1、第1講函數(shù)及其表示【高考會這樣考】1主要考查函數(shù)的定義域、值域、解析式的求法2考查分段函數(shù)的簡單應(yīng)用3由于函數(shù)的基礎(chǔ)性強(qiáng)，滲透面廣，所以會與其他知識結(jié)合考查【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】正確理解函數(shù)的概念是學(xué)好函數(shù)的關(guān)鍵，函數(shù)的概念比較抽象，應(yīng)通過適量練習(xí)彌補(bǔ)理解的缺陷，糾正理解上的錯(cuò)誤本講復(fù)習(xí)還應(yīng)掌握：(1)求函數(shù)的定義域的方法；(2)求函數(shù)解析式的基本方法；(3)分段函數(shù)及其應(yīng)用基礎(chǔ)梳理1函數(shù)的基本概念(1)函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：yf(x)，xA

2、.(2)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，x叫自變量，x的取值范圍A叫做定義域，與x的值對應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫值域值域是集合B的子集(3)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系(4)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等；這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)2函數(shù)的三種表示方法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法、圖象法3映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射 一個(gè)方法求復(fù)合函數(shù)yf(t)，

3、tq(x)的定義域的方法：若yf(t)的定義域?yàn)?a，b)，則解不等式得aq(x)b即可求出yf(q(x)的定義域；若yf(g(x)的定義域?yàn)?a，b)，則求出g(x)的值域即為f(t)的定義域兩個(gè)防范(1)解決函數(shù)問題，必須優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域(2)用換元法解題時(shí)，應(yīng)注意換元前后的等價(jià)性 三個(gè)要素函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系值域是由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系所確定的兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致時(shí)，則認(rèn)為兩個(gè)函數(shù)相等函數(shù)是特殊的映射，映射f：AB的三要素是兩個(gè)集合A、B和對應(yīng)關(guān)系f.雙基自測1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,5，在同一直角坐標(biāo)系下，函數(shù)yf(x)的圖象與直線x1的交點(diǎn)

4、個(gè)數(shù)為()A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D0個(gè)或1個(gè)解析：f(x)的定義域?yàn)?,5，而11,5點(diǎn)(1，f(1)在函數(shù)yf(x)的圖象上而點(diǎn)(1，f(1)又在直線x1上直線x1與函數(shù)yf(x)的圖象必有一個(gè)交點(diǎn)(1，f(1)根據(jù)函數(shù)的定義知，函數(shù)是一個(gè)特殊的映射，即對于定義域1,5中的任何一個(gè)元素，在其值域中有唯一確定的元素f(1)與之對應(yīng)，故直線x1與yf(x)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)選B.2、下列對應(yīng)是否為從A到B的映射？能否構(gòu)成函數(shù)？ 。（4），B=R f:x答案：不，不；是，是；是，不；不，不。3下列各對函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()Af(x)lg x2，g(x)2lg xBf(x)lg，g(x)

5、lg(x1)lg(x1)Cf(u) ，g(v) Df(x)()2，g(x)答案C4(2010·陜西)某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)yx(x表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()AyByCyDy解析根據(jù)規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表，即余數(shù)分別為7、8、9時(shí)可增選一名代表因此利用取整函數(shù)可表示為y.故選B.答案B5函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示那么，f(x)的定義域是_；值域是_；其中只與x的一個(gè)值對應(yīng)的y值的

6、范圍是_解析任作直線xa，當(dāng)a不在函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)時(shí)，直線xa與函數(shù)yf(x)圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)a在函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)時(shí)，直線xa與函數(shù)yf(x)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)任作直線yb，當(dāng)直線yb與函數(shù)yf(x)的圖象有交點(diǎn)，則b在函數(shù)yf(x)的值域內(nèi)；當(dāng)直線yb與函數(shù)yf(x)的圖象沒有交點(diǎn)，則b不在函數(shù)yf(x)的值域內(nèi)答案3,02,31,51,2)(4,5考向一求函數(shù)的定義域【例1】（1）求下列函數(shù)的定義域：的定義域（2）已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域（3）已知函數(shù)f(2x）的定義域是-1，1，求f(log2x)的定義域. 解：由函數(shù)解析式有意義，得故函數(shù)的定義域是 (2）由

7、函數(shù)的定義域不可能為空集， 必有，即此時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?2)y=f(2x)的定義域是-1，1，即-1x1,2x2.函數(shù)y=f(log2x)中l(wèi)og2x2.即log2log2xlog24,x4.故函數(shù)f(log2x)的定義域?yàn)椋? 求函數(shù)定義域的主要依據(jù)是(1)分式的分母不能為零；(2)偶次方根的被開方式其值非負(fù)；(3)對數(shù)式中真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1.【訓(xùn)練1】【2012高考真題江西理2】下列函數(shù)中，與函數(shù)定義域相同的函數(shù)為A B. C.y=xex D.【答案】D【命題立意】本題考查函數(shù)的概念和函數(shù)的性質(zhì)定義域。【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?。的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋?/p>

8、以定義域相同的是D,選D.考向二求函數(shù)的解析式【例2】(1)已知flg x，求f(x)；(2)定義在(1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)f(x)lg(x1)，求函數(shù)f(x)的解析式審題視點(diǎn) (1)用代換法求解；(2)構(gòu)造方程組求解解(1)令t1，則x，f(t)lg ，即f(x)lg .(2)x(1,1)時(shí)，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代x得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1) 求函數(shù)解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)換元法；(3)待定系數(shù)法；(4)解函數(shù)方程等【訓(xùn)練2】 (1)已知f(x)是二次函數(shù)，若f(0)0，且f

9、(x1)f(x)x1，試求f(x)的表達(dá)式(2)已知f(x)2f()2x1，求f(x)解(1)由題意可設(shè)f(x)ax2bx(a0)，則a(x1)2b(x1)ax2bxx1ax2(2ab)xabax2(b1)x1解得a，b.因此f(x)x2x.(2)由已知得消去f，得f(x).考向三分段函數(shù)【例3】(2011·遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x)2的x的取值范圍是()A1,2 B0,2 C1，) D0，)審題視點(diǎn) 對于分段函數(shù)應(yīng)分段求解，最后再求其并集解析f(x)2或0x1或x1，故選D.答案D 分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型解決分段函數(shù)問題，關(guān)鍵抓住在不同的段內(nèi)研究問題，如本例中，需分x

10、1和x1時(shí)分別解得x的范圍，再求其并集【訓(xùn)練3】(2011·江蘇)已知實(shí)數(shù)a0，函數(shù)f(x)若f(1a)f(1a)，則a的值為_解析分類討論：(1)當(dāng)a0時(shí)，1a1,1a1.這時(shí)f(1a)2(1a)a2a；f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)，得2a13a，解得a，不符合題意，舍去(2)當(dāng)a0時(shí)，1a1,1a1，這時(shí)f(1a)(1a)2a1a；f(1a)2(1a)a23a，由f(1a)f(1a)，得1a23a，解得a.綜合(1)，(2)知a的值為.答案閱卷報(bào)告1忽視函數(shù)的定義域【問題診斷】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的定義域如果是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)該根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)同增異減的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間由于思維定勢的原因，考生容易忽視定義域，導(dǎo)致錯(cuò)誤【防范措施】研究函數(shù)的任何問題時(shí)，把求函數(shù)的定義域放在首位，即遵循“定義域優(yōu)先”的原則【示例】 求函數(shù)ylog(x23x)的單調(diào)區(qū)間錯(cuò)因忽視函數(shù)的定義域，把函數(shù)ylogt的定義域誤認(rèn)為R導(dǎo)致出錯(cuò)實(shí)錄設(shè)tx23x.函數(shù)t的對稱軸為直線x，故t在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增函數(shù)ylog(x23x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.正解設(shè)tx23x