1、第1頁共 19 頁2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(全國I卷)注意事項：1本試卷分第 I卷(選擇題)和第 U卷(非選擇題)兩部分.第 I卷 1 至 3 頁, 第 U卷 3 至 5 頁.2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置.3. 全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.4. 考試結束后，將本試題和答題卡一并交回選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四 個選項中，只有一項是符合題目要求的1設復數(shù) z 滿足1 =i，則|z|=()1 z(A) 1(B)2(C)3(D) 22.sin20cos10cos160osin 10o

2、=:()(A)(B)1(C)丄(D)-22223 .設命題 p :n N,n22n，則P為()(A)n N,n22n(B)nN, n22n(C)n N,n22n(D)nN,n2=2n4.投籃測試中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通過測試。已知某同學每 次投籃投中的概率為 0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測 試的概率為()(A) 0.648(B) 0.432(C) 0.36(D) 0.31225已知M( x0,y0)是雙曲線C: y21上的一點，F(xiàn)1, F2是 C 上的兩個第2頁共 19 頁2第3頁共 19 頁ujun ujur焦點，若 Mh?MF20，則yo的取值范圍是（

3、）（B）V，彳）有委米依垣內角，下周八尺，高五尺。問：積及為米幾何？”其意思為：“在 屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆為一個圓錐 的四分之一），米堆底部的弧長為 8 尺，米堆的高為 5 尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知 1 斛米的體積約為 1.62 立方尺，圓周率約為 3, 估算出堆放斛的米約有（）(A) 14 斛(B) 22 斛(C) 36 斛(D) 66 斛7.設 D 為ABC 所在平面內一點 BCuuu3CD，則（)UULT1uuu4 uuuruuur 1 uurr 4 uuur(A)AD AC(B)AD-AB AC3333uuuuuuuuuuuurUU

4、LT 4 uuu1uuur4 uuu1(C)AD-AB1AC(D)AD-AB1AC33338.函數(shù)f（x）=cos（ x ）的部分圖像如圖所示，則f（x）的單調遞減區(qū)間為(D) ( 6.九章算2 3）3書中有如下問題：“今10.(x2y）* 5的展開式中，x5y2的系數(shù)為（(A)(B)(2 k(kZ4沐Z)(A) 5(B) 6(C) 7(D) 8(第4頁共 19 頁(A) 10(B) 20(C) 30(D) 6011 圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r )組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示 若該幾何體的表面積為 16 + 20f化)匚 0,則a的取值范圍是()二、

5、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。13若函數(shù) f (x) =xln(x 飛x2)為偶函數(shù)，貝 U a=_2 214. 一個圓經過橢圓 憶1的三個頂點，且圓心在 x 軸的正半軸上，則164該圓的標準方程為x 1015 .若 x,y 滿足約束條件 x y 0 ，則上的最大值為xx y 4 016 .在平面四邊形 ABCD 中/ A=Z B=Z C=75，BC=2 貝 U AB 的取值范圍，則 r=()匕正優(yōu)圏(A) 1(B) 2a,其中 a1，若存在唯一的整數(shù)X。，使得333(A) - - , 1)(B)-,-)2e2e4(C)2e，3)3(D) -，1)2e12設函數(shù)f(x

6、)=ex(2x 1) ax第5頁共 19 頁、解答題：共 70 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23 題為選考題，考生根據要求作答。17.(本小題滿分 12 分)Sn為數(shù)列an的前n項和.已知an0,a：a*=4Sn3.(I)求an的通項公式；1(U)設bn,求數(shù)列bn的前n項和.anan 118.如圖，四邊形 ABC 助菱形，/ ABC=120 , E, F 是平面 ABCD 同一側的兩點，BEX平面 ABCD DF 丄平面 ABCD BE=2DF AE! EC.(I)證明：平面 AECX 平面 AFQ(U)求直線 AE

7、與直線 CF 所成角的余弦值.第6頁共 19 頁19某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x （單位：千元）對年銷售量 y （單位：t ）和年利潤 z （單位：千元）的影響，對 近 8 年的年宣傳費x和年銷售量yi（i=1,2 , , 8）數(shù)據作了初步處理, 得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.&20 .WX -*sso r*sbO r*S40 -*500 r *堿丄也5D厶心盂玄主 X列列awi/1r xu yu w8一一2(Xix)i 18一一2(Wiw)i 18(Xix)(yiy)i 18(Wiw)( yiy)i 146.56.6.8289.81.61469108

8、.863ur _ 18,w =wi8i i（I）根據散點圖判斷，y=a+bx 與 y=c+d、x哪一個適宜作為年銷售量 y 關 于年宣傳費 x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（U）根據（I）的判斷結果及表中數(shù)據，建立y 關于 x 的回歸方程；（川）已知這種產品的年利率 z 與 x、y 的關系為 z=0.2y-x.根據（U）的結 果回答下列問題：（i）年宣傳費 x=49 時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？（ii） 年宣傳費 x 為何值時，年利率的預報值最大？附:對于一組數(shù)據（Ui,Vj,（U2,V2），（Un,Vn）,其回歸線VU的斜率和截距的最小二乘估計分別為：表中 wi第7頁

9、共 19 頁Y（旳一址XE一巧-、a=V -Pu2-疔220. (本小題滿分 12 分)在直角坐標系xoy中，曲線 C: y=與直線y kx a4(a 0)交與 M,N 兩點，(I)當 k=0 時，分別求 C 在點 M 和 N 處的切線方程；(n) y 軸上是否存在點 P,使得當 k 變動時，總有/ OPMMOPN 說明理由.第8頁共 19 頁21. (本小題滿分 12 分)已知函數(shù) f (x) =x3ax - , g(x) In x.(I)當 a 為何值時，x 軸為曲線y f (x)的切線；(U)用minm, n 表示 m,n 中的最小值，設函數(shù)h(x) min f (x), g(x) (x

10、 0)，討論 h (x)零點的個數(shù).22. (本題滿分 10 分)選修 4-1 :幾何證明選講如圖，AB 是的直徑，AC 是的切線，BC 交于 E.(I)若 D 為 AC 的中點，證明：DE 是|6|的切線;(U)若OA3CE，求/ ACB 的大小.第9頁共 19 頁23. (本小題滿分 10 分)選修 4-4 :坐標系與參數(shù)方程2 2在直角坐標系xOy中，直線 G：x= 2,圓C2:x 1 y 21,以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(I)求Ci,C2的極坐標方程；(n)若直線C3的極坐標方程為R，設C2與C3的交點為M, N ,4求C2MN的面積.24. (本小題滿分 10

11、 分)選修 4 5:不等式選講已知函數(shù)譏:閱=|x+1|-2|x-a|, a0.(I)當 a=1 時，求不等式 f (x) 1 的解集；(n)若 f(x)的圖像與 x 軸圍成的三角形面積大于6,求 a 的取值范圍.故選 A.第 9 頁共 19 頁2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國I卷）理科數(shù)學試卷參考答案第I卷一、選擇題：1答案:A解：由-zi得，z丄丄=t =i，故|z|=1 ,故選 A.1 z1 i （1i）（1 i）2答案:D1解:原式=sin 20cos10cos20sin 100=sin300=，故選 D.23答案:C解：p:n N,n22n，故選 C.4.答案:A解:根據

12、獨立重復試驗公式得，該同學通過測試的概率為C0.620.4 0.63=0.648，故選 A.5 答案:A故選 A.6 答案:B116解:設圓錐底面半徑為 r，則-2 3r 8=r一，所以米堆的體積為431 13蘆)25=320，故堆放的米約為320- 1.6222,故選 B.433997 答案:A2解:由題知R（、.3,o）, F2（3,o）,X02y。1，所以ujun uuuu(3 X0, y)?( 3 x0, y) =x0y0 3 3y0 1 0，解得Fy0于，因為g(x) ex(2x1)，所以當x 1時，g (x)V0,當x 1時，g (x)0,第11頁共 19 頁uuur解：由題知AD

13、uuur uuur uur 1 uuu uuurAC CD AC - BC AC31 uuur uuur1 uuu 4 uuur嚴AB)= SAB嚴，第12頁共 19 頁=0.25,n=1,S=0.5 t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第 2 次，S=S-m=0.25,m=0.125,n=2,S=0.25 t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第 3 次，S=S-m=0.125,m -2=0.0625,n=3,S=0.125 t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第 4 次，S=S-m=0.0625,m -2=0.03125,n=4,S=0.0625 t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第 5 次，S=S-m=0.03125,

14、m -=0.015625,n=5,S=0.03125 t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第 6 次，2S=S-m=0.015625,mm=0.0078125,n=6,S=0.015625 t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)2行第 7 次，S=S-m=0.0078125,mm=0.00390625,n=7,S=0.0078125 t=0.01,2否，輸出 n=7,故選 C.10 答案:C 解:在(x2x y)5的 5 個因式中，2個取因式中x2剩余的 3 個因式中 1 個取x，其余因式取 y,故x5y2的系數(shù)為C；C3C；=30,故選 C.11.答案:B解:由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體

15、，圓柱的半徑與球的半徑都為 r，圓柱的高為 2r，其表面積為12 2 2 224 r r 2r r 2r 2r=5 r 4r=16 + 20 ，解得 r=2，故選 B.12 .答案:D解：設g(x)=ex(2x 1)，y ax a，由題知存在唯一的整數(shù)x，使得g(x)在直線 y ax a 的下方.1 1所以當x時，g(x)max=-2e2,28答案:D解:由五點作圖知，；4，所以f(x) cos(4令2k x 2k41減區(qū)間為(2k -，2k49 答案:C,k1Z，解得2k匸V-)，k Z4,故選 D.解：執(zhí)行第 1 次，t=0.01,S=1,n=O,m=xV2k34故單調丄=0.5,S=S-

16、m=0.5,m2因為g(x) ex(2x1)，所以當x 1時，g (x)V0,當x 1時，g (x)0,第13頁共 19 頁當 x 0 時，g(0)=-1 ,g(1) 3e 0,直線 y ax a 恒過(1,0)斜率且a,3故a g(0)1，且g( 1) 3e1a a，解得 一 0,第15頁共 19 頁試題解析：（I）當 n 1 時，a：2a14$ 3 4印+3，因為a.0,所以 6=3,當 n 2 時，a；ana：1a. 1=4Sn3 4Sn 13=4an，即所以數(shù)列an是首項為 3,公差為 2 的等差數(shù)列, 所以an=2n 1 ;(U)由(I)知，bn=1(二1),(2n 1)(2n 3)

17、2 2n 1 2n 3所以數(shù)列bn前 n 項和為b b2L bn=11111 1 1 1 1( )( )L( )=.2 3 5572n 1 2n 36 4n 618答案：(I)見解析(U)3解：試題分析：(I)連接 BD 設 BDA AC=G 連接 EG FG EF,在菱形 ABCD 中，不妨設 GB=1 易證 EGL AC 通過計算可證 EGL FQ 根據線面垂直判定定理可 知EGL 平面 AFC 由面面垂直判定定理知平面 AFCL 平面 AEC (U)以 G 為 坐標原點,分別以GJB,GC的方向為x軸,y 軸正方向，|GB|為單位長度,建 立空間直角坐標系G-xyz ,利用向量法可求出異

18、面直線 AE 與 CF 所成角的余 弦值解析：(I)連接 BD 設 BDA AC=G 連接 EG FG EF,在菱形 ABCD 中 ,不妨設 GB=1 由/ABC=120 ,可得 AG=GC=3.由 BE!平面 ABCD AB=BC 可知 , AE=EC又 AE1 EC,二 EG=3, EGLAC,J2在 Rt EBG ,可得 BE= 2 ,故 DF=，.2廠在 Rt FDG ,可得 FG 丄6.2在直角梯形 BDFE 中 ,由 BD=2 BE= 2 , DF可得 EF 旦上,2 2二EG2FG2EF2,EGL FQ ACH FG=G 二 EGL 平面 AFC EG 面 AEC 二平面 AFC

19、L 平面 AEC.第16頁共 19 頁（U）如圖，以 G 為坐標原點，分別以GB,GC的方向為X軸，y 軸正方向,uuu|GB|為單位長度，建立空間直角坐標系 G-xyz，由（I）可得 A（ 0,3,0)，E (1,0,2 )，F(xiàn) ( 1,0，），C（o，V3， o），uuu- AE = (1,3，22 )，uuuCF =：（-1，-3，邁）2.10 分ujm uuu故cosuuu uuuAE CFAE, CF-uu utun| AE|CF |3所以直線 AE 與 CF 所成的角的余弦值為 .319答案：（I）y c dE適合作為年銷售 y 關于年宣傳費用x的回歸方程類型；（U） $ 100.

20、6 68、X （m） 46.24解：試題分析：（I）由散點圖及所給函數(shù)圖像即可選出適合作為擬合的函數(shù)；（U）令w . x，先求出建立y關于w的線性回歸方程，即可y關于x的回歸方程；（m） （i）利用 y 關于x的回歸方程先求出年銷售量 y 的預報值，再根據年 利率 z 與 x、y 的關系為 z=0.2y-x 即可年利潤 z 的預報值； （ii）根據（U）的結果知，年利潤 z 的預報值，列出關于x的方程，利用二次函數(shù)求最值的 方法即可求出年利潤取最大值時的年宣傳費用試題解析：（I）由散點圖可以判斷，y c d,x適合作為年銷售 y 關于年宣傳費用x的 回歸方程類型8第17頁共 19 頁（U）令w

21、 . x，先建立y關于w的線性回歸方程，由于8第18頁共 19 頁-$ y dw =563-68X 6.8=100.6. y 關于w的線性回歸方程為$ 100.6 68w , y 關于x的回歸方程為$ 100.6 68&.（E）（門由（n）知，當x=49 時，年銷售量 y 的預報值$ 100.6 68 49=576.6，$ 576.6 0.2 4966.32.（ii）根據（n）的結果知，年利潤 z 的預報值$ 0.2（100.6 68 =） x x 13.6.X 20.12，.當,x=6.8，即 x 46.24 時，$取得最大值.2故宣傳費用為 46.24 千元時，年利潤的預報值最大.

22、12 分20.答案：（I）-.fax y a 0或ax y a 0（n）存在解：試題分析：（I）先求出 M,N 的坐標，再利用導數(shù)求出 M,N. （n）先作出判 定，再利用設而不求思想即將y kx a代入曲線 C 的方程整理成關于x的一 元二次方程，設出 M,N 的坐標和 P 點坐標，利用設而不求思想，將直線PMPN 的斜率之和用a表示出來，利用直線 PM PN 的斜率為 0,即可求出a,b關 系，從而找出適合條件的 P 點坐標.解析：（I）由題設可得M（2、a,a），N（ 2 2, a），或M（ 22,a），N（2、.a,a）.Ty x，故y在x= 2. 2a 處的到數(shù)值為a，C 在（2 .

23、 2a, a）處的切線24方程為y aa（x 2、a），即，ax y a 0.(Wiw)(yiy)i 182(wiw)i 1=108.816=68,8第19頁共 19 頁2 _ _ _故y在x=- 2 2a 處的到數(shù)值為-.a，C 在（2-.2a,a）處的切線方程為4y aja(x 2.a), 即x ax y a 0.第20頁共 19 頁故所求切線方程為、ax y a 0或ax(U)存在符合題意的點，證明如下:設 P (0，b)為復合題意得點，M(xi,yi)，別為k1,k2.a 時，有kik2=0,則直線 PM 的傾斜角與直線 PN 的傾斜角互補,故/ OPMH OPN 所以P(0, a)符

24、合題意.考點：拋物線的切線；直線與拋物線位置關系；探索新問題；運算求解能力335321 .答案：(I)a一；(U)當a一或a-時，h(x)由一個零點；當a-4444-3或a一時，h(x)有兩個零點；當-a-時，h(x)有三個零點.444解：試題分析：(I)先利用導數(shù)的幾何意義列出關于切點的方程組，解出切點坐標與對應的a值；(U)根據對數(shù)函數(shù)的圖像與性質將x分為x 1,x 1,0 x 1研究h(x)的零點個數(shù)，若零點不容易求解，則對討論. h(x)在(1，+x)無零點.55當x=1 時，若a，則f(1) a 0，h(1) min f (1),g(1)g(1) 0,44N(X2,y2)，直線 PM

25、 PN 的斜率分kxa代入 C 得方程整理得x24kx4a 0.X24k, X!X24a.k2y1b y b_2kx1X2(a b)(x1x?) =k(a b)XX2X1X2a再分類試題解析：(I)設曲線f(X)與X軸相切于點(Xo,O)，則f(Xo)f (Xo)0，3X0axc23x0a， 解得X0因此，當a4時，x軸是曲線y f (x)的切線.(1,)時，g(x)In x 0,從而h(x) min f (x), g(x)g(X)0，第21頁共 19 頁故x=1 是h(x)的零點；若a-，則fa - 0,44h(1) min f(1),g(1) f (1) 0,故x=1 不是h(x)的零點.

26、當x (0,1)時，g(x) lnx 0,所以只需考慮f(x)在(0,1 )的零點個數(shù).(i)若 a 3 或 a 0，則f (x) 3x2a在(0,1 )無零點，故f(x)在(0,1)1-單調，而f (0)-，f (1) a ，所以當 a 3 時，f(x)在(0，1)有一個44零點；當a0 時，f(x)在(0，1)無零點.第22頁共 19 頁AE2CE BE，列出關于x的方程，解出x，即可求出/ ACB 的大小.試題解析：(I)連結 AE 由已知得，AEL BC AC1AB,在 Rt AEC 中，由已知得 DE=DC / DECM DCE連結 OE M OBEM OEBvZ ACB-M ABC

27、=90DECM OEB=90，M OED=90，二 DE 是圓 O 的切線.(U)設 CE=1, AE=x,由已知得 AB=2藥，BE Jl2 x2，(ii)若 3 a0,則f(x)在(0,f (x)取的最小值，最小值為3vaV0,f (x)在(0,1 )無零點.43,則f(x)在(0,1 )有唯一零點;431，由于f (0),f (1) a，所以當4443a時，f(x)在(叩)有兩個零點；當3 a有一個零點10 分綜上，當a-或a4-時，h(x)由一個零點；當a43a-時，h(x)有三個零點.4-時，f(x)在(0,1 )4-或a-時，h(x)4422.答案：(I)見解析(U)60解：試題分析：(I)由圓的切線性質及圓周角定理知， AELBC, ACLAB,由直 角三角形中線性質知 DE=DC OE=OB 利用等量代換可證/ DEC/ OEB=90