1、2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A A版必修版必修第一課時(shí) 在印度有一個(gè)古老的傳說：舍罕王 打算獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明人-宰相 西薩班達(dá)依爾。國王問他想要什么， 他對國王說：陛下，請您在這棋盤的第1個(gè)小格里，賞給我1粒麥子，在第2個(gè)小格里給2粒，第3小格給4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。請您把這樣擺滿棋盤上所有的64格的麥粒，都賞給您的仆人吧!國王覺得這要求太容易滿足了，命令給他這些麥粒。當(dāng)人們把一袋一袋的麥子搬來開始計(jì)數(shù)時(shí)，國王才發(fā)現(xiàn)：就是把全印度甚至全世界的麥粒全拿來，也滿足不了那位宰相的要求。棋盤上的麥粒棋盤上的麥?？倲?shù)為：=184467440737095

2、51615(粒) ，1000粒約40克麥粒有7000多億噸（現(xiàn)每年全球的小麥總量約6.5億噸）莊子莊子 天下篇天下篇莊 子2.2.莊子莊子天下篇中寫道：天下篇中寫道：“一尺之棰，日取其半萬一尺之棰，日取其半萬世不竭世不竭”. .請你寫出截取次后，木棰的剩留量與截取請你寫出截取次后，木棰的剩留量與截取次數(shù)的關(guān)系式次數(shù)的關(guān)系式 yxxx1 1現(xiàn)在假設(shè)棋盤上第一格給現(xiàn)在假設(shè)棋盤上第一格給2 2粒麥子，第二格給粒麥子，第二格給4 4粒，第粒，第三格給三格給8 8粒粒，到第，到第 格時(shí)，格時(shí)，請寫出請寫出給的麥子粒數(shù)給的麥子粒數(shù) 與格子數(shù)與格子數(shù) 的關(guān)系式。的關(guān)系式。xxyx交流探討、形成概念交流探討、

3、形成概念 木棰剩余量木棰剩余量麥子粒麥子粒數(shù)數(shù)yxyxx2122232421)21(2)21(3)21(4)21(x)21(。域是是自變量，函數(shù)的定義函數(shù)，其中叫做指數(shù)一般地，函數(shù)Rxaaayx) 1, 0(:定義:以上兩個(gè)函數(shù)有何設(shè)問1共同特征 ?;) 1 ( 均為冪的形式;)2(底數(shù)是一個(gè)正的常數(shù).)3(在指數(shù)位置自變量xxy)21(xy2 我們把這種自變我們把這種自變量在指數(shù)位置上而底量在指數(shù)位置上而底數(shù)是一個(gè)大于數(shù)是一個(gè)大于0且不等且不等于于1的常量的函數(shù)叫做的常量的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù).概念剖析說明說明1:為何規(guī)定為何規(guī)定a 0，且，且a 1? 01a;0,0;0,02無無意意義

4、義如如無無意意義義時(shí)時(shí)恒恒成成立立時(shí)時(shí)則則 xxaxax;,41,21,)2(,在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)范范圍圍內(nèi)內(nèi)無無意意義義當(dāng)當(dāng)如如值值失失去去意意義義對對某某些些 xyxaxx, 0 a若若, 0 a若若是是一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)1 xay, 1 a若若指數(shù)函數(shù)的特征：指數(shù)函數(shù)的特征：【提示提示】依據(jù)指數(shù)函數(shù)依據(jù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且且a1)解析解析式的結(jié)構(gòu)特征：式的結(jié)構(gòu)特征：底數(shù)：大于零且不等于底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)；的常數(shù)；指數(shù)：自變量指數(shù)：自變量x；系數(shù)：系數(shù)：1；只有一項(xiàng)只有一項(xiàng)ax .說明說明2下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)？下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)？ 2(2)yx(3)2xy (4)2xy

5、 (5)xy2(6)2xy (7)xyx(8)24xy (9)(21)xya1(1)2aa且(1)2xy 底數(shù)：大于零且不等于底數(shù)：大于零且不等于1 1的常數(shù)；的常數(shù)；指數(shù)：自變量指數(shù)：自變量x；系數(shù)：系數(shù)：1. 1. 只有一項(xiàng)只有一項(xiàng)ax練習(xí)：練習(xí)： 1.下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是 （ ）A. y=(-3)x B. y=3x+1 C. y=-3x+1 D. y=3-x2.函數(shù)函數(shù) y = ( a2 - 3a + 3) ax 是指數(shù)函數(shù)，求是指數(shù)函數(shù)，求 a的值的值. 解：由指數(shù)函數(shù)解：由指數(shù)函數(shù) 的定義有的定義有a2 - 3a + 3=1a0 a 1 a = 2a =1或或

6、a = 2a0a1解得解得研究函數(shù)的一般思路：研究函數(shù)的一般思路：研究函數(shù)的一般方法是：研究函數(shù)的一般方法是：從從哪哪些些角角度度研研究究？函函數(shù)數(shù)，如如何何研研究究？問問題題三三：要要研研究究一一種種新新函數(shù)的函數(shù)的圖象圖象函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)特殊的特殊的函數(shù)函數(shù)函數(shù)的函數(shù)的定義定義用性質(zhì)用性質(zhì)解問題解問題探求新知、深化理解探求新知、深化理解呢呢？需需要要研研究究它它的的哪哪些些性性質(zhì)質(zhì)問問題題四四：研研究究一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)特殊點(diǎn)特殊點(diǎn) 定義域定義域奇偶性奇偶性單調(diào)性單調(diào)性值域值域?qū)ΨQ性對稱性探求新知、深化理解探求新知、深化理解設(shè)問2：已知函數(shù)的解析式，怎么得到函 數(shù)的圖象，一般用什么方法？

7、列表、描點(diǎn)、連線作圖2xy 12xy在同一直角坐標(biāo)系畫出在同一直角坐標(biāo)系畫出 ，的圖象。的圖象。并觀察：兩個(gè)函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？并觀察：兩個(gè)函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？觀察：兩個(gè)函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？觀察：兩個(gè)函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？1( )2xy 兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱軸對稱比較圖象 得出特征654321-4-224q x xh x xg x xf x x(0,1) a 的范圍的范圍 a 10 a 0時(shí)，時(shí)，y1x0時(shí)，時(shí)， 0y1(y軸軸右右側(cè)，在直線側(cè)，在直線y=1下方下方)x0時(shí)，時(shí)，0y1（y軸軸左左側(cè)，在直線側(cè)，在直線y=1的下方）的下方）x1（y軸軸左左側(cè)，在直線側(cè)，

8、在直線y=1的上方）的上方）圖象圖象定義域定義域值域值域定點(diǎn)定點(diǎn)單調(diào)性單調(diào)性函數(shù)值函數(shù)值的變化的變化范圍范圍(y軸軸右右側(cè)，在直線側(cè)，在直線y=1上方上方)xyoxyo比較圖象 得出特征探究探究1:不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象有什么特點(diǎn)？不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象有什么特點(diǎn)？比較圖象 得出特征xoy123456781 2 3 4 12341 2 3 4 1234xy10 xy3xy2xy21xy31xy101當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，時(shí)，a越越大，大，y=ax越靠越靠近坐標(biāo)軸近坐標(biāo)軸.當(dāng)當(dāng)0a1時(shí)，時(shí)，a越小，越小，y=ax越越靠近坐標(biāo)軸靠近坐標(biāo)軸.當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時(shí)，圖象上升時(shí)，圖象上升，且，

9、且底數(shù)越大時(shí)圖象向上越靠近于底數(shù)越大時(shí)圖象向上越靠近于y軸軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于小于1時(shí)，圖象下降，時(shí)，圖象下降，底數(shù)底數(shù)越小圖象向右越靠近于越小圖象向右越靠近于x軸軸0cd1ab.探究探究2：比較：比較a、b、c、d的大小的大小.2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)xy0y=1y=ax(0,1)y0 x y=ax 性質(zhì) 0a11.定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0,+).2.過定點(diǎn)（0，1）即x=0時(shí)，y=13.在R上是增函數(shù) 3.在R上是減函數(shù)4.當(dāng)x0時(shí),y1;當(dāng)x0時(shí),0y0時(shí), 0y1;當(dāng)x1.5.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).圖 象 (0,1)y=1例2.比較下列各題中兩個(gè)值的大小： (1)1.52.

10、5 ,1.5 3.2 ； (2)0.5 1.2 ,0.5 1.5 (1)考察指數(shù)函數(shù)y=1.5x .由于底數(shù)1.51 ,所以指數(shù)函數(shù)y=1.5x 在R上是增函數(shù).解：2.53.2 1.52.5-1.5 0.5-1.27.17.135.2)3( 法一法一: 圖象法圖象法法二法二: 作商法作商法 (兩個(gè)指數(shù)式的商與兩個(gè)指數(shù)式的商與1比較比較)3 . 03 . 0323 . 03 . 04 . 07 . 0練習(xí)練習(xí):,)35 . 2(35 . 27 . 17 . 17 . 17 . 17 . 17 . 135 . 2, 1)65(010 ,0)65(即時(shí)的性質(zhì)，當(dāng)根據(jù)函數(shù)yxyx0 ,且y1.解 (

11、1)(2) 21, 012xx得由 函數(shù)的定義域?yàn)?),21, 012x125.0012x.1 , 0(函數(shù)的值域?yàn)閤y0y=1y=ax(0,1)y0 x y=ax 性質(zhì) 0a11.定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0,+).2.過定點(diǎn)（0，1）即x=0時(shí)，y=13.在R上是增函數(shù) 3.在R上是減函數(shù)4.當(dāng)x0時(shí),y1;當(dāng)x0時(shí),0y0時(shí), 0y1;當(dāng)x1.5.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).圖 象 (0,1)y=12.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)練習(xí)：練習(xí)：1 y=ax(a0且 a1)圖象必過 點(diǎn)_2 y=ax-2(a0且 a1)圖象必 過點(diǎn)_3 y=ax+3-1(a0且 a1)圖象 必過點(diǎn)_(0,1)(2,1)(-3

12、,0)xy0y=1y=ax(0,1)y0 x y=ax 性質(zhì) 0a11.定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0,+).2.過定點(diǎn)（0，1）即x=0時(shí)，y=13.在R上是增函數(shù) 3.在R上是減函數(shù)4.當(dāng)x0時(shí),y1;當(dāng)x0時(shí),0y0時(shí), 0y1;當(dāng)x1.5.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).圖 象 (0,1)y=1求定點(diǎn)，先令指數(shù)為求定點(diǎn)，先令指數(shù)為0，再，再計(jì)算計(jì)算x,y的值的值 已知指數(shù)函數(shù)已知指數(shù)函數(shù) 的圖像經(jīng)過點(diǎn)的圖像經(jīng)過點(diǎn) 求求 的值的值. 0,1xf xaaa3, 013fff 、待定系數(shù)法求待定系數(shù)法求a例例5：實(shí)際應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用 截止到截止到1999年底，我國人口約年底，我國人口約13億。如果今后能將人口

13、年平均增長率億。如果今后能將人口年平均增長率控制在控制在1%，那么經(jīng)過，那么經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為多少（精確到億）？年后，我國人口數(shù)最多為多少（精確到億）？年份經(jīng)過年數(shù)人口數(shù)（億）199902000120012200231999+13 13（1+1%）13（1+1%）213（1+1%）3 13（1+1%）當(dāng)當(dāng)x=20 x=20時(shí)，時(shí)，y=13y=131.011.0120 20 1616（億）（億）. .解：設(shè)今后人口年平均增長率為解：設(shè)今后人口年平均增長率為11，經(jīng)過，經(jīng)過x x年后，我國人口數(shù)年后，我國人口數(shù)為為y y億億. .19991999年底，我國人口約為年底，我國人口約為13

14、13億；經(jīng)過億；經(jīng)過1 1年（即年（即20002000年），人口年），人口數(shù)為數(shù)為 13+13 13+13 1= 13 1= 13（1+11+1）( (億億););經(jīng)過經(jīng)過2 2年（即年（即20012001年），人口數(shù)為年），人口數(shù)為 1313（1+11+1）+ 13+ 13（1+11+1） 1 1 = 13 = 13（1+11+1）2 2 （億）；（億）；經(jīng)過經(jīng)過3 3年（即年（即20022002年），人口數(shù)為年），人口數(shù)為 1313（1+11+1）2 2+ 13+ 13（1+11+1）2 2 1 1 = 13 = 13（1+11+1）3 3 （億）；（億）； 所以，經(jīng)過所以，經(jīng)過x x年后

15、年后, ,人口數(shù)為人口數(shù)為 y= 13y= 13（1+11+1）x x=13=131.011.01x x( (億）億）. .所以，經(jīng)過所以，經(jīng)過2020年后年后, ,我國人口數(shù)最多為我國人口數(shù)最多為1616億。億。（1）如果人口年均增長率提高）如果人口年均增長率提高1個(gè)百分點(diǎn)，利個(gè)百分點(diǎn)，利用計(jì)算器分別計(jì)算用計(jì)算器分別計(jì)算20年，年，33年后我國的人口數(shù)年后我國的人口數(shù). y=13（1+2）x=131.02 xy2019(億)，y3325（億）（2）如果年均增長率保持在）如果年均增長率保持在2%，利用計(jì)算器，利用計(jì)算器計(jì)算計(jì)算20202100年，每隔年，每隔5年相應(yīng)的人口數(shù)年相應(yīng)的人口數(shù).l 2020 20， 2025 , l 2030 , 2035 , l 2100 . 22242796（3）你看到我國人口數(shù)的增長呈現(xiàn)什么趨勢？）你看到我國人口數(shù)的增長呈現(xiàn)什么趨勢？（4）你是如何看待我國的計(jì)劃生育政策的？）你是如何看待我國的計(jì)劃生育政策的？習(xí)題2.1B組題3 課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.1.指數(shù)函數(shù)的概念指數(shù)函數(shù)的概念2.2.指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)3.3.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用 數(shù)形結(jié)合，由具體到一般數(shù)形結(jié)合，由具體到一般1.定義域?yàn)槎x域?yàn)镽，值域?yàn)?，值域?yàn)?0,+ ).2.當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)，時(shí)，y=13.3.在在R R上是增函數(shù)上是增函數(shù)3.3.