1、費(fèi)馬點(diǎn)與費(fèi)馬定理（刁老師）一選擇題（共1小題）1如圖示，若ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足PAC=PBA=PCB，則點(diǎn)P為ABC的布洛卡點(diǎn)三角形的布洛卡點(diǎn)（Brocard point）是法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾（ALCrelle 17801855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意，1875年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者法國(guó)軍官布洛卡（Brocard 18451922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名問題：已知在等腰直角三角形DEF中，EDF=90°，若點(diǎn)Q為DEF的布洛卡點(diǎn)，DQ=1，則EQ+FQ=（）A5B4CD二填空題（共1小題）2已知點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂

2、點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermat point）已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的ABC中，當(dāng)APB=APC=BPC=120°時(shí)，P就是ABC的費(fèi)馬點(diǎn)若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF= 三解答題（共5小題）3如圖P是ABC所在平面上一點(diǎn)如果APB=BPC=CPA=120°，則點(diǎn)P就叫做費(fèi)馬點(diǎn)（1）當(dāng)ABC是等邊三角形時(shí)，作尺規(guī)法作出ABC費(fèi)馬點(diǎn)（不要求寫出作法，只要保留作圖痕跡）（2）已知：ABC是等腰直角三角形，C=90°，AC=BC=四邊形CDPE是正方形，CD在AC上，CE在BC上，P是ABC的費(fèi)

3、馬點(diǎn)求：P點(diǎn)到AB的距離（3）已知：銳角ABC，分別以AB，AC為邊向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)求CPD的度數(shù)；求證：P點(diǎn)為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)4如圖1，P是銳角ABC所在平面上一點(diǎn)如果APB=BPC=CPA=120°，則點(diǎn)P就叫做ABC費(fèi)馬點(diǎn)（1）當(dāng)ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P到BC邊的距離為 （2）若點(diǎn)P是ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，ABC=60°，PA=2，PC=3，則PB的值為 （3）如圖2，在銳角ABC外側(cè)作等邊ACB，連接BB求證：BB過ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P5如圖（1），P為ABC所在平面上一點(diǎn)，且APB=BPC=CPA=120°，則點(diǎn)P叫做A

4、BC的費(fèi)馬點(diǎn)（1）如點(diǎn)P為銳角ABC的費(fèi)馬點(diǎn)且ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的長(zhǎng)（2）如圖（2），在銳角ABC外側(cè)作等邊ACB連結(jié)BB求證：BB過ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB=PA+PB+PC（3）已知銳角ABC，ACB=60°，分別以三邊為邊向形外作等邊三角形ABD，BCE，ACF，請(qǐng)找出ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，并探究SABC與SABD的和，SBCE與SACF的和是否相等6探究問題：（1）閱讀理解：如圖（A），在已知ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為ABC的費(fèi)馬距離；如圖（B），若四邊形ABCD

5、的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，則有ABCD+BCDA=ACBD此為托勒密定理；（2）知識(shí)遷移：請(qǐng)你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖（C），已知點(diǎn)P為等邊ABC外接圓的上任意一點(diǎn)求證：PB+PC=PA；根據(jù)（2）的結(jié)論，我們有如下探尋ABC（其中A、B、C均小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：第一步：如圖（D），在ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊BCD及其外接圓；第二步：在上任取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD易知PA+PB+PC=PA+（PB+PC）=PA+ ；第三步：請(qǐng)你根據(jù)（1）中定義，在圖（D）中找出ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，并請(qǐng)指出線段 的長(zhǎng)度即為ABC的費(fèi)馬距離（3）知識(shí)應(yīng)用：2010年4月，我國(guó)西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來(lái)到云南某地打井取水已知三村莊A、B、C構(gòu)