1、名校名師推薦3.2.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則.(重點(diǎn))2.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.(易錯點(diǎn))自主預(yù)習(xí)探新知1 .復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則(1)設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù)，則zi+Z2=(a+c)+(b+d)i；Z1-Z2=(ac)+(bd)i.(2)對任意zbZ2,Z3CC,有Z1+Z2=Z2+Z1；(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3).2 .復(fù)數(shù)加減法的幾何意義圖3-2-1如圖3-2-1所示，設(shè)復(fù)數(shù)Z1,Z2對應(yīng)向量分別為OZ,OZ,四邊形OZZZ為平行四邊形，向量OZi復(fù)數(shù)Z1+Z2對應(yīng)

2、，向量Z2Z1與復(fù)數(shù)Z1Z2對應(yīng).思考：類比絕對值|xX0|的幾何意義，|z冽(z,Z0CC)的幾何意義是什么？提示|zZ0|(z,z°eC)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z到點(diǎn)乙的距離.基礎(chǔ)自測1 .思考辨析(1)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算法則類同于實(shí)數(shù)的加法法則.()(2)復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相加減后結(jié)果為復(fù)數(shù).()(3)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義類同于向量加減法運(yùn)算的幾何意義.()答案(1)，(2)V(3)V2 .已知復(fù)數(shù)Zi=3+4i,Z2=3-4i,則Z1+Z2=()【導(dǎo)學(xué)號：48662137】A.8iB.6C.6+8iD.6-8iBZ1+Z2=3+4i+34i=(3+3)+(44)i=6.3 .復(fù)數(shù)(1i)

3、(2+i)+3i等于()A.1+iB.1-iC.iD.-iA(1-i)(2+i)+3i=(12)+(ii+3i)=1+i.故選A.4 .已知復(fù)數(shù)z+3i3=33i,貝Uz=()A.0B.6iC.6D.66iDz+3i-3=3-3i,.z=(3-3i)(3i-3)=6-6i.5 .已知向量OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)為23i,向量OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-4i,則向量ZZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.【導(dǎo)學(xué)號：48662138】1-iZ1Z2=OZ-OZ=(34i)-(2-3i)=1-i.=53i,則|Z1+Z2|=.解析(1)(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.6 2)Z1-Z2=(3x4y)+(

4、y2x)i-(-2x+y)+(x3y)i=(3x4y)(2x+y)十(y2x)(x3y)i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,f5x5y=5,所以“解得x=1,y=0,-3x+4y=-3,所以Zi=32i,Z2=2+i,則Zi+Z2=1i,所以|Zi+Z2|=q2.答案(1)2i(2)2規(guī)律方法""復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相加減,相當(dāng)于多項(xiàng)式加減法的合并同類項(xiàng),將兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減跟蹤訓(xùn)練1 .計(jì)算：(1)(3+5i)+(34i)=.(2)(-3+2i)-(4-5i)=.(3)(5-6i)+(22i)(3+3i)=.【導(dǎo)學(xué)號：48662139(1)6

5、+i(2)-7+7i(3)-11i(1)(3+5i)+(34i)=(3+3)+(54)i=6+i.(2)(-3+2i)-(4-5i)=(34)+(2+5)i=-7+7i.(3)(5-6i)+(-2-2i)(3+3i)=(5-2-3)+(-6-2-3)i=-11i.陜矍自I復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義3名校名師推薦(1)形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理.(2)數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對于一些復(fù)數(shù)運(yùn)算也可以給予幾何解釋，使復(fù)數(shù)作為工具運(yùn)用于幾何之中.2 .常見結(jié)論在復(fù)平面內(nèi)，zi,Z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,Z1+Z2對應(yīng)的點(diǎn)為C,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OAC的平行四邊形；若|zi+z

6、2|=|ziZ2|,則四邊形OAC的矩形；若|zi|=|z2|,則四邊形OAC的菱形；若|zi|=|z2|且|zi+z2|=|ziz2|,則四邊形OAC的正方形.跟蹤訓(xùn)練2.復(fù)數(shù)zi=1+2i,z2=2+i,z3=-12i,它們在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)是一個正方形的三個頂點(diǎn)，求這個正方形的第四個頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)【導(dǎo)學(xué)號：48662140解設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2,z3在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,正方形的第四個頂點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi(x,yCR),如圖.則AD=OD-OA=(x,y)-(1,2)=(x-1,y2).BC=OC-OB=(-1,2)(2,1)=(1,3).一一x1=1,'x=2

7、AD=BCi,解得，故點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2-i.y2=3y=-1例A. 1C. 2(2)若復(fù)數(shù)z滿足|z+，3 + i|D. 5<1,求| z|的最大值和最小值.twaj(1) A (1)設(shè)復(fù)數(shù)一i , i , - 1-i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為 Zi, Za,Z3,因?yàn)?|z + i| +|z-i| =2, |ZiZa|=2,所以點(diǎn) Z 的集合為線段 Z1Z2.問題轉(zhuǎn)化為：動點(diǎn)Z在線段Z1Z2上移動，求|ZZ3|的最小值，因?yàn)閨ZZ3| =1.所以 |Z+i +1|min=1.(2)如圖所示，| OM =弋 -4 1 2+ 2 = 2.所以 | Z| max= 2+1 = 3, | Z

8、| min= 2 1=1.母題探究：1.若本例題(2)條件改為“設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z34i|=1"，求|z|的最大值.解因?yàn)閨z34i|=1,所以復(fù)數(shù)z所對應(yīng)點(diǎn)在以C(3,4)為圓心，半徑為1的圓上，由幾何性質(zhì)得|z|的最大值是3+4+1=6.2.若本例題(2)條件改為已知|z|=1且zCC,求|z-2-2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值.解因?yàn)閨z|=1且zCC,作圖如圖：所以|z22i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)M到復(fù)平面上的點(diǎn)P(2,2)的距離，所以|z-2-2i|的最小值為|OP1=2/一1.a+bi=一2一i2 .已知zi=2+i,z2=1+2i,則復(fù)數(shù)z=z2-zi對應(yīng)的點(diǎn)位于()

9、A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限Bz=z2zi=(1+2i)(2+i)=1+i,實(shí)部小于零，虛部大于零，故位于第一.象限.3 .計(jì)算|(3i)+(1+2i)(13i)|=.5|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)(13i)|=|3+4i|=13442=5.4 .已知復(fù)數(shù)z1=(a22)+(a4)i,z2=a(a22)i(aCR),且z1一z2為純虛數(shù)，則a=.【導(dǎo)學(xué)號：48662142-1z1z2=(a2a2)+(a4+a22)i(aeR)為純虛數(shù)，*2'解a+a6w0,得a=-1.5.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)一3-i與5+i對應(yīng)的向量分別是OAfOB其中

10、O是原點(diǎn)，求向量O/VOBBA寸應(yīng)的復(fù)數(shù)及A,B兩點(diǎn)間的距離.解向量OAFOB寸應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3i)+(5+i)=2./BA=OA-OB，向量BA寸應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3i)(5+i)=82i."A,B兩點(diǎn)間的距離為|82i|=，82=217.7(1)復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足|Z1|=|Z2|=1,|Z1+Z2I=42.則|Z1Z2|=.f圖3-2-2(2)如圖3-2-2所示，平行四邊形OABC勺頂點(diǎn)OA、C對應(yīng)復(fù)數(shù)分別為0、3+2i、-2+4i,試求A斯表示的復(fù)數(shù)，BM表示的復(fù)數(shù)；對角線C師表示的復(fù)數(shù)；對角線O所表示的復(fù)數(shù)及OB勺長度.解(1)由|Zi|=|Z2|=1,|Z1+Z2|=，2,知Z1

11、,Z2,Z1+Z2對應(yīng)的點(diǎn)是一個邊長為1的正方形的三個頂點(diǎn)，所求|Z1Z2|是這個正方形的一條對角線長，所以|Z1Z2|=45.(2)AO=OA，八所表示的復(fù)數(shù)為一3-2i.BC=AO，BCf表示的復(fù)數(shù)為一3-2i.CA=OA-OC，C師表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)(2+4i)=52i.對角線OB=ONOC它所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z=(3+2i)+(2+4i)=1+6i,|OB=12+62=37.規(guī)律方法1.用復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義解題的技巧復(fù)數(shù)模的最值問題探究問題1.滿足|z|=1的所有復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)組成什么圖形？提示：滿足|z|=1的所有復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上.2.若|z1|=|z+1|,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)組成什么圖形？提示：/1|=|z+1|,點(diǎn)Z到(1,0)和(一1,0)的距離相等，即點(diǎn)Z在以(1,0)和(一1,0)為端點(diǎn)的線段的中垂線上.3.復(fù)數(shù)|ziz2|的幾何意義是什么?提示：復(fù)數(shù)|ziZ|表示復(fù)數(shù)zi,z2對應(yīng)兩點(diǎn)Zi與Z2間的距離.(1)如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|zi|=2,那么|z+i+1|的最小值是(1.a,b為實(shí)數(shù)，設(shè)zi=2+bi,Z2=a+i,當(dāng)zi+Z2=0時，