1、課時沖關(guān)練(二)向量、不等式、線性規(guī)劃A組(30分鐘76分)一、選擇題(每小題5分,共60分)1.(2014·杭州模擬)已知A,B,C三點在同一條直線l上,O為直線外一點,若p+q+r=0,p,q,rR,則p+q+r=()A.-1B.0C.1D.3【解析】選B.因為A,B,C三點在同一條直線上,所以存在實數(shù)使=,所以-=(-),即(-1)+-=0,因為p+q+r=0,所以p=-1,q=1,r=-,所以p+q+r=0.2.設(shè)向量a=(4,x),b=(2,-1),且ab,則x的值是()A.8B.-8C.2D.-2【解析】選A.因為ab,所以a·b=4×2-x=0,解得

2、x=8.3.設(shè)a,b為實數(shù),則“0<ab<1”是“b<”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選D.0<ab<1可分為兩種情況:當(dāng)a>0,b>0時,b<當(dāng)a<0,b<0時,b>,故不充分;反之,當(dāng)b<0<,可有ab<0,故不必要,所以應(yīng)為既不充分也不必要條件.4.(2014·湖州模擬)若a,bR,且ab>0,則下列不等式恒成立的是()A.a2+b2>2abB.a+b2C.+>D.+2【解析】選D.對于A:當(dāng)a=b=1時滿足ab&

3、gt;0,但a2+b2=2ab,所以A錯;對于B,C:當(dāng)a=b=-1時滿足ab>0,但a+b<0,+<0,而2>0,>0,顯然B,C不對;對于D:當(dāng)ab>0時,由基本不等式可得+2=2.5.已知不等式ax2+bx+c>0的解集為x|2<x<4,則不等式cx2+bx+a<0的解集為()A.B.C.D.【解析】選D.由已知a<0,把2和4看作方程ax2+bx+c=0的兩個根,則所以b=-6a,c=8a,即cx2+bx+a<08ax2-6ax+a<0.因為a<0,所以8x2-6x+1>0,解得:x>或x&

4、lt;.6.(2014·溫州模擬)已知實數(shù)x,y滿足不等式組則2x-y的取值范圍是()A.-1,3B.-3,-1C.-1,6D.-6,1【解析】選C.由線性約束條件作出可行域如圖.設(shè)z=2x-y,則y=2x-z.利用平移法可知,在點(3,0)處z取最大值6,在點(0,1)處取得最小值-1.故選C.7.已知向量a,b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)a,則向量a和b的夾角是()A.B.C.D.【解析】選A.由題意知(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,所以a·b=2.設(shè)a與b的夾角為,則cos=,=.8.已知向量a=(2,1),a&

5、#183;b=10,=5,則=()A.B.C.5D.25【解析】選C.因為a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,所以(a+b)2=50=a2+2a·b+b2,解得可知|b|=5.9.下列不等式一定成立的是()A.lg（x2+）>lgx(x>0)B.sinx+2(xk,kZ)C.x2+12|x|(xR)D.>1(xR)【解題提示】應(yīng)用基本不等式:x,y為正實數(shù),(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號)逐個分析,注意基本不等式的應(yīng)用條件及取等號的條件.【解析】選C.當(dāng)x>0時,x2+2·x·=x,所以lg（x2+）lgx(x>0),故

6、選項A不正確;運用基本不等式時需保證一正、二定、三相等,而當(dāng)xk,kZ時,sinx的正、負不定,故選項B不正確;由基本不等式可知,選項C正確;當(dāng)x=0時,有=1,故選項D不正確.10.(2014·合肥模擬)若不等式組表示的平面區(qū)域的面積為3,則實數(shù)a的值是()A.1B.2C.D.3【解析】選B.作出可行域,如圖中陰影部分所示,區(qū)域面積S=×（+2）×2=3,解得a=2.11.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a<b),其全程的平均時速為v,則()A.a<v<B.v=C.<v<D.v=【解析】選A.由小王從甲地到乙地往返的時速分別

7、為a和b,則全程的平均時速為v=,又因為a<b,所以<<=,所以a<v<,A成立.12.已知A,B是單位圓上的動點,且|AB|=,單位圓的圓心為O,則·=()A.-B.C.-D.【解析】選C.由題意知,單位圓的弦AB所對的圓心角AOB=120°,故·=·(-)=·-=1×1×cos120°-1=-.故選C.二、填空題(每小題4分,共16分)13.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若為實數(shù),(a+b)c,則的值為.【解析】a+b=(1,2)+(1,0)=(1+,2)

8、,因為(a+b)c,所以4(1+)-3×2=0,解得=.答案:14.(2014·寧波模擬)在ABC中,C=90°,點M滿足=3,則sinBAM的最大值是.【解析】以CB,CA為x軸、y軸建立坐標(biāo)系,如圖,設(shè)B(4a,0),A(0,b),因為=3,所以M(a,0),所以·=(a,-b)·(4a,-b)=4a2+b2,又因為|=,|=,所以cosBAM=,所以cosBAM的最小值是,因為sin2BAM+cos2BAM=1,sinBAM>0,所以sinBAM的最大值為.答案:15.(2014·臺州模擬)設(shè)kR,若1x2時恒有x3-3x

9、2+2(1-k)x+10,則k的取值集合是.【解析】因為1x2時,恒有(1-k)x+10,所以所以k2,x3-3x2+2(1-k)x+1,則1-kx2-3x+,設(shè)f(x)=x2-3x+,f'(x)=2x-3-,設(shè)f'(x)=0在1x2時的解為a,所以函數(shù)f(x)在(1,a)上單調(diào)遞減,在(a,2)上單調(diào)遞增,因為f(1)=-1,f(2)=-,所以f(x)max=f(1)=-1.所以1-k-1,所以k2.所以k的取值集合是2.答案:216.(2014·濰坊模擬)已知a>0,b>0,且a+2b=1,則+的最小值為.【解析】+=+=3+3+2=3+2.即+的最小

10、值為3+2.答案:3+2B組(30分鐘76分)一、選擇題(每小題5分,共60分)1.(2014·瀏陽模擬)設(shè)a,bR,若a-|b|>0,則下列不等式中正確的是()A.b-a>0B.a3+b3<0C.b+a>0D.a2-b2<0【解題提示】可以根據(jù)a-|b|>0去掉絕對值號得到a與b的大小關(guān)系,從而作出判斷,亦可以在a,bR的前提下取滿足a-|b|>0的特殊實數(shù)a,b驗證.【解析】選C.方法一:由a-|b|>0,得a>|b|,所以-a<b<a,所以a+b>0且a-b>0,所以b-a<0,A錯.a3+b3

11、=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)>0,所以B錯.而a2-b2=(a-b)(a+b)>0,所以D錯.方法二(特殊值法):因為a,bR且a-|b|>0,所以取a=2,b=-1.則b-a=-1-2=-3<0,所以A錯.a3+b3=8-1=7>0,所以B錯.a2-b2=22-(-1)2=3>0,所以D錯.2.已知向量a,b,滿足|a|=3,|b|=2,且a(a+b),則a與b的夾角為()A.B.C.D.【解析】選D.a(a+b)a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a|b|cos<a,b>=0,故cos<a,b&

12、gt;=-=-,故所求夾角為.3.直線ax+by+c=0的某一側(cè)的點P(m,n),滿足am+bn+c<0,則當(dāng)a>0,b<0時,該點位于該直線的()A.右上方B.右下方C.左下方D.左上方【解析】選D.因為am+bn+c<0,b<0,所以n>-m-.所以點P所在的平面區(qū)域滿足不等式y(tǒng)>-x-,a>0,b<0.所以->0.故點P在該直線的上側(cè),綜上知,點P在該直線的左上方.4.(2014·紹興模擬)已知約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域D如圖所示,其中l(wèi)1,l2,l3對應(yīng)的直線方程分別為:y=k1x+b1,y=k2x+b2,y=k3x+b

13、3,若目標(biāo)函數(shù)z=-kx+y僅在點A(m,n)處取到最大值,則有()A.k1<k<k2B.k1<k<k3C.k1kk3D.k<k1或k>k3【解析】選B.因為z=-kx+y僅在點A(m,n)處取得最大值,則由y=kx+z,可知k1<k<k3.5.(2014·黃岡模擬)在ABC中,(-3),則角A的最大值為()A.B.C.D.【解析】選A.由(-3),可得(-3)·=0.化簡可得|cosB=3|cos(-C).cosA=+,0<A<.所以0<A.6.已知正項等比數(shù)列an滿足:a3=a2+2a1,若存在兩項am,

14、an使得=4a1,則+的最小值為()A.B.C.D.不存在【解析】選A.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>0),因為a3=a2+2a1,所以a1q2=a1q+2a1,解之得q=2.又=4a1,所以qm+n-2=16,所以2m+n-2=16.因此m+n=6.則（+）(m+n)=5+9.當(dāng)且僅當(dāng)n=2m(即n=4,m=2)時取等號.所以（+）(m+n)的最小值為9,從而+的最小值為.7.(2014·天津高考)已知菱形ABCD的邊長為2,BAD=120°,點E,F分別在邊BC,DC上,BE=BC,DF=DC.若·=1,·=-,則+=()A.B.C.D.【解析

15、】選C.因為BAD=120°,所以·=··cos120°=-2.因為BE=BC,所以=+,=+.因為·=1,所以·=1,即2+2-=同理可得-=-,+得+=.8.設(shè)x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,則|a+b|=()A.B.C.2D.10【解析】選B.因為a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),由ac,得a·c=2x-4=0,所以x=2.由bc,得1×(-4)-2y=0,所以y=-2.因此a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),則|a+b|=.

16、9.設(shè)x,y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為12,則+的最小值為()A.B.C.D.4【解題提示】先由已知結(jié)合線性規(guī)劃知識可以求得a,b的關(guān)系式,再由基本不等式求解.【解析】選A.不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.當(dāng)直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(4,6)時,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6.所以+=+·=+2=.【方法技巧】線性規(guī)劃問題的求解關(guān)注線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想.

17、需要關(guān)注的是:(1)準(zhǔn)確無誤地作出可行域.(2)畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時,要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較,避免出錯.(3)一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.10.(2014·溫州模擬)在ABC中,若·>|2,則有()A.|>|B.|>|C.|>|D.|>|【解析】選D.因為·>|2,所以|·|·cosA>|2,所以|·cosA>|.因為|cosA是在上的投影,如圖.所以|cosA=|>|,所以必須C為鈍角時才能滿足|cosA>|.根據(jù)大角

18、對大邊得|最長.故選D.11.(2014·臺州模擬)在ABC中,=(cos18°,cos72°),=(2cos63°,2cos27°),則ABC的面積為()A.B.C.D.【解析】選B.·=2cos 18°cos 63°+2cos 72°cos 27°=2sin 27°cos 18°+2cos 27°sin 18°=2sin(27°+18°)=2sin45°=.而|=1,|=2,所以cosB=,所以sinB=,所以SABC=|

19、sinB=.12.定義maxa,b=設(shè)實數(shù)x,y滿足約束條件且z=max4x+y,3x-y,則z的取值范圍為()A.-6,0B.-7,10C.-6,8D.-7,8【解析】選B.因為(4x+y)-(3x-y)=x+2y,所以z=直線x+2y=0將約束條件所確定的平面區(qū)域分為兩部分.如圖,令z1=4x+y,點(x,y)在四邊形ABCD上及其內(nèi)部,求得-7z110;令z2=3x-y,點(x,y)在四邊形ABEF上及其內(nèi)部(除AB邊),求得-7z28.綜上可知,z的取值范圍為-7,10.故選B.二、填空題(每小題4分,共16分)13.已知函數(shù)f(x)=若f(2-a2)>f(a),則實數(shù)a的取值范圍是.【解析】f(x)=由f(x)的圖象可知f(x)在(-,+)上是單調(diào)增函數(shù),由f(2-a2)>f(a)得2-a2&g