1、2017年05月21日數(shù)學(xué)(因式分解難題)2一.填空題(共10小題)1 .已知 x+y=10, xy=16,貝 x2y+xy2 的值為.2 .兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成2 (x-1) (x-9);另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)分解成 2 (x-2) (x-4), 請(qǐng)你將原多項(xiàng)式因式分解正確的結(jié)果寫出來：.3 .若多項(xiàng)式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，則 m的值是.4 .分解因式：4x2 - 4x - 3=.5 .利用因式分解計(jì)算：2022+202X 196+982=.6 . AABC三邊 a, b, c滿足 a2+b2+c2=ab+bc+ca,則 A

2、BC的形狀是.7 .計(jì)算：12 - 22+32- 42+52- 62+1002+1012=.8 .定義運(yùn)算a*b= (1-a) b,下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的四個(gè)結(jié)論：2* ( - 2) =3 a*b=b-若 a+b=O,貝 (a* a) + (bb) =2ab若 a*b=0,則 a=1 或 b=0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)).9 .如果 1+a+a+a3=0,代數(shù)式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=.10 .若多項(xiàng)式x2-6x-b可化為(x+a) 2- 1,則b的值是.二.解答題(共20小題)11 .已知n為整數(shù)，試說明(n+7) 2- (n-3) 2

3、的值一定能被20整除.12 .因式分解：4x2y 4xy+y.13 .因式分解(1) a3 - ab2(2) (x-y) 2+4xy.14 .先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若 m2+2mn+2i2i- 6n+9=0,求 m和 n 的值.解：= m+2mn+2l- 6n+9=0m2+2mn+r+n2 - 6n+9=0(m+n 2+ (n - 3) 2=0 m+n=0 n - 3=0m=- 3, n=3問題：(1)若 x2+2y2 - 2xy+4y+4=0,求 xy 的值.(2)已知 ABC的三邊長(zhǎng)a, b, c都是正整數(shù)，且滿足 a2+b2- 6a-6b+18+|3-c|=0 ,請(qǐng)問 AB

4、C是怎樣形狀的三角形？15.如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”.如 4=22- 02, 12=42- 22, 20=62- 42,因此 4, 12, 20 這三個(gè)數(shù)都 是和諧數(shù).(1) 36和2016這兩個(gè)數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k (其中k取非負(fù)整數(shù))，由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？(3)介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和為 .16.如圖1,有若干張邊長(zhǎng)為a的小正方形、長(zhǎng)為b寬為a的長(zhǎng)方形以及邊長(zhǎng)為b的大正方形的紙片.(1)如果現(xiàn)有小正方形1張，大正方形2張，長(zhǎng)方形3張，請(qǐng)你將它們 拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形

5、 (在圖2虛線框中畫出圖形)，并運(yùn)用面積之間的關(guān)系，將 多項(xiàng)式a2+3ab+24分解因式.(2)已知小正方形與大正方形的面積之和為169,長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為34,求長(zhǎng)方形的面積.(3)現(xiàn)有三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張， 把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形(按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接)，求可以拼成多少種邊長(zhǎng)不同的正方形.17 . (1)有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖 1所示，用若干塊這樣的硬紙片 拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，如圖2.用兩種不同的方法，計(jì)算圖2中長(zhǎng)方形的面積；由此，你可以得出的一個(gè)等式為： .(2)有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖 3所示.請(qǐng)你用拼圖等方法推出一個(gè)

6、完全平方公式，畫出你的拼圖；請(qǐng)你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖.18 .已知 a+b=1, ab=- 1,設(shè) s尸a+b, S2=a2+b2, S3=a3+b3,，sn=an+bn(1)計(jì)算S2；(2)請(qǐng)閱讀下面計(jì)算S3的過程：因?yàn)?a+b=1, ab=- 1,所以 S3=a3+b3= (a+b) (a2+b2) - ab (a+b) =1XS2- (T) =S2+1=你讀懂了嗎？請(qǐng)你先填空完成(2)中S3的計(jì)算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計(jì)算S4.(3)試寫出Sn-2, Sn-1, Sn三者之間的關(guān)系式；(4)根據(jù)(3)得出的結(jié)論，計(jì)算S6.19 . (1)利用

7、因式分解簡(jiǎn)算：+X +(2)分解因式：4a (a 1) 2 (1 - a)20 .閱讀材料：若 m2 - 2mn+2ri- 8n+16=0,求 mi n 的值.解：m2 - 2mn+2ni- 8n+16=0,(m2-2mn+rn) + (n2-8n+16) =0(m- n) 2+ (n-4) 2=0,( m- n) 2=0, (n-4) 2=0, . n=4, m=4根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0,求 x-y 的值.(2)已知 ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足 a2+b2 - 6a- 8b+25=0, 求 ABC的最大邊c的值.(3)已知

8、 a - b=4, ab+c26c+13=0,貝 Uab+c=.21 .仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項(xiàng)式 x2-4x+m有一個(gè)因式是(x+3),求另一個(gè)因式以及 m 的化解：設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得 x2 4x+m=(x+3) (x+n),則 x2 4x+m=x+ (n+3)x+3nn+3= 4m=3n解得：n=- 7, m=- 21丁另一個(gè)因式為(x-7), m的值為-21.問題：(1)若二次三項(xiàng)式X2 5x+6可分解為(X 2) (x+a),貝U a=；(2)若二次三項(xiàng)式2x2+bx5可分解為(2x1) (x+5),貝U b=;(3)仿照以上方法解答下面問題：已知二次三

9、項(xiàng)式2x2+5x-k有一個(gè)因式是(2x-3),求另一個(gè)因式以及k的值.22 .分解因式：(1) 2x2 - x;(2) 16x2- 1;(3) 6xy2 - 9x2y - y3;(4) 4+12 (x-y) +9 (x-y) 2.23 .已知a, b, c是三角形的三邊，且滿足(a+b+c) 2=3 (a2+b2+c2),試確定 三角形的形狀.24 .分解因式(1) 2x4 - 4x2y2+2y4(2) 2a3 - 4a2b+2ab2.25 .圖是一個(gè)長(zhǎng)為2m寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊 小長(zhǎng)方形，然后按圖的形狀拼成一個(gè)正方形.(1)圖中的陰影部分的面積為 一；(2)觀察圖請(qǐng)

10、你寫出三個(gè)代數(shù)式(m+n 2、(nrr n) 2、mn之間的等量關(guān)系是.(3)若 x+y=7, xy=10,貝U (x-y) 2=.(4)實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示.如圖，它表小了 .(5)試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示( m+n (m+3n =m2+4mn+3n.26 .已知 a、b、c滿足 a-b=8, ab+c2+16=0,求 2a+b+c 的值.27 .已知：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為正整數(shù)a、b、c,且滿足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006求：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積.28 . (x2-4x) 2-2 (x2- 4x) - 15.29 .閱讀下列因式分

11、解的過程，再回答所提出的問題:21+x+x (x+1) +x (x+1) =(1+x) 1+x+x (x+1)=(1+x) 2 (1+x)=(1+x) 3(1)上述分解因式的方法是 ,共應(yīng)用了一次.(2)若分解 1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+ - +x (x+1) 20°4,則需應(yīng)用上述方法 次， 結(jié)果是(3)分解因式:1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+ +x (x+1) n (n 為正整數(shù)).30 .對(duì)于多項(xiàng)式x3- 5x2+x+10,如果我們把x=2代入此多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式x3 -5x2+x+10=O,這時(shí)可以斷定多項(xiàng)式中有因式(x-2)(注：把x=a

12、代入多項(xiàng) 式能使多項(xiàng)式的值為0,則多項(xiàng)式含有因式(x-a),于是我們可以把多項(xiàng)式 寫成：x3 - 5x2+x+10= (x-2) (x2+mx+n,(1)求式子中m n的值；(2)以上這種因式分解的方法叫試根法，用試根法分解多項(xiàng)式x3-2x2- 13x-10的因式.2017年05月21日數(shù)學(xué)(因式分解難題)2參考答案與試題解析一.填空題(共10小題)1. (2016秋?望謨縣期末)已知x+y=10, xy=16,則x【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法將 2 (x-1) (x-9)展開得到二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng); 將2 (x-2) (x-4)展開得到二次項(xiàng)、一次項(xiàng).從而得到原多項(xiàng)式，再對(duì)該 多項(xiàng)式提取公因式2后利

13、用完全平方公式分解因式.【解答】 解：V 2 (x- 1) (x-9) =2x2 20x+18; (x-2) (x-4) =2x2- 12x+16;原多項(xiàng)式為2x2- 12x+18.2x2- 12x+18=2 (x2- 6x+9) =2 (x-3)y+xy2的值為 160 .【分析】首先提取公因式xy,進(jìn)而將已知代入求出即可.【解答】解：= x+y=10, xy=16, x2y+xy2=xy (x+y) =10X 16=160.故答案為：160.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵.2. (2016秋?新賓縣期末)兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)

14、了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成2 (x-1) (x-9);另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)分解成2 (x-2) (x-4),請(qǐng)你將原多項(xiàng)式因式分解正確的結(jié)果寫出來：2 (x【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)錯(cuò)誤解法得到原多項(xiàng)式是解答本題的關(guān)鍵. 二次三項(xiàng)式分解因式， 看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，但二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)正確；看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，但二次項(xiàng)、一次 項(xiàng)正確.3. (2015春？昌邑市期末)若多項(xiàng)式x2+mx+4用完全平方公式分解因式，則m的值是 ±4 .【分析】利用完全平方公式(a+b) 2= (a-b) 2+4ab、(a-b) 2= (a+b) 2- 4ab 計(jì)算即可.【解答】解：= x2+mx+4=(x±2) 2,即 x2

15、+mx+4=x± 4x+4,m=± 4.故答案為：± 4.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，熟記有關(guān)完全平方的幾個(gè)變形公式 是解題關(guān)鍵.4. (2015秋?利川市期末)分解因式：4x2- 4x- 3= (2x-3) (2x+1).【分析】ax2+bx+c (aw0)型的式子的因式分解，這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)日, a的積ai?a2,把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)G, C2 的積c?c2,并使aiC2+a2Ci正好是一次項(xiàng)b,那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c= (ax+ci) (a2x+C2),進(jìn)而得出答案.【解答】 解：4x2 - 4x -

16、 3= (2x-3) (2x+1).故答案為：(2x-3) (2x+1).【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確分解各項(xiàng)系數(shù)是解題關(guān)鍵.5. (2015春?東陽市期末)利用因式分解計(jì)算：2022+202X 196+982= 90000 . 【分析】通過觀察，顯然符合完全平方公式.【解答】解：原式=2022+2x202x98+9，=(202+98) 2二3002=90000.【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用公式法可以簡(jiǎn)便計(jì)算一些式子的值.6. (2015秋?浮梁縣校級(jí)期末) ABCS邊 a, b, c滿足 a2+b2+c2=ab+bc+ca, 則 ABC的形狀是 等邊三角形 .【分析】分析題目所給的式子，將

17、等號(hào)兩邊均乘以2,再化簡(jiǎn)得(a-b) 2+ (a-c) 2+ (b-c) 2=0,得出：a=b=c,即選出答案.【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等號(hào)兩邊均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,即 a2 - 2ab+t2+a2- 2ac+c2+b2 - 2bc+c2=0,即(a-b) 2+ (a-c) 2+ (b-c) 2=0,解得：a=b=c,所以， ABC是等邊三角形.故答案為：等邊三角形.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的應(yīng)用；利用等邊三角形的判定，化簡(jiǎn)式子得 a=b=c,由三邊相等判定 ABO等邊三角形.7. (2015 秋?鄂托克旗校級(jí)期末)計(jì)算：12

18、- 22+32 - 42+52 - 62+ - - 1002+1012=5151 .【分析】通過觀察，原式變?yōu)?+(32- 22)+(52-42)+ (1012-1002),進(jìn)一步運(yùn)用高斯求和公式即可解決.【解答】 解：12- 22+32- 42+52- 62+ - - 1002+1012=1+ (32 22) + (52 - 42) + ( 10 12 T002)=1+ (3+2) + (5+4) + (7+6) + + (101+100)=(1+101) X 101 + 2=5151.故答案為：5151.【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用，分組分解，利用平方差公式解決問題.8. (2015

19、秋?樂至縣期末)定義運(yùn)算a*b= (1 - a) b,下面給出了關(guān)于這種運(yùn) 算的四個(gè)結(jié)論：2* ( - 2) =3 a*b=b-若 a+b=O,貝 (a* a) + (bb) =2ab若 a*b=0,則 a=1 或 b=0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)).【分析】根據(jù)題中的新定義計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷.【解答】解：2* (-2) = (1-2) X (-2) =2,本選項(xiàng)錯(cuò)誤；a*b= (1-a) b, ba= (1 - b) a,故a*b不一定等于ba,本選項(xiàng)錯(cuò)誤；若 a+b=0,貝 (a*a) + (bb) = (1a) a+ (1 b) b=a- a2+b b

20、2=- a2-b2= - 2a2=2ab,本選項(xiàng)正確；若a*b=0,即(1 - a) b=0,則a=1或b=0,本選項(xiàng)正確，其中正確的有.故答案為.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新 定義是解本題的關(guān)鍵.9. (2015春?張掖校級(jí)期末)如果 1+a+a+a=0,代數(shù)式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0 .【分析】4項(xiàng)為一組，分成2組，再進(jìn)一步分解因式求得答案即可.【解答】解：= 1+a+a2+a3=0,a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8,=a (1+a+a2+a3) +a5 (1+a+a2+a3),=0+0,=0.故答案是：0.【點(diǎn)

21、評(píng)】此題考查利用因式分解法求代數(shù)式的值，注意合理分組解決問題.10. (2015春？昆山市期末)若多項(xiàng)式 x2- 6x-b可化為(x+a) 2T,則b的 值是 -8 .【分析】利用配方法進(jìn)而將原式變形得出即可.【解答】 解：x2 - 6x- b= (x 3) 2 - 9- b= (x+a) 2 1,a=- 3, - 9- b=- 1,解得：a= - 3, b= - 8.故答案為：-8.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)題意正確配方是解題關(guān)鍵.二解答題(共20 小題)11. 已知n為整數(shù),試說明(n+7) 2- (n-3) 2的值一定能被20整除.【分析】用平方差公式展開(n+7) 2-

22、(n-3) 2,看因式中有沒有20即可.【解答】 解：(n+7) 2- (n-3) 2= (n+7+n- 3) (n+7- n+3) =20 (n+2),. (n+7) 2 - (n-3) 2的值一定能被20整除.【點(diǎn)評(píng)】主要考查利用平方差公式分解因式.公式：a2- b2= (a+b) (a-b).12 (2016秋?農(nóng)安縣校級(jí)期末)因式分解：4x2y-4xy+y.【分析】先提取公因式y(tǒng),再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解.【解答】解：4x2y - 4xy+y=y (4x2- 4x+1)=y (2x -1)2.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提

23、取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止13 ( 2015 秋 ?成都校級(jí)期末)因式分解(1) a3 - ab2(2) (x-y) 2+4xy.【分析】(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可;2)原式利用完全平方公式分解即可【解答】解：(1)原式二a (a2 b2) =a (a+b) (ab);(2) 原式=x2- 2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2= (x+y) 2.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.14. (2015春?甘肅校級(jí)期末)先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若 n2+2mn+2i2

24、i- 6n+9=0,求 m和 n 的值.解：= m+2mn+2n- 6n+9=0ni+2mn+n+n2 - 6n+9=0(m+n 2+ (n - 3) 2=0m+n=0 n - 3=0m=- 3, n=3問題：(1)若 x2+2y2 - 2xy+4y+4=0,求 xy 的值.(2)已知 ABC的三邊長(zhǎng)a, b, c都是正整數(shù)，且滿足 a2+b2- 6a-6b+18+|3-c|=0 ,請(qǐng)問 ABC是怎樣形狀的三角形？【分析】(1)首先把 x2+2y2 - 2xy+4y+4=0,配方彳4至U ( x - y) 2+ (y+2) 2=0,再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到x=y=-2,代入求得數(shù)值即可；(2)先

25、把 a2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0 ,配方得到(a- 3) 2+ (b-3) 2+|3 一 c|=0,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=b=c=3,得出三角形的形狀即可.【解答】解：(1) ; x2+2y2 - 2xy+4y+4=0x2+y2 - 2xy+y2+4y+4=0, (x-y) 2+ (y+2) 2=0x=y= 2(2) va2+b2- 6a- 6b+18+|3 - c|=0 ,.a2- 6a+9+b2- 6b+9+|3 - c|=0 ,(a-3) 2+ (b-3) 2+|3 - c|=0 a=b=c=3三角形AB佻等邊三角形.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用：通過配方，把已知條件

26、變形為幾個(gè)非負(fù)數(shù) 的和的形式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到幾個(gè)等量關(guān)系， 建立方程求得數(shù)值解 決問題.15. (2015秋?太和縣期末)如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差， 那么稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”.如 4=22- 02, 12=42 - 22, 20=62- 42,因止匕4, 12, 20這三個(gè)數(shù)都是和諧數(shù).(1) 36和2016這兩個(gè)數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k (其中k取非負(fù)整數(shù))，由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？(3)介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和為 2500 .【分析】(1)禾1J用36=102-82; 2016=505

27、"- 5032說明36是“和諧數(shù)”，2016 不是“和諧數(shù)”；(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為 2n, 2n+2 (n為自然數(shù))，則“和諧數(shù)” =(2n+2) 2-(2n) 2,利用平方差公式展開得到(2n+2+2n) (2n+2- 2n) =4 (2n+1),然 后利用整除性可說明“和諧數(shù)” 一定是 4的倍數(shù)；(3)介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”中，最小的為：22- 02=4,最大的為：502 482=196,將它們?nèi)看鮅出不難求出他們的和.【解答】 解： ( 1) 36 是“和諧數(shù)”， 2016 不是“和諧數(shù)”理由如下： 36=1C2-82; 2016=5052- 5032;( 2)

28、設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2 和 2k( n 為自然數(shù))，v (2k+2) 2 - (2k) 2= (2k+2+2k) (2k+2 - 2k)=(4k+2) x 2=4( 2k+1) ，.4 (2k+1)能被4整除， ”和諧數(shù)” 一定是4的倍數(shù)；( 3)介于 1 到 200 之間的所有“和諧數(shù)”之和，S= (22 - 02) + (42 - 22) + (62 - 42) + (502-482) =502=2500.故答案是：2500【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解把所求的代數(shù)式進(jìn)行變形，從而達(dá)到使計(jì)算簡(jiǎn)化16. (2015春?興化市校級(jí)期末)如圖1,有若干張邊長(zhǎng)為a的小正方形、長(zhǎng)

29、 為 b 寬為a 的長(zhǎng)方形以及邊長(zhǎng)為b 的大正方形的紙片(1)如果現(xiàn)有小正方形1張，大正方形2張，長(zhǎng)方形3張，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形(在圖 2 虛線框中畫出圖形)， 并運(yùn)用面積之間的關(guān)系，將多項(xiàng)式a2+3ab+2分解困式.( 2) 已知小正方形與大正方形的面積之和為169， 長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為34，求長(zhǎng)方形的面積（ 3）現(xiàn)有三種紙片各8 張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接），求可以拼成多少種邊長(zhǎng)不同的正方形【分析】（1）根據(jù)小正方形1張，大正方形2張，長(zhǎng)方形3張，直接畫出圖形，利用圖形分解因式即可；（2）由長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為

30、34,得出a+b=17,由題意可知：小正方形與大正 方形的面積之和為a2+b2=169,將a+b=17兩邊同時(shí)平方，可求得ab的值，從 而可求得長(zhǎng)方形的面積；（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為（na+mb,其中（n、m為正整數(shù)）由完全平方公式可知：（na+mb 2=n2a2+2nmab+nb2.因?yàn)楝F(xiàn)有三種紙片各 8張，n2<8, n2<8, 2mrnc8 （n、m為正整數(shù)）從而可知n<2, m<2,從而可得出答 案【解答】 解： （ 1）如圖：拼成邊為（a+2b）和（a+b）的長(zhǎng)方形22. a +3ab+2b= （a+2b） （a+b）；（2） .長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為34,a+b=17

31、.;小正方形與大正方形的面積之和為169, a2+b2=169.將a+b=17兩邊同時(shí)平方得：（a+b） 2=172,整理得：a2+2ab+t）=289,.-2ab=289- 169,ab=60，長(zhǎng)方形的面積為60.（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為（na+mb,其中（n、m為正整數(shù)）正方形的面積=（na+mb 2=n2a2+2nmab+nb2.現(xiàn)有三種紙片各8張，n2<8, n2<8, 2mme8 （n、m為正整數(shù)）n<2,2.共有以下四種情況；n=1, m=1,正方形白邊長(zhǎng)為a+b;n=1, m=2正方形白邊長(zhǎng)為a+2b；n=2, m=1,正方形白邊長(zhǎng)為2a+b；n=2, m=2正方

32、形白邊長(zhǎng)為2a+2b.【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的運(yùn)用，要注意結(jié)合圖形解決問題，解題的關(guān)鍵是 靈活運(yùn)用完全平方公式.17. （2014秋?萊城區(qū)校級(jí)期中）（1）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，如圖 2.用兩種不同的方法，計(jì)算圖2中長(zhǎng)方形的面積；由此，你可以得出的一個(gè)等式為：a2+2a+1=（a+1） 2 .（2）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖 3所示.請(qǐng)你用拼圖等方法推出一個(gè)完全平方公式，畫出你的拼圖；請(qǐng)你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖.【分析】（1）要能根據(jù)所給拼圖運(yùn)用不同的計(jì)算面積的方法，來推導(dǎo)公式；（2）

33、要能根據(jù)等式畫出合適的拼圖.【解答】解：(1)長(zhǎng)方形的面積=a2+2a+1；長(zhǎng)方形的面積=(a+1) 2;a2+2a+1= (a+1) 2;(2)如圖，可推導(dǎo)出(a+b) 2=a2+2ab+t2；2a2+5ab+26= (2a+b) (a+2b).【點(diǎn)評(píng)】本題考查運(yùn)用正方形或長(zhǎng)方形的面積計(jì)算推導(dǎo)相關(guān)的一些等式；運(yùn)用圖形的面積計(jì)算的不同方法得到多項(xiàng)式的因式分解.18. (2013秋?海淀區(qū)校級(jí)期末)已知 a+b=1, ab=- 1,設(shè)s產(chǎn)a+b, S2=a2+b2,S3=a3+b3,，Sn=an+bn(1)計(jì)算S2；(2)請(qǐng)閱讀下面計(jì)算S3的過程：因?yàn)?a+b=1, ab=- 1,所以 S3=a

34、3+b3= (a+b) (a2+b2) - ab (a+b) =1XS2- (- 1) =S2+1= 4你讀懂了嗎？請(qǐng)你先填空完成(2)中S3的計(jì)算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計(jì)算S4.(3)試寫出Sn-2, Sn-1, Sn三者之間的關(guān)系式；(4)根據(jù)(3)得出的結(jié)論，計(jì)算S6.【分析】(1) (2)利用完全平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入 a+b, ab的值，即可 推出結(jié)論；(3)根據(jù)(1)所推出的結(jié)論，即可推出 S2+S1=S；(4)根據(jù)(3)的結(jié)論，即可推出a6+b6=&-S+S=2S+4.【解答】解：(1) S2=a2+b2= (a+b) 2-2ab=3；(2) ;( a2+b2) (a

35、+b) =a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab (a+b), .3x1=a3+b3- 1, .，a3+b3=4,即 S3=4;.S= (a2+b2) 2 2 (ab) 2=7, .3=7;(3) ,. S2=3, 0=4, 3=7,. S+S=&,. S 2+S 產(chǎn)s；(4) . $ 2+S i=S, &=3, 4=4, 3=7,.$=4+7=11,.8=7+11=18.關(guān)鍵在于根據(jù)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的混合運(yùn)算、完全平方公式的運(yùn)用, 題意才t出&=3, S3=4, 3=7,分析歸納出規(guī)律：S. 2+S尸S.19. (2013春?重慶校級(jí)期末)(1)利用因式

36、分解簡(jiǎn)算：+X +(2)分解因式：4a (a1) 2 (1 - a)【分析】(1)利用完全平方公式因式分解計(jì)算即可；(2)先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可.【解答】解：(1)原式=+2X X +=(+) 2=100;(2) 4a (a- 1) 2 - (1 - a)=(a- 1) (4a2 - 4a+1)=(a- 1) (2a- 1) 2.【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用，掌握平方差公式和完全平方公式是解 決問題的關(guān)鍵.20. (2013春?惠山區(qū)校級(jí)期末)閱讀材料：若 m2- 2mn+2ni-8n+16=0,求m n的值.解：m2 - 2mn+2ni- 8n+16=0,(

37、 m-2mn+rn) + (n2-8n+16) =0(m- n) 2+(n-4)2=0,( m-n)2=0,(n-4)2=0, . n=4,m=4根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0,求 x-y 的值.(2)已知 ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足 a2+b2 - 6a- 8b+25=0, 求 ABC的最大邊c的值.(3)已知 a - b=4, ab+c2- 6c+13=0,則 a - b+c= 7 .【分析】(1)將多項(xiàng)式第三項(xiàng)分項(xiàng)后，結(jié)合并利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,兩非負(fù)數(shù)分別為0求出x與y的值，即可求出x-y的值;(2)

38、將已知等式25分為9+16,重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù) 兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,兩非負(fù)數(shù)分別為0求出a與b的值，根據(jù)邊長(zhǎng)為正整數(shù) 且三角形三邊關(guān)系即可求出c的長(zhǎng)；(3)由a-b=4,得到a=b+4,代入已知的等式中重新結(jié)合后，利用完全平方 公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為 0,兩非負(fù)數(shù)分別為0求出b與c的值，進(jìn) 而求出a的值，即可求出a-b+c的值.【解答】 解：(1)x2+2xy+2y2+2y+1=0(x2+2xy+y2) + (y2+2y+1) =0(x+y) 2+ (y+1) 2=0x+y=0 y+1=0解得 x=1, y=- 1x - y=2;(2) va2+b2-6a- 8b+

39、25=0(a2 - 6a+9) + (b2 - 8b+16) =0(a-3) 2+ (b-4) 2=0 a-3=0, b-4=0解得 a=3, b=4.三角形兩邊之和 > 第三邊 c<a+b, c<3+4 c<7,又c是正整數(shù)，c最大為6;(3) a - b=4,即 a=b+4,代入得：(b+4) b+c2 - 6c+13=0,整理得：(b2+4b+4) + (c2-6c+9) = (b+2) 2+ (c-3) 2=0,b+2=0,且 c - 3=0,即 b=- 2, c=3, a=2,則 a - b+c=2 - (-2) +3=7.故答案為：7.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式

40、分解的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方 公式是解本題的關(guān)鍵.21. (2012秋?溫嶺市校級(jí)期末)仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項(xiàng)式 x . (2x-1) (x+5) =2x2+9x-5=2x2+bx-5,-4x+m有一個(gè)因式是(x+3),求另一個(gè)因式以及 m的化解：設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得 x2 4x+m=(x+3) (x+n),則 x2 4x+m=X+ (n+3)x+3nn+3=- 4m=3n解得：n=- 7, m=- 21丁另一個(gè)因式為(x-7), m的值為-21.問題：(1)若二次三項(xiàng)式x2 5x+6可分解為(x-2) (x+a),貝U a=3;(2)若二次三

41、項(xiàng)式2x2+bx5可分解為(2x1) (x+5),貝U b= 9 ;(3)仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項(xiàng)式2x2+5x-k有一個(gè)因式是(2x-3),求另一個(gè)因式以及k的值.【分析】(1)將(x-2) (x+a)展開，根據(jù)所給出的二次三項(xiàng)式即可求出a的值；(2) (2x-1) (x+5)展開，可得出一次項(xiàng)的系數(shù)，繼而即可求出b的值；(3)設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得 2x2+5xk= (2x 3) (x+n) =2x2+ (2n-3)x- 3n,可知2n- 3=5, k=3n,繼而求出n和k的值及另一個(gè)因式.【解答】 解：(1) ; (x-2) (x+a) =x2+ (a-2) x -

42、2a=x2- 5x+6,a - 2=- 5,解得：a=- 3;b=9；(3)設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得 2x2+5xk= (2x 3) (x+n) =2x2+ (2n 3)x- 3n,則 2n-3=5, k=3n,解得：n=4， k=12，故另一個(gè)因式為(x+4) ， k 的值為 12故答案為：(1) -3; (2分)(2) 9; (2分)(3)另一個(gè)因式是x+4, k=12 (6分) 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對(duì)題中所給解題思路的理解，同時(shí)要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式22 ( 2012 春 ?郯城縣期末)分解因式：(1

43、) 2x2 - x;(2) 16x2- 1;(3) 6xy2 - 9x2y - y3;(4) 4+12 (x-y) +9 (x-y) 2.【分析】(1)直接提取公因式x即可；( 2)利用平方差公式進(jìn)行因式分解；(3)先提取公因式-y,再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解；(4)把(x-y)看作整體，利用完全平方公式分解因式即可.【解答】解：(1) 2x2 - x=x (2x - 1);(2) 16x2 1= (4x+1) (4x 1);(3) 6xy2-9x2y - y3,=-y (9x2 - 6xy+y2),2=-y (3x y);(4) 4+12 (x-y) +9 (x-y),=2+3

44、 (x-y) 2,2=(3x- 3y+2).【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了提公因式法與公式法分解因式，是因式分解的常用方法，難點(diǎn)在(3),提取公因式-y后，需要繼續(xù)利用完全平方公式進(jìn)行二次因式分 解23( 2012春 ?碑林區(qū)校級(jí)期末)已知a， b， c 是三角形的三邊，且滿足 ( a+b+c)2=3( a2+b2+c2) ，試確定三角形的形狀【分析】 將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題【解答】解：V (a+b+c) 2=3 (a2+b2+c2), a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, =3a2+3b2+3c2,a2+b2- 2ab+t2+c2- 2bc+a2+c2 - 2ac=0,即

45、(ab) 2+ (b c) 2+ (ca) 2=0, a-b=0, b- c=0, c- a=0,.二 a=b=c,故 ABC為等邊三角形.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷關(guān)鍵是將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題.24. (2011秋?北辰區(qū)校級(jí)期末)分解因式(1) 2x4 - 4x2y2+2y4(2) 2a3-4a2b+2ab2.【分析】(1)原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(1) 2x4 - 4x2y2+2y4=2 (x4- 2x2y2+y4)=2 (x2- y2) 2=2 (

46、x+y) 2 (x-y) 2;(3) 2a3 - 4a2b+2ab2=2a (a2-2ab+t2)=2a (a - b) 2.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，提取公因式后利用公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底.25. (2011秋?蘇州期末)圖是一個(gè)長(zhǎng)為2m寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線 用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖的形狀拼成一個(gè)正方形.(1)圖中的陰影部分的面積為(mn- n) 2 ；(2)觀察圖請(qǐng)你寫出三個(gè)代數(shù)式(m+n 2、(m- n) 2、mn之間的等量關(guān)系 是 (m+n 2 - (m- n) 2=4mn .(3)若 x+y=7, xy=10,貝U (x-y) 2=

47、 9 .(4)實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示.如圖，它表示了(m+n (2m+n =2n2+3mn+n .(5)試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示( m+n (m+3n =n2+4mn+3n.【分析】(1)可直接用正方形的面積公式得到.(2)掌握完全平方公式，并掌握和與差的區(qū)別.(3)此題可參照第(2)題.(4)可利用各部分面積和=長(zhǎng)方形面積列出恒等式.(5)可參照第(4)題畫圖.【解答】解：(1)陰影部分的邊長(zhǎng)為(m-n),陰影部分的面積為(m- n) 2；(2) (m+n 2- ( m- n) 2=4mn(3) (x-y) 2= (x+y) 2-4xy=72- 40=9;2

48、2(4) (m+n (2m+n =2m+3mn+n；(5)答案不唯一：例如：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是認(rèn)真觀察題中給出的圖示， 用不同的形式去表示面積，熟練掌握完全平方公式，并能進(jìn)行變形.26. (2009秋？海淀區(qū)期末)已知 a、b、c 滿足 a- b=8, ab+c2+16=0,求 2a+b+c 的化【分析】本題乍看下無法代數(shù)求值，也無法進(jìn)行因式分解；但是將已知的兩個(gè) 式子進(jìn)行適當(dāng)變形后，即可找到本題的突破口.由 a-b=8可得a=b+8；將其 代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0;此時(shí)可發(fā)現(xiàn)b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出

49、b、 c 的值，進(jìn)而可求得a 的值；然后代值運(yùn)算即可【解答】解：因?yàn)閍b=8,所以a=b+8 （ 1 分）又 ab+c2+16=0，所以（b+8） b+c2+16=0 （ 2 分）即（b+4） 2+c2=0又（b+4） 2>0, c2>0,b=- 4, c=0. （4 分）所以a=4， （ 5分）所以2a+b+c=4 （ 6 分）【點(diǎn)評(píng)】 本題既考查了對(duì)因式分解方法的掌握，又考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法27. （ 2010 春 ?北京期末）已知：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為正整數(shù)a、 b、c,且滿足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006求：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積【分析

50、】我們可先將a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可變?yōu)椋╝+1） （b+1） （c+1）-1,就得（1+b） （c+1） （a+1） =2007,由于 a、b、c 均為正整數(shù)，所以（a+1）、 （b+1）、（c+1）也為正整數(shù)，而2007只可分解為3X3X223,可得（a+1）、（b+1）、 （c+1）的值分別為3、3、223,所以a、b、c值為2、2、222.就可求出長(zhǎng)方 體體積abc 了.【解答】 解：原式可化為：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1- 1=2006,a (1+b) +c (1+b) +ac (1+b) + (1+b) - 1=2006,( 1+b) ( a+c+ac) +( 1+b) =2007，( 1+b) ( c+1+a+ac) =2007，( 1+b) ( c+1) ( a+1) =2007，2007只能分解為3X3X223(a+1)、(b+1)、(c+1)也只能分別為 3、3、223.a、b、c也只能分別為2、2、222長(zhǎng)方體的體積a