1、第五節(jié) 定積分的應(yīng)用教學(xué)目的：使學(xué)生理解定積分的元素法；熟練掌握直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積的計(jì)算方法。教學(xué)重點(diǎn)：平面圖形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積的計(jì)算方法。 定積分的元素法 再看曲邊梯形的面積:設(shè)y=f (x)³0 (xÎa,b). 如果說積分,是以a,b為底的曲邊梯形的面積, 則積分上限函數(shù)就是以a,x為底的曲邊梯形的面積. 而微分dA(x)=f (x)dx表示點(diǎn)x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值DA»f (x)dx, f (x)dx稱為曲邊梯形的面積元素. 以a,b為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達(dá)式, 以a,b為積分區(qū)間

2、的定積分:. 一般情況下, 為求某一量U,先將此量分布在某一區(qū)間a,b上, 分布在a,x上的量用函數(shù)U(x)表示, 再求這一量的元素dU(x), 設(shè)dU(x)=u(x)dx, 然后以u(x)dx為被積表達(dá)式, 以a,b為積分區(qū)間求定積分即得. 用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法).定積分在幾何上的應(yīng)用一、平面圖形的面積 1直角坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形由上下兩條曲線y=f上(x)與y=f下(x)及左右兩條直線x=a與x=b所圍成, 則面積元素為f上(x)- f下(x)dx, 于是平面圖形的面積為. 類似地, 由左右兩條曲線x=j左(y)與x=j右(y)及上下兩條直線y=d與y=c所圍成設(shè)平

3、面圖形的面積為. 例1計(jì)算拋物線y2=x、y=x2所圍成的圖形的面積.解 (1)畫圖. (2)確定在x軸上的投影區(qū)間: 0, 1.(3)確定上下曲線: .(4)計(jì)算積分. 例2計(jì)算拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的圖形的面積.解 (1)畫圖. (2)確定在y軸上的投影區(qū)間: -2, 4.(3)確定左右曲線: .(4)計(jì)算積分.例3求橢圓所圍成的圖形的面積.解設(shè)整個(gè)橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍, 橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影區(qū)間為0,a. 因?yàn)槊娣e元素為ydx,所以.橢圓的參數(shù)方程為:x=a cos t,y=b sin t,于是.2極坐標(biāo)情形曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素:由曲

4、線r=j(q)及射線q=a,q=b圍成的圖形稱為曲邊扇形. 曲邊扇形的面積元素為.曲邊扇形的面積為.例4. 計(jì)算阿基米德螺線r=aq (a >0)上相應(yīng)于q從0變到2p的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.解: . 例5. 計(jì)算心形線r=a(1+cosq) (a>0) 所圍成的圖形的面積.解: .二、體 積1旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸. 常見的旋轉(zhuǎn)體: 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體. 旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y=f (x)、直線x=a、a=b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 設(shè)過區(qū)間a,b內(nèi)點(diǎn)x 且垂直

5、于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V (x), 當(dāng)平面左右平移dx后, 體積的增量近似為DV=pf (x)2dx,于是體積元素為dV=pf (x)2dx, 旋轉(zhuǎn)體的體積為.例1 連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h,r)的直線、直線x=h及x軸圍成一個(gè)直角三角形. 將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體. 計(jì)算這圓錐體的體積.解: 直角三角形斜邊的直線方程為.所求圓錐體的體積為.例2.計(jì)算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積.解: 這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個(gè)橢圓及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體. 體積元素為dV=py 2dx,于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為.例3 計(jì)算由

6、擺線x=a(t-sin t),y=a(1-cos t)的一拱, 直線y=0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為=5p 2a 3.所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積的差. 設(shè)曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y). 則=6p 3a 3. 2平行截面面積為已知的立體的體積 設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為a,b, 過點(diǎn)x 且垂直于x軸的平面與立體相截, 截面面積為A(x), 則體積元素為A(x)dx, 立體的體積為.例4 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心, 并與底面交成角a. 計(jì)算這平面截圓柱所得立體的體積. 解:

7、取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸, 底面上過圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸. 那么底圓的方程為x 2+y 2=R 2. 立體中過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面是一個(gè)直角三角形. 兩個(gè)直角邊分別為及. 因而截面積為. 于是所求的立體體積為.例5. 求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積. 解: 取底圓所在的平面為xOy平面, 圓心為原點(diǎn), 并使x軸與正劈錐的頂平行. 底圓的方程為x 2+y 2=R 2. 過x軸上的點(diǎn)x(-R<x<R)作垂直于x軸的平面, 截正劈錐體得等腰三角形. 這截面的面積為.于是所求正劈錐體的體積為 .三、平面曲線的弧長設(shè)A,B

8、是曲線弧上的兩個(gè)端點(diǎn). 在弧AB上任取分點(diǎn)A=M0,M1,M2,×××,Mi-1,Mi,×××,Mn-1,Mn=B, 并依次連接相鄰的分點(diǎn)得一內(nèi)接折線. 當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無限增加且每個(gè)小段Mi-1Mi都縮向一點(diǎn)時(shí), 如果此折線的長的極限存在, 則稱此極限為曲線弧AB的弧長, 并稱此曲線弧AB是可求長的.定理 光滑曲線弧是可求長的.1直角坐標(biāo)情形 設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程y=f(x) (a£x£b)給出, 其中f(x)在區(qū)間a,b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù). 現(xiàn)在來計(jì)算這曲線弧的長度. 取橫坐標(biāo)x為積分變量, 它的變化區(qū)間為a,b

9、. 曲線y=f(x)上相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間x,x+dx的一段弧的長度, 可以用該曲線在點(diǎn)(x,f(x)處的切線上相應(yīng)的一小段的長度來近似代替. 而切線上這相應(yīng)的小段的長度為,從而得弧長元素(即弧微分).以為被積表達(dá)式, 在閉區(qū)間a,b上作定積分, 便得所求的弧長為. 在曲率一節(jié)中, 我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為, 這也就是弧長元素. 因此例1. 計(jì)算曲線上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長度. 解:, 從而弧長元素.因此, 所求弧長為. 例2. 計(jì)算懸鏈線上介于x=-b與x=b之間一段弧的長度. 解:, 從而弧長元素為.因此, 所求弧長為.2參數(shù)方程情形 設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x=j(t)、y=y(t) (a£t£b )給出, 其中j(t)、y(t)在a,b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).因?yàn)?dx=j¢(t)dt, 所以弧長元素為.所求弧長為.例3. 計(jì)算擺線x=a(q-sinq),y=a(1-cosq)的一拱(0 £q£2p )的長度. 解: 弧長元素為.所求弧長為=8a.3極坐標(biāo)情形 設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程r=r(q) (a£q£b )給