1、1三、符號運算基礎(chǔ)MATLAB 不僅具有數(shù)值運算功能，還開發(fā)了實現(xiàn)符號計算的工具包Symbolic Math Toolbox符號運算的操作對象是非數(shù)值的符號對象2 符號數(shù)學工具箱中的工具是建立在功能強大的Maple的基礎(chǔ)上。 它最初是由加拿大的滑鐵盧(Waterloo)大學開發(fā)出來的。 如果要求Matlab進行符號運算，那么首先由Maple計算并將結(jié)果返回到Matlab命令窗口。3符號運算的功能 符號線性代數(shù)符號線性代數(shù) 因式分解、展開和簡化因式分解、展開和簡化 符號代數(shù)方程求解符號代數(shù)方程求解 符號微積分符號微積分 符號微分方程符號微分方程 支持可變精度運算支持可變精度運算 支持符號運算并能

2、以指定的精度返回結(jié)果支持符號運算并能以指定的精度返回結(jié)果4符號運算與數(shù)值運算的區(qū)別 符號運算使用字符串進行符號分析，而不是基于矩陣的數(shù)值分析 數(shù)值運算中必須先對變量賦值， 然后才能參與運算 符號運算無須事先對獨立變量賦值，運算結(jié)果以標準的符號形式表達 符號運算可以求解科學計算中數(shù)學問題的解析表達式精確解 符號運算速度較慢5基本概念 符號變量：預先不要求有確定值的量 符號表達式：代表數(shù)字、函數(shù)、算子和變量的Matlab字符串或字符串數(shù)組 符號方程：含有等號的符號表達式 符號矩陣：數(shù)組，其元素是符號表達式 符號算術(shù)：使用已知的規(guī)則和給定符號恒等式求解這些符號方程的實踐，它與代數(shù)和微積分中的求解方法

3、完全一樣61. 創(chuàng)建符號變量和符號表達式 MATLAB的符號工具箱提供了兩個建立符號對象的函數(shù)：sym和syms 函數(shù)sym的調(diào)用格式 符號變量名=sym(表達式) 注：函數(shù)sym可創(chuàng)建一個符號變量，表達式可以是字符、字符串、數(shù)學表達式或字符表達式等7 函數(shù)syms的調(diào)用格式syms 符號變量名1 符號變量名2 注： 函數(shù)syms可一次創(chuàng)建多個符號變量 用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符串分界符()，變量間用空格而不要用逗號分隔8 a=sym(MATLAB)a =MATLAB b=sym(3*x2+4*x+7)b =3*x2+4*x+7 syms c d e c=3xc =3x9 數(shù)

4、值矩陣A=1,2;3,4 A=a,b;c,d 不識別用matlab函數(shù)sym創(chuàng)建矩陣命令格式： A=sym( ) 符號矩陣內(nèi)容同數(shù)值矩陣需用sym指令定義需用單引號 標識注意與a,b;c,d的區(qū)別2. 符號矩陣的創(chuàng)建10 A = sym(a,2*b;3*a,0)A = a, 2*b 3*a, 0注：符號矩陣的每一行的兩端都有方括號，這是與 Matlab數(shù)值矩陣的一個重要區(qū)別。113. 符號常量 當數(shù)值常量作為sym( )的輸入?yún)⒘繒r，就建立了一個符號對象符號常量。 雖然看上去是一個數(shù)值量，但已經(jīng)是一個符號對象了。例：a=3/4; b=3/4; c=sym(3/4); d=sym(3/4); w

5、hos 查看變量類型a為實雙精度浮點數(shù)值類型；b為實字符類型；c和d都是符號對象類型。 12 當符號表達式具有多個變量時，只有一個變量是獨立變量，MATLAB將基于以下準則選擇獨立變量：小寫字母i和j不能作為自由變量 小寫字母x是首選符號變量其余小寫字母被選中的次序是：在英文字母中，靠近x的優(yōu)先，如果與x距離相同，則x之后的優(yōu)先 大寫字母比所有小寫字母都靠后4. 符號變量的確定13findsym(s, n): 按以下準則確定順序給出符號表達式s中的靠近x的n個符號變量根據(jù)變量的首字母排序，排序規(guī)則為 x y w z v u . a X Y W Z V U . A隨后的字母按字母順序排列，且大寫

6、字母比小寫字母優(yōu)先：0 1 . 9 A B . Z a b .zfindsym(s): 按字典順序給出符號表達式s中的所有符號變量14 syms a x y z t X1 x2 xa xb findsym(sin(pi*t)ans =t findsym(x+i*y-j*z) ans =x,y,z findsym(a+y,1)ans =y findsym(X1 + x2 + xa + xb)ans =X1,x2,xa,xb findsym(X1 + x2 + xa + xb,4)ans =x2,xa,xb,X115 符號表達式的運算與普通數(shù)值運算不同，它的運算結(jié)果是符號表達式或符號矩陣Matla

7、b6.5及以前的版本提供了很多函數(shù)用于符號計算，如symadd, symsub, symmul, symdiv, sympow等由于計算效率和計算精度不高，Matlab7.0及以后的版本已將其刪除，相應(yīng)的計算只需鍵入數(shù)學運算符+, -, *, /, 或4. 符號表達式的基本運算16例 計算表達式 與 表達式 的和、差、積、商與乘方31x 1x syms x s1=x3-1; s2=x-1; s1+s2ans =x3 + x - 2 s1-s2ans =x3 - x s1*s2ans =(x3 - 1)*(x - 1) s1/s2ans =(x3 - 1)/(x - 1) s1s2ans =(x

8、3 - 1)(x - 1)17復合函數(shù)compose(f,g)：返回復合函數(shù)f(g(y), 其中f=f(x), g=g(y). 其中符號x為函數(shù)f中由命令findsym(f)確定的符號變量,符號y為函數(shù)g中由命令findsym(g)確定的符號變量compose(f,g,z)：返回復合函數(shù)f(g(z)compose(f,g,x,z)：返回復合函數(shù)f(g(z), 將函數(shù)f中的自變量x用g(z)代替compose(f,g,x,y,z)：返回復合函數(shù)f(g(z), 將函數(shù)f中的自變量變量x用g(y)代替，然后用指定的變量z代替變量y18 syms x y z t u; f = 1/(1 + x2);

9、g = sin(y); h = xt; p = exp(-y/u); compose(f,g) ans =1/(sin(y)2 + 1) compose(f,g,t)ans =1/(sin(t)2 + 1) compose(h,g,x,z)ans =sin(z)t compose(h,g,t,z) ans =xsin(z) compose(h,p,x,y,z)ans =(1/exp(z/u)t compose(h,p,t,u,z)ans =x(1/exp(y/z)19反函數(shù)finverse(f)：返回函數(shù)f的反函數(shù)，其中f為單值的一元數(shù)學函數(shù)finverse(f,v) ：若符號函數(shù)f中有多個符

10、號變量時，對指定的符號變量v計算其反函數(shù)20例 求y=x2的反函數(shù) syms x; f=x2; g=finverse(f)Warning: finverse(x2) is not unique. In sym.finverse at 46g =x(1/2) compose(f,g)ans =x21例 求y=tex的反函數(shù) f=sym(t*ex)f =t*ex g=finverse(f) g =log(x/t)/log(e) g=finverse(f,t)g =t/ex22合并同類項collect (S,v)：合并多項式S中自變量v的同類項collect (S)：以findsym確定的變量合并多

11、項式S的同類項23 syms x f=(x3+x+1)*(x2+1)f =(x2 + 1)*(x3 + x + 1) collect(f)ans =x5 + 2*x3 + x2 + x + 1例 合并多項式 的同類項32(1)(1)xxx24例 合并多項式 的同類項2(1)()ttxxexe s=sym(x2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t); e1=collect(s) %合并關(guān)于x的同類項系數(shù)e1 =x3 + (2*x2)/exp(t) + (1/exp(2*t) + 1)*x + 1/exp(t) e2=collect(s,exp(-t) %合并關(guān)于exp(-t)的同類項系

12、數(shù)e2 =x*(x2 + 1) + x/exp(2*t) + (2*x2 + 1)/exp(t) e3=collect(s,t) %合并關(guān)于t的同類項系數(shù)e3 =(x + 1/exp(t)*(x2 + x/exp(t) + 1)25因式分解factor(s)：符號表達式s的因式分解horner(s)：符號表達式s的嵌套形式，即用多層括號的形式表示26例 分解因式 33xa syms x a; f=x3-a3f =x3 - a3 factor(f)ans =-(a - x)*(a2 + a*x + x2)27例 將符號矩陣表達式的各個元素分解為多個因式 33456111xbxxx syms x

13、b; f=x3+b3 x4-1; x5-1 x6-1f = b3 + x3, x4 - 1 x5 - 1, x6 - 1 factor(f)28例 將多項式表示為嵌套形式64325556xxxxx syms x; f=x6-x4-5*x3+5*x2+5*x-6f =x6 - x4 - 5*x3 + 5*x2 + 5*x - 6 horner(f)ans =x*(x*(x*(x*(x2 - 1) - 5) + 5) + 5) - 629例 將數(shù)字1025分解為正整數(shù)之積 factor(1025)ans = 5 5 41 factor(1025)? Error using = factor at

14、21N must be a scalar. factor(sym(1025)ans =52*4130其它一些函數(shù)expand(s)：符號表達式s的展開numden(s)：返回符號表達式s經(jīng)過分式通分后的分子和分母simplify(s)：利用各種形式的代數(shù)恒等式對符號表達式s進行化簡simple(s)：通過對符號表達式s嘗試多種不同的方法（包括simplify）進行化簡，以尋求符號表達式S的最簡形式double(s)：將符號表達式s轉(zhuǎn)換為雙精度浮點數(shù)31subs(s)：用工作空間中的變量替換符號表達式s中的所有變量subs(s, new)：用變量new替換符號表達式s中的自由變量subs(s,

15、old , new)：用變量new替換符號表達式S中的變量old當變量new是數(shù)值形式時，顯示的結(jié)果雖然是數(shù)值，但實際上是符號變量. 要強制求值, 需要用vpa或eval函數(shù)vpa(s, n)：將s表示為n位有效位數(shù)的符號對象digits(d)：設(shè)置當前的可變算術(shù)（vpa）精度的位數(shù)為整數(shù)d位. d=digits 返回當前的可變算術(shù)精度的位數(shù)給d32例 將以下矩陣各元素展開()22(2)ln()21sin()x yxex yxy syms x y; f=exp(x+y) log(x2*y2); 2(x+2)+1 sin(x+y)f = exp(x + y), log(x2*y2) 2(x +

16、2) + 1, sin(x + y) expand(f)ans = exp(x)*exp(y), log(x2*y2) 4*2x + 1, cos(x)*sin(y) + cos(y)*sin(x)33例 求出下列表達式的分子和分母 23261.16122.8fxfxxx syms x; f=6/x2f =6/x2 n d=numden(f)n =6d =x2 f=1/x3+6/x2+12/x+8f =12/x + 6/x2 + 1/x3 + 8 n d=numden(f)n =8*x3 + 12*x2 + 6*x + 1d =x334例 化簡22cossinxx syms x; f=sin(x)2+cos(x)2f =cos(x)2 + sin(x)2 syms x; f=sin(x)2+