1、11.3.2 1.3.2 “楊輝三角楊輝三角”與二次項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)與二次項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì) 2一般地，對(duì)于一般地，對(duì)于n N*有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二項(xiàng)定理二項(xiàng)定理:新課引入新課引入二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些？共二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些？共有多少個(gè)？有多少個(gè)？ 下面我們來(lái)研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性下面我們來(lái)研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過(guò)觀察質(zhì)？我們先通過(guò)觀察n為特殊值時(shí)，二項(xiàng)式為特殊值時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？系數(shù)有什么特點(diǎn)？31615 20 1561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)

2、20 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C(a+b)6111211331146411510 1051(a+b)n0 06 6C C1 16 6C C2 26 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C CCn0Cn1Cn2CnrCnn011()n

3、nnrn rrnnnnnna+bC aC abC abC b4(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6議一議議一議1 1）請(qǐng)看系數(shù)有沒(méi)有明顯的規(guī)律？）請(qǐng)看系數(shù)有沒(méi)有明顯的規(guī)律？2 2）上下兩行有什么關(guān)系嗎？上下兩行有什么關(guān)系嗎？ 3 3）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下面的系數(shù)嗎根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下面的系數(shù)嗎?5每行兩端都是每行兩端都是1 Cn0= Cnn=1從第二行起，每行除從第二行起，每行除1以外的每一個(gè)數(shù)都等以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(

4、a+b)5(a+b)6+這個(gè)表叫做二項(xiàng)式系數(shù)這個(gè)表叫做二項(xiàng)式系數(shù)表表, ,也稱也稱“楊輝三角楊輝三角”6二項(xiàng)式系數(shù)的函數(shù)觀點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)的函數(shù)觀點(diǎn) 展開(kāi)式的二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：系數(shù)依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 從函數(shù)角度看，從函數(shù)角度看， 可看可看成是以成是以r為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù) , ,其定義域是：其定義域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0當(dāng)當(dāng)n=6時(shí)，其圖象是時(shí)，其圖象是7個(gè)孤立點(diǎn)個(gè)孤立點(diǎn)定義域定義域0,1,2, ,n rnCrf )(7二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) （1 1）對(duì)稱性）對(duì)稱性 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩個(gè)

5、二項(xiàng)式系數(shù)相等的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等 這一性質(zhì)可直接由公式這一性質(zhì)可直接由公式 得到得到mnnmn CC圖象的對(duì)稱軸：圖象的對(duì)稱軸：2nr (a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)682 2、若（、若（a+ba+b）n n的展開(kāi)式中，第三項(xiàng)的二的展開(kāi)式中，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)式系數(shù)與 第五項(xiàng)的第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，二項(xiàng)式系數(shù)相等，1 1、在、在(a(ab)b)展開(kāi)式中，與倒數(shù)第三項(xiàng)二展開(kāi)式中，與倒數(shù)第三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等是項(xiàng)式系數(shù)相等是( )( )A A 第項(xiàng)第項(xiàng) B B 第項(xiàng)第項(xiàng) C C 第項(xiàng)第項(xiàng) D D 第項(xiàng)第項(xiàng)則則n=_n=_B B6 6請(qǐng)問(wèn)請(qǐng)問(wèn): :一般地

6、一般地, ,當(dāng)當(dāng)r r滿足什么范圍時(shí)，后一項(xiàng)滿足什么范圍時(shí)，后一項(xiàng)C Cn nk k比前一項(xiàng)比前一項(xiàng)C Cn nk-1k-1要大要大? ? 分析分析:以上問(wèn)題即以上問(wèn)題即C Cn nk k C Cn nk-1k-1時(shí)，求時(shí)，求k k的范圍的范圍? ?知識(shí)對(duì)接測(cè)查知識(shí)對(duì)接測(cè)查19（2 2）增減性與最大值）增減性與最大值 112111()()()CC()!kknnn nnnknkkkk 由于由于：所以所以 相對(duì)于相對(duì)于 的增減情況由的增減情況由 決定決定knC1Cknkkn1由由：2111nkkkn 即二項(xiàng)式系數(shù)即二項(xiàng)式系數(shù)前前半部分半部分是是逐漸增大逐漸增大的，由對(duì)稱性可知它的的，由對(duì)稱性可知它

7、的后后半部分是半部分是逐逐漸減小漸減小的，且的，且中間項(xiàng)取得最大值中間項(xiàng)取得最大值。21nk 可知，當(dāng)可知，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 10 因此因此, ,當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí), ,中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式2Cnn系數(shù)系數(shù) 取得最大值；取得最大值； 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí), ,中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 12Cnn 12Cnn 相等，且同時(shí)取得最大值。相等，且同時(shí)取得最大值。先增后減，先增后減，中間項(xiàng)取得最大值中間項(xiàng)取得最大值二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) （2 2）增減性與最大值）增減性與最大值 111.在在(1+x)4的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的

8、項(xiàng)是的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是 ； 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第 項(xiàng)項(xiàng).在在(1-x)11的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大為的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大為 ， .611C511C 在二項(xiàng)式在二項(xiàng)式(x-1)11的展開(kāi)式中的展開(kāi)式中, 求系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)。求系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)。4 46 62 2C C5 51 11 1最大的系數(shù)呢？最大的系數(shù)呢？知識(shí)對(duì)接測(cè)查知識(shí)對(duì)接測(cè)查2611462C 22246C xx312二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) （3 3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和）各二項(xiàng)式系數(shù)的和 在二項(xiàng)式定理中，令在二項(xiàng)式定理中，令 ，則：，則： 1bannnnnn2CCCC210 這就

9、是說(shuō)，這就是說(shuō)， 的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于數(shù)的和等于：nba)( n2同時(shí)由于同時(shí)由于 ，上式還可以寫成：，上式還可以寫成：1C0n12CCCC321nnnnnn這是這是組合總數(shù)公式組合總數(shù)公式 賦值法賦值法13例例1 1、證明：在證明：在( (ab)n展開(kāi)式中展開(kāi)式中, ,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和. . 3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C即證：即證：n-1n-1證明證明令令a=1,=1,b=-1=-1得得0) 11 () 1() 1(2n nn nr rn

10、n2 2n n1 1n n0 0n nC C. . . .C C. . . .C CC CC Cn 3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C1222 nn3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C特例法特例法賦值法賦值法011()CCCCnnnrn rrnnnnnna+baababb14121010101013579111111111111111._;_ .CCCCCCCCC 1021024 1021 1023 知識(shí)對(duì)接測(cè)查知識(shí)對(duì)接測(cè)查31511212322nnnnnnCCCnCn證證例例 求求分析分析: :本題的左邊是一個(gè)數(shù)列但不

11、能直接求和本題的左邊是一個(gè)數(shù)列但不能直接求和. .因?yàn)橐驗(yàn)?由此分析求解由此分析求解rnnrnnnnnnnCCCCCC110,01131023):(1nnnnnnnnnSCCCCnCnC 設(shè)設(shè)解解nnnnnnnnCCCnCnnCS0) 2() 1(1210兩式相加兩式相加)(21210nnnnnnnnCCCCCnSnn 212nnnS倒序相加法倒序相加法16 一般地，一般地， 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù) 有如下性質(zhì)：有如下性質(zhì)：nba)( （1 1）nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2） （3 3）當(dāng)）當(dāng) n n 為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)， （4 4）mnmnmnCCC11為最大值

12、2nnC 當(dāng)當(dāng) n n 為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí) ，為最大值2121nnnnCC11 - r2311r22010222nnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCC17nxx)2(34項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是倒數(shù)第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的數(shù)的7倍，求展開(kāi)式中倍，求展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)的一次項(xiàng)例例2 已知已知 的展開(kāi)式中，第的展開(kāi)式中，第18例例3、若若 展開(kāi)式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差展開(kāi)式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差 數(shù)列，求數(shù)列，求（1）展開(kāi)式中含）展開(kāi)式中含x的一次冪的項(xiàng)；的一次冪的項(xiàng)； （2）展開(kāi)式中所有展開(kāi)式中所有x 的有理項(xiàng)；的有理項(xiàng)； （3）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)。）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)。4

13、2 xn1( x+)解決系數(shù)最大問(wèn)題，通常設(shè)第解決系數(shù)最大問(wèn)題，通常設(shè)第 項(xiàng)是系數(shù)最項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng)，則有大的項(xiàng)，則有1r112rrrrTTTT由此確定由此確定r r的取值的取值19變式引申：變式引申： 1.1.求在求在 的展開(kāi)式中系數(shù)的展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值絕對(duì)值最大的項(xiàng)最大的項(xiàng) 20)23 (yx解：設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第解：設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第r+1r+1項(xiàng)，則項(xiàng)，則1211202020119120202023232323rrrrrrrrrrrrCCCCrrrr3)21( 2)20( 2) 1( 3542537r8r所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為時(shí)，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為8r81

14、2812820923yxCT20變式引申：變式引申：2、 的展開(kāi)式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是（的展開(kāi)式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是（ ）A.第第4項(xiàng)項(xiàng) B.第第4、5項(xiàng)項(xiàng) C.第第5項(xiàng)項(xiàng) D.第第3、4項(xiàng)項(xiàng)3、若、若 展開(kāi)式中的第展開(kāi)式中的第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則不項(xiàng)的系數(shù)最大，則不含含x的項(xiàng)等于的項(xiàng)等于( )A.210 B.120 C.461 D.4167()xy321()nxx21 418 444454 118313060TTCxxx 43110,nxx 3 3. .已已知知的的展展開(kāi)開(kāi)式式中中只只有有第第項(xiàng)項(xiàng)系系數(shù)數(shù)最最大大求求第第五五項(xiàng)項(xiàng)為偶數(shù)依題意 n,110182,.nn 且且解22(1)二項(xiàng)式系數(shù)的三個(gè)性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的三個(gè)性質(zhì) (2) 數(shù)學(xué)思想：函數(shù)思想數(shù)學(xué)思想：函數(shù)思想 a 單調(diào)性；單調(diào)性； b 圖象；圖象；c 最值。最值。 各各二二項(xiàng)項(xiàng)式式系系數(shù)數(shù)的的和和增增減減性性與與最最大大值值對(duì)對(duì)稱稱性性小結(jié)小結(jié)2324求展開(kāi)式中系數(shù)最大求展開(kāi)式中系數(shù)最大( (小小) )的項(xiàng)的項(xiàng)206.(23),x例 在的展開(kāi)式中 求其項(xiàng)的最大系數(shù)與最大二項(xiàng)式系數(shù)的比解解: :設(shè)設(shè) 項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng)項(xiàng)