = 0 ,、2x+J3y = 0,令 xq-T3,則 y = 2, z=3,所以n =(烏 2, 3)是平面A1BD的一個(gè)法向量. AA = (0 , J3 , 0)是平面ABD的一個(gè)法向量,由題意可知所以所以二面角C1O 分A7分T 二71區(qū) 3 1cos=-31A -

15、 BD 一 A的大小為一._、3(出)設(shè) E(1，x，0),則 C1E = (1,。3-x,J3 CBlL1,0, V3) Tn1 CE = 0,設(shè)平面BiCiE的法向量n1 = (x1 , y1 , z1),所以1n C1B1 = 0,1 - x1 + (V3 - x) y1 + 石z1 = 0 , 即x1 - J 3z1 = 0 ,人八676令 zi = V3，則 X = 3, yi = , nl =(3 , j=，J3), 12 分,、3 - x 3 - x又 n1n =0 ,即3J3+ 3 J3 = 0 ,解得 x = 3, , 3-x3所以存在點(diǎn)E,使得平面B1clE _L平面A1B

16、D且AE =立 14分17. f本小題共14分)1)由已知辦=即，。為血的中點(diǎn)，.PQADQ平面 HW_L平面四O 交線一山.FQ仁平面E4白FQ_L平面ABCD.4分PA = AD=2, . E(0,1,0), C(2,2,0), P(0,0,2) , F(1,1,1)設(shè)H是PD的中點(diǎn)，連接 AH AG 1平面PBC ,同理可證 AH,平面PCD，.一Ah是平面pcd的法向量，AH = (0,1,1)9 分EC = (2,1,0)，際=(0,1,2)設(shè)平面 PEC 的法向量 m=(x, y,z),則 m，EC=0, m.EP= 0.2x+y = 0, y+2z=0 令 y=2,則 x=1,

17、z= 1而=(1,2,1)12分、 mAH 3. 3cos = _h =尸二 13分|m|AH |6x22二面角E - PC - D的大小為30 14分(II)連結(jié)/口方=好，連結(jié)加，Q底面且3c。是菱形，刃白/|jV1ACAQ/BC, aANQBCN,工=二,/. - = 3BCNC2ANANPMPMAN1八AC3PC3PCAC3/. MN/ PA ? Q MN 匚平面 BMQ, F 足平面 BMQF0#平面BMQ8分結(jié)BD , Q底面ABCD是菱形，且 /BAD =600 ,|_(二BAD是等邊三角形，,BQ _L AD由(I) PQ _L平面ABCD.PQ _ AD .以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，QA,QB,QP分別為x軸y軸z軸建立空間直角坐標(biāo)系則 Q(0,0,0), A(1,0,0), B(0, 33,0), P(0,0, V3) . -10 分m QB =0設(shè)平面BMQ的法向重為 m=(x, y,z),T,汪息到 MN / PAm MN =0T I- im QB =0T (,解得m =(J3,0,1)是平面BMQ的一個(gè)法向重12分m PA = 0(I)證明：設(shè)G是PB的中點(diǎn)，連接AG,GF1 1. E,F 分