1、第十講第十講 多重共線性多重共線性Multi-CollinearityMulti-Collinearity一、多重共線性的概念一、多重共線性的概念二、多重共線性的后果二、多重共線性的后果三、多重共線性的檢驗三、多重共線性的檢驗四、克服多重共線性的方法四、克服多重共線性的方法五、案例五、案例一、多重共線性的概念一、多重共線性的概念1、多重共線性、多重共線性 對于模型對于模型 ikikiiiXXXY22110（i=1,2,n） 如果某兩個或多個解釋變量之間出現(xiàn)了相關性，如果某兩個或多個解釋變量之間出現(xiàn)了相關性，則稱為則稱為多重共線性多重共線性。其基本假設之一是解釋變量其基本假設之一是解釋變量kXX

2、X,21互相獨立互相獨立。 如果存在如果存在 c1X1i+c2X2i+ckXki=0 i=1,2,n 其中其中: ci不全為不全為0，即某一個解釋變量可以用其它解釋，即某一個解釋變量可以用其它解釋變量的線性組合表示，則稱為解釋變量間存在變量的線性組合表示，則稱為解釋變量間存在完全完全共線性共線性。 如果存在如果存在 c1X1i+c2X2i+ckXki+vi=0 i=1,2,n 其中其中ci不全為不全為0，vi為隨機誤差項，則稱為為隨機誤差項，則稱為一般共線性一般共線性(近似共線性近似共線性)或或交互相關交互相關(intercorrelated)。 在矩陣表示的線性回歸模型在矩陣表示的線性回歸模

3、型 Y=XB+N中，完全共線性意味著：秩中，完全共線性意味著：秩(X)1010，認為，認為x xj j與其余變量共線；與其余變量共線； 平均擴大因子遠遠大于平均擴大因子遠遠大于1 1，認為，認為x xj j與其余變量與其余變量共線；共線； 容忍度：容忍度： TOLTOLj j=1-R=1-R2 2j j (x(xj j的容忍度的容忍度) ) (3)(3)特征根法特征根法 特征根分析：特征根分析： 若（若（XXXX）有多個特征根近似為）有多個特征根近似為0 0，則，則X X就有多個多重貢獻關系；就有多個多重貢獻關系； 條件數(shù)：條件數(shù)： 記記i i為（為（XXXX）的第）的第i i個特征根，個特征

4、根， m m為最大特征根，稱為最大特征根，稱 k ki i= =（ m / m / i i ）為第）為第i i個條件數(shù)個條件數(shù) 若若 0k10(0k10(無共線無共線) )， 10k100(10k100(k100(嚴重共線嚴重共線) )四、克服多重共線性的方法四、克服多重共線性的方法克服多重共線性的方法克服多重共線性的方法:第一類方法：排除引起共線性的變量第一類方法：排除引起共線性的變量第二類方法：差分法第二類方法：差分法第三類方法：減少參數(shù)估計量的方差第三類方法：減少參數(shù)估計量的方差 1 1、第一類方法：排除引起共線性的變量、第一類方法：排除引起共線性的變量 找出引起多重共線性的解釋變量，將

5、它排除出去，是最為找出引起多重共線性的解釋變量，將它排除出去，是最為有效的克服多重共線性問題的方法。有效的克服多重共線性問題的方法。 上述用于檢驗多重共線性的方法，同時就是克服多重共線性問題上述用于檢驗多重共線性的方法，同時就是克服多重共線性問題的方法，其中又以逐步回歸法得到最廣泛的應用。的方法，其中又以逐步回歸法得到最廣泛的應用。 但應注意的是：排除了引起共線性的變量后，剩余解釋變但應注意的是：排除了引起共線性的變量后，剩余解釋變量參數(shù)的經(jīng)濟含義和數(shù)值都發(fā)生了變化。它們不再僅僅反映量參數(shù)的經(jīng)濟含義和數(shù)值都發(fā)生了變化。它們不再僅僅反映自身與被解釋變量的關系，也包含了與它們成線性關系的、自身與被

6、解釋變量的關系，也包含了與它們成線性關系的、被排除的變量對被解釋變量的影響。被排除的變量對被解釋變量的影響。2 2、第二類方法：差分法、第二類方法：差分法 對于以時間序列數(shù)據(jù)為樣本、以直接線性關系對于以時間序列數(shù)據(jù)為樣本、以直接線性關系為模型關系形式的計量經(jīng)濟學模型，將原模型變?yōu)槟Ｐ完P系形式的計量經(jīng)濟學模型，將原模型變換為差分模型換為差分模型 Yi= 1 X1i+ 2 X2i+ k Xki+ i可以有效地消除存在于原模型中的多重共線性?？梢杂行У叵嬖谟谠Ｐ椭械亩嘀毓簿€性。 原因在于原因在于：一般來講，增量之間的線性關系遠一般來講，增量之間的線性關系遠比總量之間的線性關系弱得多。比總量之間

7、的線性關系弱得多。例如：例如：在中國在中國消費模型中的消費模型中的2個變量個變量： 收入(Y：GDP)與消費 C 的總量與增量數(shù)據(jù)YC(-1)C(-1)/YYC(-1)C(-1)/Y1981490129760.60721982548933090.60285883330.56631983607636380.59965873290.56051984716440210.561310883830.35201985879246940.533916286730.413419861013357730.5697144110790.748819871178465420.555216517690.46581988

8、1470474510.506729209090.311319891646693600.5684176219091.083199018320105560.5762185411960.6451199121280113620.533929608060.2723199225864131460.5083458417840.3892199334501159520.4624863728060.3249199447111201820.42841261042300.3354199559405272160.45811229470340.5721199668498345290.5041909373130.8042

9、由表中的比值可以直觀地看到，由表中的比值可以直觀地看到，兩變量增量的兩變量增量的線性關系弱于總量之間的線性關系。線性關系弱于總量之間的線性關系。 進一步分析：進一步分析： Y與與C(-1)之間的判定系數(shù)為之間的判定系數(shù)為0.9845， Y與與C(-1)之間的判定系數(shù)為之間的判定系數(shù)為0.7456。 一般認為：一般認為：兩個變量之間的判定系數(shù)大于兩個變量之間的判定系數(shù)大于0.8時，二者之間存在線性關系。時，二者之間存在線性關系。 所以，原模型經(jīng)檢驗被認為具有多重共線性，所以，原模型經(jīng)檢驗被認為具有多重共線性，而差分模型則可以認為不具有多重共線性。而差分模型則可以認為不具有多重共線性。五、案例一：

10、服裝市場需求函數(shù)五、案例一：服裝市場需求函數(shù)1 1、建立模型、建立模型 根據(jù)理論和經(jīng)驗分析，影響居民服裝類支出根據(jù)理論和經(jīng)驗分析，影響居民服裝類支出Y的主要因素有：可支配收入的主要因素有：可支配收入X、居民流動資產(chǎn)擁、居民流動資產(chǎn)擁有量有量K、服裝價格指數(shù)、服裝價格指數(shù)P1、物價總指數(shù)、物價總指數(shù)P0。 已知某地區(qū)的有關資料，根據(jù)散點圖判斷，建已知某地區(qū)的有關資料，根據(jù)散點圖判斷，建立線性服裝消費支出模型：立線性服裝消費支出模型： Y= 0+ 1X+ 2K+ 3P1+ 4P0+ 2 2、樣本數(shù)據(jù)、樣本數(shù)據(jù) 由于由于R2較大且接近于較大且接近于1，而且，而且 F=638.4，大于臨，大于臨界值：

11、界值：F 0.05(4,5)=15.19，故認為服裝支出與上述解，故認為服裝支出與上述解釋變量間總體線性關系顯著。釋變量間總體線性關系顯著。 但由于變量但由于變量K的參數(shù)估計值的的參數(shù)估計值的t檢驗值較?。ㄎ礄z驗值較小（未能通過檢驗），故能通過檢驗），故解釋變量間存在多重共線性解釋變量間存在多重共線性。3 3、估計模型、估計模型（1）用）用OLS法估計上述模型：法估計上述模型： 4 .6389965. 09980. 0)24. 2()20. 2()30. 0()71. 3()76. 1(334. 0197. 0001. 010. 020.132201FRRPPKXY（2）檢驗簡單相關系數(shù)）檢驗

12、簡單相關系數(shù) 不難看出，各解釋變量間存在高度相關性，其不難看出，各解釋變量間存在高度相關性，其中尤其以中尤其以P1和和P0間的相關系數(shù)為最高。間的相關系數(shù)為最高。列出 X，K，P1，P0 的相關系數(shù)矩陣：XKP1P0X10.9883 0.9804 0.9878K0.988310.9700 0.9695P10.9804 0.970010.9918P00.9878 0.9695 0.99181（3）找出最簡單的回歸形式）找出最簡單的回歸形式 可見，應選可見，應選為為初始的回歸模型初始的回歸模型。分別作 Y 與 X，K，P1，P0 間的回歸： XY118. 024. 1 KY327. 0118. 2

13、 (-3.36) (42.48) (2.58) (15.31)2R=0.9950 F=1805.1 2R=0.9629 F=234.4 1516. 05 .38PY 0663. 07 .53PY (-9.16) (12.53) (-14.77) (18.66)2R=0.9455 F=157.1 2R=0.9747 F=348.1（4 4）逐步回歸）逐步回歸 將其他解釋變量分別導入上述初始回歸模型，尋將其他解釋變量分別導入上述初始回歸模型，尋找最佳回歸方程。找最佳回歸方程。YCXKP1P02RF=f(X)-1.250.120.99501805.1t 值-3.3642.49=f(X,P1)1.53

14、0.13-0.040.9958826.9t0.318.57-0.57=f(X,P1,K)1.060.14-0.04-0.040.9941509.0t0.215.70-0.68-0.53=f(X,P1,P0)-12.450.10-0.190.310.99701003.6t-1.927.55-2.472.59=f(X,P1,P0,K)-13.200.100.01-0.200.330.9965638.4-1.793.710.30-2.202.244 4、討論：、討論： 在初始模型中引入在初始模型中引入P1，模型擬合優(yōu)度提高，且，模型擬合優(yōu)度提高，且參數(shù)符號合理，但參數(shù)符號合理，但P1的的t檢驗未通過

15、；檢驗未通過； 再引入再引入K，擬合優(yōu)度雖有提高，但，擬合優(yōu)度雖有提高，但K與與P1的的t檢檢驗未能通過，且驗未能通過，且X與與P1的的t檢驗值及檢驗值及F檢驗值有所下降，檢驗值有所下降，表明引入表明引入K并未對回歸模型帶來明顯的并未對回歸模型帶來明顯的“好處好處”，K可能是多余的；可能是多余的； 去掉去掉K K，加入，加入P P0 0，擬合優(yōu)度有所提高，且各解釋，擬合優(yōu)度有所提高，且各解釋變量的變量的t t檢驗全部通過，檢驗全部通過，F(xiàn) F值也增大了。值也增大了。 將將4 4個解釋變量全部包括進模型，擬合優(yōu)度未有個解釋變量全部包括進模型，擬合優(yōu)度未有明顯改觀，明顯改觀，K K的的t t檢驗未

16、能通過，檢驗未能通過，K K顯然是多余的。顯然是多余的。 5 5、結論、結論回歸方程以回歸方程以Y=f(X, Y=f(X, P1, , P0) )為最優(yōu)：為最優(yōu)： Y=-12.45+0.10X-0.19Y=-12.45+0.10X-0.19P1 +0.31 +0.31P0五、案例二：中國消費函數(shù)模型五、案例二：中國消費函數(shù)模型1 1、OLSOLS法估計結果法估計結果Dependent Variable: CONS Method: Least Squares Date: 03/01/03 Time: 00:46 Sample: 1981 1996 Included observations: 1

17、6 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 540.5286 84.30153 6.411848 0.0000 GDP 0.480948 0.021861 22.00035 0.0000 CONS1 0.198545 0.047409 4.187969 0.0011 R-squared 0.999773 Mean dependent var 13618.94 Adjusted R-squared 0.999739 S.D. dependent var 11360.47 S.E. of regression 183.6831 Aka

18、ike info criterion 13.43166 Sum squared resid 438613.2 Schwarz criterion 13.57652 Log likelihood -104.4533 F-statistic 28682.51 Durbin-Watson stat 1.450101 Prob(F-statistic) 0.000000 2 2、差分法估計結果、差分法估計結果Dependent Variable: DCONS Method: Least Squares Date: 03/18/03 Time: 23:18 Sample(adjusted): 1982

19、1996 Included observations: 15 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. DGDP 0.496723 0.026879 18.48006 0.0000 DCONS1 0.158504 0.051678 3.067122 0.0090 R-squared 0.992686 Mean dependent var 2457.533 Adjusted R-squared 0.992123 S.D. dependent var 2422.687 S.E. of re

20、gression 215.0169 Akaike info criterion 13.70288 Sum squared resid 601019.5 Schwarz criterion 13.79728 Log likelihood -100.7716 Durbin-Watson stat 2.612102 3 3、比較、比較1：0.480950.496722：0.198540.15850在消除了共線性后，在消除了共線性后，GDP對對CONS的影響增大，的影響增大，CONS1對對CONS的影響減少。的影響減少。 當模型存在共線性，將某個共線性變量去掉，當模型存在共線性，將某個共線性變量去掉，

21、剩余變量的參數(shù)估計結果將發(fā)生變化，而且經(jīng)剩余變量的參數(shù)估計結果將發(fā)生變化，而且經(jīng)濟含義有可能發(fā)生變化；濟含義有可能發(fā)生變化； 嚴格地說，實際模型由于總存在一定程度的共嚴格地說，實際模型由于總存在一定程度的共線性，所以每個參數(shù)估計量并不真正反映對應線性，所以每個參數(shù)估計量并不真正反映對應變量與被解釋變量之間的結構關系。變量與被解釋變量之間的結構關系。模型選擇準則模型選擇準則 1、R2準則 2、調(diào)整的R2準則 3、赤池信息（AIC）準則 4、施瓦茨信息（SIC）準則R R2 2準則準則2/1/RESS TSSRSS TSS 調(diào)整的R2準則22/()111(1)/(1)RSSnknRRTSSnnk

22、準則：該值越大越好！準則：該值越大越好！注意：被解釋變量相同才能比較！注意：被解釋變量相同才能比較！赤池信息（AIC）準則22 /2 /ik nk nuRSSAICeenn準則：該值越小越好！準則：該值越小越好！注意：被解釋變量相同才能比較！注意：被解釋變量相同才能比較！可用于比較一模型樣本內(nèi)或樣本外的預測表現(xiàn)！可用于比較一模型樣本內(nèi)或樣本外的預測表現(xiàn)！2lnln()kRSSAICnn施瓦茨信息（SIC）準則2/ik nk nuRSSSICnnnnlnlnln()kRSSSICnnn準則：該值越小越好！準則：該值越小越好！注意：被解釋變量相同才能比較！注意：被解釋變量相同才能比較！可用于比較一

23、模型樣本內(nèi)或樣本外的預測表現(xiàn)！可用于比較一模型樣本內(nèi)或樣本外的預測表現(xiàn)！Cp統(tǒng)計量其中： -樣本量； -模型中自變量個數(shù)； -1+全回歸模型中個數(shù)（）； -有個自變量的回歸模型的決定系數(shù)； -全回歸模型的決定系數(shù)。如果一個模型和真實模型之間只有隨機差異， 的平均值為 ，而且，數(shù)據(jù)擬合的很好的回歸模型其 值應小于 。因此，在用這個統(tǒng)計量對不同的回歸模型進行評估時，目的往往是為了找到一個模型使其表達式 值為負。npT2pR2TR2)2()1 ()(1 (22pnCTpRTnRppC1ppC1p) 1( pCp 隨機解釋變量隨機解釋變量Random Independent Variable一、一、隨

24、機解釋變量問題隨機解釋變量問題二、隨機解釋變量的后果二、隨機解釋變量的后果三、工具變量法三、工具變量法四、案例四、案例一、一、隨機解釋變量問題隨機解釋變量問題1 1、隨機解釋變量問題、隨機解釋變量問題 單方程線性計量經(jīng)濟學模型的假設之一是：單方程線性計量經(jīng)濟學模型的假設之一是： Cov(Xi, i)=0即解釋變量與隨機項不相關。即解釋變量與隨機項不相關。 違背這一假設的問題被稱為違背這一假設的問題被稱為隨機解釋變量問題隨機解釋變量問題。 這一假設實際上是要求：這一假設實際上是要求： 或者或者X是確定性變量，不是隨機變量；是確定性變量，不是隨機變量； 或者或者X雖是隨機變量，但與隨機誤差項不相關

25、。雖是隨機變量，但與隨機誤差項不相關。2 2、隨機解釋變量問題的三種情況、隨機解釋變量問題的三種情況 對于模型對于模型 Yi= 0+ 1X1i+ 2X2i+ kXki+ i （ i=1,2,n) 為討論方便，假設其中為討論方便，假設其中X2為隨機解釋變量為隨機解釋變量 對于隨機解釋變量問題，又分三種不同情況：對于隨機解釋變量問題，又分三種不同情況： 隨機解釋變量與隨機誤差項不相關，隨機解釋變量與隨機誤差項不相關，即即 E（X2 ）=0 隨機解釋變量與隨機誤差項在小樣本下隨機解釋變量與隨機誤差項在小樣本下相關，在大樣本下漸近無關，相關，在大樣本下漸近無關，即即 在小樣本下 E（X2 ） 0 在大

26、樣本下 P lim（ X2i i/n）=0 或：或： P (lim ( X2i i/n)=0)=1 隨機解釋變量與隨機誤差項高度相關，且隨機解釋變量與隨機誤差項高度相關，且 P lim（ X2i i/n） 02、實際經(jīng)濟問題中的隨機解釋變量問題、實際經(jīng)濟問題中的隨機解釋變量問題 在實際經(jīng)濟問題中，經(jīng)濟變量往往都具有隨機性。在實際經(jīng)濟問題中，經(jīng)濟變量往往都具有隨機性。 但是在單方程計量經(jīng)濟學模型中，凡是外生變量但是在單方程計量經(jīng)濟學模型中，凡是外生變量都被認為是確定性的。都被認為是確定性的。 于是隨機解釋變量問題于是隨機解釋變量問題主要表現(xiàn)于用滯后被解釋主要表現(xiàn)于用滯后被解釋變量作為模型的解釋變

27、量的情況變量作為模型的解釋變量的情況。例如：例如：耐用品存量調(diào)整模型：耐用品存量調(diào)整模型： 耐用品的存量耐用品的存量Qt由前一個時期的存量由前一個時期的存量Qt-1和當期和當期收入收入It共同決定：共同決定： Qt= 0+ 1It+ 2Qt-1+ t t=1,T 這是一個滯后被解釋變量作為解釋變量的模型。這是一個滯后被解釋變量作為解釋變量的模型。 但是，如果模型不存在隨機誤差項的序列相關性，但是，如果模型不存在隨機誤差項的序列相關性，那么隨機解釋變量那么隨機解釋變量Q t-1只與只與 t-1相關，與相關，與 t不相關，不相關，屬于上述的第屬于上述的第1種情況。種情況。合理預期的消費函數(shù)模型合理

28、預期的消費函數(shù)模型 合理預期理論合理預期理論認為消費是由對收入的預期所決定認為消費是由對收入的預期所決定的，或者說消費是有計劃的，而這個計劃是根據(jù)對的，或者說消費是有計劃的，而這個計劃是根據(jù)對收入的預期制定的。于是有：收入的預期制定的。于是有： tettYC10 11101tettYC其中etY表示 t 期收入預期值。 而預期收入與實際收入之間存在差距，表現(xiàn)為： ettetYYY1)1 (該式是由合理預期理論給出的。 在該模型中，作為解釋變量的在該模型中，作為解釋變量的 Ct-1 不僅是不僅是一個隨機解釋變量，而且與模型的隨機誤差項一個隨機解釋變量，而且與模型的隨機誤差項（ t-t-1）高度相

29、關（因為高度相關（因為Ct-1與與 t-1高度相高度相關）。屬于上述第關）。屬于上述第3種情況。種情況。 容易推得： tetttYYC1110)1 ( =ttttCY)()1 (10110 1110)1 ()1 (ttttCY二、隨機解釋變量的后果二、隨機解釋變量的后果1 1、出發(fā)點、出發(fā)點 計量經(jīng)濟學模型一旦出現(xiàn)隨機解釋變量，如果計量經(jīng)濟學模型一旦出現(xiàn)隨機解釋變量，如果仍采用仍采用OLS法估計模型參數(shù)，不同性質(zhì)的隨機解法估計模型參數(shù)，不同性質(zhì)的隨機解釋變量會產(chǎn)生不同的后果。釋變量會產(chǎn)生不同的后果。 對回歸模型對回歸模型 Y=XB+N其 OLS 參數(shù)估計量為： ()()()X XX YX XX

30、X11取期望，有取期望，有 )()()(1XXXXXEE)()(1XXXE 可見，隨機解釋變量帶來什么后果取決于它與可見，隨機解釋變量帶來什么后果取決于它與隨機誤差項是否相關。隨機誤差項是否相關。 2 2、當隨機解釋變量與隨機誤差項不相關時、當隨機解釋變量與隨機誤差項不相關時 這時采用這時采用OLS法估計模型參數(shù)，得到的參數(shù)估法估計模型參數(shù)，得到的參數(shù)估計量仍然是無偏估計量。計量仍然是無偏估計量。 3、當隨機解釋變量與隨機誤差項在小樣本、當隨機解釋變量與隨機誤差項在小樣本下相關，在大樣本下漸近無關時下相關，在大樣本下漸近無關時 這時采用這時采用OLS法估計模型參數(shù)，得到的參數(shù)估法估計模型參數(shù)，

31、得到的參數(shù)估計量在小樣本下是有偏的，在大樣本下具有漸計量在小樣本下是有偏的，在大樣本下具有漸近無偏的。近無偏的。4、當隨機解釋變量與隨機誤差項高度相關時、當隨機解釋變量與隨機誤差項高度相關時 這時采用這時采用OLS法估計模型參數(shù)，得到的參數(shù)估法估計模型參數(shù)，得到的參數(shù)估計量在小樣本下是有偏的，在大樣本下也不具計量在小樣本下是有偏的，在大樣本下也不具有漸近無偏性。有漸近無偏性。 此時此時OLSOLS法失效，需要發(fā)展新的方法估計模型法失效，需要發(fā)展新的方法估計模型。5、當滯后被解釋變量作解釋變量，并且與、當滯后被解釋變量作解釋變量，并且與隨機誤差項相關時隨機誤差項相關時 這時，除了OLS法參數(shù)估計

32、量是有偏的以外，還帶來兩個后果： 模型必然具有隨機誤差項的自相關性模型必然具有隨機誤差項的自相關性。因為該滯后被解釋變量與滯后隨機誤差項相關，又與當期隨機誤差項相關。 D.W.D.W.檢驗失效檢驗失效。因為不管D.W.統(tǒng)計量的數(shù)值是多少，隨機誤差項的自相關性總是存在的。三、工具變量法三、工具變量法 Instrumental Variables Method 1 1、工具變量的選取、工具變量的選取 工具變量工具變量：在模型估計過程中被作為工具使用，在模型估計過程中被作為工具使用，以替代模型中與隨機誤差項相關的隨機解釋變量。以替代模型中與隨機誤差項相關的隨機解釋變量。 選擇為工具變量的變量必須滿足

33、以下條件：選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件： （1）與所替代的隨機解釋變量高度相關；）與所替代的隨機解釋變量高度相關； （2）與隨機誤差項不相關；）與隨機誤差項不相關； （3）與模型中其它解釋變量不相關，以避免出）與模型中其它解釋變量不相關，以避免出現(xiàn)多重共線性?，F(xiàn)多重共線性。2 2、工具變量的應用、工具變量的應用 對于多元線性模型對于多元線性模型Yi= 0+ 1X1i+ 2X2i+ kXki+ i （ i=1,2,n) 用普通最小二乘法估計模型，最后歸結為求解用普通最小二乘法估計模型，最后歸結為求解一個關于參數(shù)估計量的正規(guī)方程組：一個關于參數(shù)估計量的正規(guī)方程組： kikikiikiiik

34、ikiiiiikikiiiikikiiiXXXXXYXXXXXYXXXXXYXXXY)()()()(221102221102122110122110（1） 該正規(guī)方程組是用每個解釋變量分別乘以模型該正規(guī)方程組是用每個解釋變量分別乘以模型的兩邊，并對所有樣本點求和：的兩邊，并對所有樣本點求和： kiikikiikiiiikikiiiiiikikiiiiikikiiiXXXXXYXXXXXYXXXXXYXXXY)()()()(221102221102122110122110（2） 然后再對方程的兩邊求期望：然后再對方程的兩邊求期望： )()()()()()()()(2211022211021221

35、10122110kiikikiikiiiikikiiiiiikikiiiiikikiiiXXXXEXYEXXXXEXYEXXXXEXYEXXXEYE（3） 并利用下列條件得到的：并利用下列條件得到的：kjEkjXEEjjjiii, 2 , 1 , 0,)(, 2 , 1, 0)(0)( 如果如果X2為隨機變量，且與隨機誤差項相關，將導致為隨機變量，且與隨機誤差項相關，將導致從上述（從上述（3）式的第）式的第3個方程無法得到上述（個方程無法得到上述（1）式）式的第的第3個方程，也就無法求得參數(shù)的無偏估計量。個方程，也就無法求得參數(shù)的無偏估計量。kiikikiikiiikikiiiiikikiii

36、iikikiiixxxxxyxxxyxxxxxy)xxx(y)()()(2211022110122110122110iizz 如果按照工具變量的選擇條件選擇如果按照工具變量的選擇條件選擇Z作為作為X2的工具的工具變量。在應該用變量。在應該用X2乘方程兩邊時，不用乘方程兩邊時，不用X2，而用，而用Z，將使上述（將使上述（2）式變?yōu)椋海┦阶優(yōu)椋簁iikikiikiiiikikiiiiiikikiiiiikikiiiXXXXXYZXXXZYXXXXXYXXXY)()()()(2211022110122110122110（4） 請注意，（請注意，（4）式與（）式與（2）式的區(qū)別僅僅在于第）式的區(qū)別僅僅

37、在于第3個方程兩邊的個方程兩邊的“乘數(shù)變量乘數(shù)變量”，原模型中的，原模型中的X2并沒有改變，包括第并沒有改變，包括第3個方程。個方程。 求解該方程組即可得到關于原模型參數(shù)的工具變求解該方程組即可得到關于原模型參數(shù)的工具變量法估計量。量法估計量。 利用工具變量與隨機誤差項不相關的性質(zhì)，即0)(iiZE，得到采用工具變量法的正規(guī)方程組： kikikiikiiikikiiiiikikiiiikikiiiXXXXXYZXXXZYXXXXXYXXXY)()()()(2211022110122110122110（5） 對于矩陣形式：對于矩陣形式： Y=XB+N 采用工具變量法（假設2X與隨機項相關，用工具

38、變量Z替代）得到的正規(guī)方程組為： Z YZ X 通常，對于沒有選擇另外的變量作為工具變量的通常，對于沒有選擇另外的變量作為工具變量的解釋變量，可以認為用自身作為工具變量。于是解釋變量，可以認為用自身作為工具變量。于是Z被被稱為稱為工具變量矩陣工具變量矩陣。參數(shù)估計量為： () Z XZ Y1其中 Z111111211212xxxzzzxxxnnkkknEE()() Z XZ Y1()()()Z XZXZ1EE其中利用了工具變量與隨機誤差項不相關。其中利用了工具變量與隨機誤差項不相關。 3 3、工具變量法估計量是無偏估計量、工具變量法估計量是無偏估計量對YZXZ1)(取期望： 4 4、幾點注解、幾點注解 工具變量并沒有替代模型中的解釋變量工具變量并沒有替代模型中的解釋變量，只是在估計過程中作為只是在估計過程中作為“工具工具”被使用。被使用。 如果模型中有兩個以上的隨機解釋變量如果模型中有兩個以上的隨機解釋變量與隨機誤差項相關，就必須找到兩個以與隨機誤差項相關，就必須找到兩個以上的工具變量。但是，上的工具變量。但是，一旦工具變量選一旦工具變量選定，它們在估計過程被使用的次序不影定，它們在估計過程被使用的次序不影響估計結果。響估計結果。為什么？為什么？ OLS可以看作工具變量法的一種特殊情可以看作工具變量