1、三次函數(shù)專(zhuān)題一、定義：定義1、形如yax3bx2cxda0的函數(shù),稱為“三次函數(shù)從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)上命名.22te義2、二次函數(shù)的導(dǎo)致y3ax2bxca0,把4b12ac叫做三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的判別式.由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù),而二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,所以三次函數(shù)的問(wèn)題,已經(jīng)成為高考命題的一個(gè)新的熱點(diǎn)和亮點(diǎn).二、三次函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究：1、單調(diào)性.2一一.一一3.2一般地,當(dāng)b3ac0時(shí),三次函數(shù)yaxbxcxda0在R上是單倜函數(shù)；當(dāng)b23ac.時(shí),三次函數(shù)yax3bx2cxda0在R上有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.根據(jù)a0,a0兩種不同情況進(jìn)行分類(lèi)討論2、對(duì)稱中央.三次函數(shù)fxax3bx2

2、cxda0是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且對(duì)稱中央為點(diǎn)bb,f,此點(diǎn)的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的橫坐標(biāo).3a3a證實(shí)：設(shè)函數(shù)產(chǎn)力=口戶fS肝卜吟g聲0的對(duì)稱中央為nn.按向量一群,一刈將函數(shù)的圖象平移,那么所得函數(shù)刀=/體+僧一內(nèi)是奇函數(shù),所以+溺+/一工+用-2汽=0化簡(jiǎn)得：細(xì)相+的#+&附,卜日駕+d舟=0上式對(duì)丘度恒成立,故筋曰+占=0,得陽(yáng)二一鄉(xiāng)3a用=a#+b屆+二腕+d=/(3a所以,函數(shù)1y/+彳44口r0的對(duì)稱中央是一,一丁.3aJtJ可見(jiàn),y=fx圖象的對(duì)稱中央在導(dǎo)函數(shù)y=.的對(duì)稱軸上,且又是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn),同時(shí)也是二階導(dǎo)為零的點(diǎn).3、三次方程根的問(wèn)題.(1)當(dāng)ndb212ac0時(shí),由于不等

3、式f(x)0恒成立,函數(shù)是單調(diào)遞增的,所以原方程僅有一個(gè)實(shí)根.(2)當(dāng)=4b212ac.時(shí),由于方程f(x)0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1,x2,不妨設(shè)Xix2,可知,(xi,f(xi)為函數(shù)的極大值點(diǎn),(x2,f(x2)為極小值點(diǎn),且函數(shù)yf(x)在(,xi)和(x2,)上單調(diào)遞增,在xi,x2上單調(diào)遞減.此時(shí)：假設(shè)f(xi)f(x2)0,即函數(shù)yf(x)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)在x軸同側(cè),圖象均與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),所以原方程有且只有一個(gè)實(shí)根.假設(shè)f(xjf(x2)0,即函數(shù)yf(x)極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)在x軸異側(cè),圖象與x軸必有三個(gè)交點(diǎn),所以原方程有三個(gè)不等實(shí)根.假設(shè)f(xi)f(x2)0,即f(xi)與

4、f(x2)中有且只有一個(gè)值為0,所以,原方程有三個(gè)實(shí)根,其中兩個(gè)相等.4、極值點(diǎn)問(wèn)題.假設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的附近恒有f(x0)f(x)(或f(x0)=3(耳-2+/)02-代).當(dāng),三(yo,2-Y5)時(shí)/(天)?01/5)在(-8,2-,5)單調(diào)喈加工當(dāng)XE0J5.2+J5)時(shí)工冷0-/5)在(2J5,2+J5：?jiǎn)握{(diào)福少F當(dāng)木e0+J5.+CO)時(shí)0*/5)在(2+4+9)單調(diào)增加；綜上,/(a)的單調(diào)噌區(qū)間是(-8,2-/)和(2十J5,十g)pfM的單調(diào)城區(qū)間是(2-J5,2+收).31)/C力=4041斗當(dāng)I一/二o時(shí),產(chǎn),(界)之o,/(公為精函數(shù),故/.)無(wú)極值點(diǎn)t當(dāng)1片式0時(shí),

5、7(埔=0有兩個(gè)根一金二口一4a?一L啊=q4?_I,由題意知,2(3y/a-1或2m&+J-3,5555二a二一Jo式無(wú)解,式的解為43,因此a的取值范圍是43.例2、函數(shù)f(x)滿足f(x)x3f-x2xC(其中C為常數(shù)).3(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)問(wèn)；(2)假設(shè)方程f(x)0有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,求常數(shù)C;13在2的條件下,假設(shè)f10,求函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的封閉3圖形的面積.解：(1)由f(x)x3f-x2xC,得f(x)3x22f2x1.332取x2,得f23-2f221,解之,得f21,333333f(x)x3x2xC.1從而f(x)3x22x13xx1,3列表如下

6、：x(,3)13(?1)1(1,)f(x)十0一0十f(x)/有極大值有極小值/f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3)和(1,)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是3,1)(2)由(1)知,f(x)極大值27C；f(x)極小值f(1)1方程f(x)0有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,等價(jià)于f(x)極大值0或f(x)極小值0:常數(shù)c3或c1.27或他)x327(3)由(2)知,f(x)0,所以f(x)令f(x)x3x2x10得(x1)2(x1)0,x11,x2所求封閉圖形的面積1dx例3、(恒成立問(wèn)題)函數(shù)f(x)cxd有極值.(1)求c的取值范圍;(2)假設(shè)f(x)在x2處取得極值,且當(dāng)x0時(shí),f(x)1d262d恒成

7、立,求d的取值范圍.解：(1),f(x)12-xcx2f(x)要使f(x)有極值,那么方程f(x)xc0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,從而=14c0,c-.4(2) vf(x)在x2處取得極值,.f(2)42c0,c2.1.19f(x)-x-x2xd,32f(x)x2x2(x2)(x1),當(dāng)x(,1時(shí),f(x)0,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)x(1,2時(shí),f(x)0,函數(shù)單調(diào)遞減.x0時(shí),f(x)在x1處取得最大值7d,6x0時(shí),f(x)1d22d恒成立,671,d-d22d,即(d7)(d1)0,66d7或d1,即d的取值范圍是(,7)U(1,).32例4、(信息遷移題)對(duì)于三次函數(shù)f(x)axbxcxd(a嘰定義：(

8、i)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x).(也叫f(x)一階導(dǎo)數(shù))的導(dǎo)數(shù)f(x)為f(x)的二階導(dǎo)數(shù),假設(shè)方程f(x)0有實(shí)數(shù)解,那么稱點(diǎn)(x0,f(xo)為函數(shù)yf(x)的“拐點(diǎn)；定義：(2)設(shè)x0為常數(shù),假設(shè)定義在r上的函數(shù)yf(x)對(duì)于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x,都有f(xox)w%x)2f(xo)恒成立,那么函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(xo,f(xo)對(duì)稱.32(1)己知f(x)x3x2x2,求函數(shù)f(x)的“拐點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)檢驗(yàn)(1)中的函數(shù)f(x)的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)A對(duì)稱；3,2(3)對(duì)于任意的三次函數(shù)f(x)axbxcxd(ao)寫(xiě)出一個(gè)有關(guān)“拐點(diǎn)的結(jié)論(不必證實(shí)).2 cC/、CC解：(1)

9、依題意,得：f(x)3x6x2,f(x)6x6.由f(x)o,即6x60.x1,又f2,3-2.f(x)x3x2x2的“拐點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2).(2)由(1)知“拐點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2)o而3 232f(1x)f(1x)=(1x)33(1x)22(1x)2(1x)33(1x)22(1x)2=26x266x2444=2f(1)32由定義(2)知：fxx3x2x2關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱.(3)一般地,三次函數(shù)fx3ax,2bxcxd(ao)的“拐點(diǎn)是,f()3a3a,它就是f(x)的對(duì)稱中央.或者：任何一個(gè)三次函數(shù)都有拐點(diǎn)；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中央;任何一個(gè)三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù).例5、(與線性規(guī)

10、劃的交匯問(wèn)題)設(shè)函數(shù)了(大)=/斗由/4do瓦W凡4,其中/=3J是f3的導(dǎo)函數(shù).(1)假設(shè)尸(7)=/=_36,/(5)=0,求函數(shù)/的解析式;(2)假設(shè)匚二一6,函數(shù)/的兩個(gè)極值點(diǎn)為為七滿足1clx22.設(shè)兄二十-6曰十28+10,試求實(shí)數(shù)兄的取值范圍.解：二)：,(I)據(jù)題意,/姐工由J(T)=f(習(xí)=-36知=1是二次函數(shù)尸圖象的對(duì)稱軸又了口,故占=3百=5是方程汽幻口的兩根.設(shè)八正加計(jì)3)05),將1(-1)=-36代入得血=3比擬系數(shù)./(r)=*+中5-5)=3-dr-45故/./-靖-45底3為所求.另解：:,汽口)九.厘3,據(jù)題意得30一2d十右二5627G+6/+0二367

11、5a+10d+心=0解得a=1b=-3c-空故/=#1次一453為所求.據(jù)題意,加蘇工力,那么廣(工3副7卜/中V-段上沁me又9三是方程/a口的兩根,且T(五二1r2口?0/o/W0312-fl03a+2b-6口t!J0那么點(diǎn)9馬的可行區(qū)域如圖二見(jiàn)=g-可工+9+1產(chǎn).見(jiàn)的幾何意義為點(diǎn)P&8)與點(diǎn)卅G-D的距離的平方.觀察圖形知點(diǎn),A到直線3八劫一后=口的距離的平方點(diǎn)為厘的最小值(版?2姆-仔_1$3+尸13故總的取值范圍是例6:(1)函數(shù)f(x)=x3-x,其圖像記為曲線C.ii)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(ii)證實(shí)：假設(shè)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)xi,曲線C與其在點(diǎn)Pi(xi,f(x1)處的切線

12、交于另一點(diǎn)P2(x2,f(x2),曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3(x3,f(x3),線段PiP2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S,3,那么呈為定值;S20),請(qǐng)給出類(lèi)似于(I)(ii)的(2)對(duì)于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a正確命題,并予以證實(shí).解法一：(1)(i)有f(x)=x3-x得f(x)=3x2-1=3(x-)(x+3-3工.3)時(shí),f(x)0;(爭(zhēng)亭時(shí),(x)0.因此,正村的單幅遞堵區(qū)間為.吟,單調(diào)遞減怪問(wèn)為,i口1J(ii)曲線C在點(diǎn)Pi處的切線方程為y=(3xi2-1)(x-xi)+xi3-xi,即y=(3xi2-1)x-2xi3

13、.由得x3-x=(3xi2-1)x-2xi3即(x-xi)2(x+2xi)=0,解得x=xi或x=-2xi,故x2=-2xi.S尸廣(pJ謁謁?心尸I%,*I進(jìn)而有(1z.I用x2代替xi,重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程,可得x3=-2x2和S2=Z7x4.4又x2=-2xi0,所以Sa=27i6xi40,因此有包.4S2i6(2)記函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的圖像為曲線C,類(lèi)似于(I)(ii)的正確命題b為：右對(duì)于任息不等于的頭數(shù)x1,曲線C與其在點(diǎn)P(x1,g(xi)處的切線交于另一3a點(diǎn)心(x2,g(x2),曲線C與其在點(diǎn)B處的切線交于另一點(diǎn)P3(x3,g(x3),線段P1P2、P

14、2P3與曲線C所圍成封閉圖形白面積分別記為Si,S2,那么S為定值.S2證實(shí)如下:由于平移變換不改變面積的大小,故可將曲線y=g(x)的對(duì)稱中央3晨戢3曰平移至標(biāo)原點(diǎn).18而不妨設(shè)式G=3、,且所產(chǎn).類(lèi)WI)(記的計(jì)算可湖導(dǎo)二子呻；,&=牝/5：產(chǎn).,解法(1)同解法一.(2)記函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的圖像為曲線C,類(lèi)似于(1)(ii)的正確命題為：4b右對(duì)于任息不等于的頭數(shù)x1,曲線C與其在點(diǎn)P(x1,g(x1)處的切線交于力一點(diǎn)F23a(x2,g(x2),曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3(x3,g(x3),線段P1P2、P2P3與曲線C所圍成封閉圖形白面積分

15、別記為Si,S2,那么01為定值.S2證實(shí)如下:由虱,三遍4以14d力得名1*?皿、2b,*%所鼠曲線C在點(diǎn)典,烈力處的切囊音程為y=3遍+幼%23：-械十大由網(wǎng)0nCHSly=3a+UXj+cz-2oirifnt+aAX*M或A-Zx,即工i=-2-2l|t故0.(I)假設(shè)a=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程；11(n)假設(shè)在區(qū)間22上,f(x)0恒成立,求a的取值范圍.326、函數(shù)f(x)axxbx(其中常數(shù)a,bCR),g(x)f(x)f(x)是奇函數(shù).(I)求f(x)的表達(dá)式；(n)討論g(x)的單調(diào)性,并求g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值.7、在函數(shù)f(x)

16、mx3x的圖象上以N(1,n)為切點(diǎn)的切線的傾斜角為-,4(1)求m、n的值；(2)是否存在最小的正整數(shù)k,使不等式f(x)k1992對(duì)于x1,3恒成立？求出最小的正整數(shù)k,假設(shè)不存在說(shuō)明理由；一一一1一(3)求證：|f(sinx)f(cosx)|2f(t)(xR,t0).28、函數(shù)f(x)(xa)(a-b)(a,bR,a=由于尸工方一9,二at2十25K十匚-=0的兩個(gè)根分別為工.褊=02&+c-6-=0=m時(shí),又由(*)式得：Sb十匚十i一解得3=-3又由于曲虢r=fG)運(yùn)用點(diǎn),所以3=0故,a)=1-3/+12萬(wàn)(II)由二aa所以工)+為？十十在C-0J+g)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)等價(jià)于/=也：+

17、口3式+Cm0在?-8,+)內(nèi)回成立由(+)2i=9-Stz.c-41aH又A=(2b)1-4ac-9(a-l)fa-9)得bjl,9即的取值范圍1露x3-x2125、【解析】(I)解：當(dāng)a=1時(shí),f(x)=2,f(2)=3;f(x)=3x3x,f(2)=6.所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為y-3=6(x-2),即y=6x-9.2(n)解:f(x)=3ax3x3x(ax1).令(x)=o,解得x=0或x=a.以下分兩種情況討論:12,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:X1,0200,2f(x)+0-f(x)Z極大值15af(-)0,0,2即8工,-時(shí),f(x)

18、0f(-)0,5-0.22等價(jià)于2805a0,811-20.2a,解不等式組得解不等式組得-5a2,那么-2.當(dāng)x變化時(shí),f(x),fx的變化情況如下表:1cf(-二)0,L-222.1f(-)0,時(shí),f(x)0等價(jià)于a即a或6、,22.因此2a5.綜合1和2,可知a的取值范圍為0a=g?+l.v2+9+2*+6用為函數(shù)是奇的JBG所以-=即點(diǎn)HF意實(shí)數(shù)工有雙f+%+-b+工?一工+j=+l.vT*5+2x4-切從ifij%一i=o上=o,解曰曰=-g5=o：qflyG的解析天達(dá)式為sII)由?I知立工)三：一十2工所以g1,)士一一二2.勺g(T)=0,解得二一五./,那么當(dāng)*c盧逋工卞杼力

19、(:)vo.從而在區(qū)間(一口一V.h/F工)后聞函數(shù)：)逝七：時(shí)耳)a0,從而wCO在區(qū)間上是增旃數(shù).由前面討論知I式幻在區(qū)間L2上的最大值與最小值只能在xlKn時(shí)取得,而且=虱小卜半,雙2)二二因此式L|iJ1.2J-E:最大廳.、期向二里,最小捎為第2)=.337、解：(1)f(x)3mx21,f(1)tan1,m-,n43(2)令f(x)2(x2、T)0,貝Ux在1,3中,x1,卻,x)0,f(x)在此區(qū)間為增函數(shù)f(x)0,f(x)在此區(qū)間為減函數(shù)*)在*(處取得極大值.、2x,3Bf(x)0,f(x)在此區(qū)間為增函數(shù),f(x)在x=3處取得極大值.8分2比擬f(三)和f(3)的大小得：f(x)maxf(3)152(無(wú)理由f(3)最大,扣3分)f(x)k1992,k2007,即存在k=