1、.習(xí)題8-1 1. 判定下列平面點(diǎn)集中哪些是開(kāi)集、閉集、區(qū)域、有界集、無(wú)界集？并分別指出它們的聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集(稱為導(dǎo)集)和邊界. (1)(x, y)|x¹0, y¹0; 解 開(kāi)集, 無(wú)界集, 導(dǎo)集為R2, 邊界為 (x, y)|x=0或y=0. (2)(x, y)|1<x2+y2£4; 解 既非開(kāi)集, 又非閉集, 有界集, 導(dǎo)集為 (x, y)|1£x2+y2£4,邊界為 (x, y)|x2+y2=1或x2+y2=4. (3)(x, y)|y>x2; 解 開(kāi)集, 區(qū)域, 無(wú)界集, 導(dǎo)集為 (x, y)| y³x2, 邊界為

2、 (x, y)| y=x2. (4)(x, y)|x2+(y-1)2³1Ç(x, y)|x2+(y-2)2£4. 解 閉集, 有界集, 導(dǎo)集與集合本身相同, 邊界為 (x, y)|x2+(y-1)2=1È(x, y)|x2+(y-2)2=4. 2. 已知函數(shù), 試求f(tx, ty). 解 . 3. 試證函數(shù)F(x, y)=ln x×ln y滿足關(guān)系式: F(xy, uv)=F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v). 證明 F(xy, uv)=ln(x, y)×ln(uv) =(ln x+ln y)(ln u+l

3、n v) =ln x×ln u+ln x×ln v+ln y×ln u+ln y×ln v =F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v). 4. 已知函數(shù)f(u, v, w)=uw+wu+v, 試求f(x+y, x-y, xy). 解 f(x+y, x-y, xy)=(x+y)xy+(xy)(x+y)+(x-y)=(x+y)xy+(xy)2x. 5. 求下列各函數(shù)的定義域: (1)z =ln(y2-2x+1); 解 要使函數(shù)有意義, 必須 y2-2x+1>0, 故函數(shù)的定義域?yàn)?D=(x, y)|y2-2x+1>0. (2

4、); 解 要使函數(shù)有意義, 必須 x+y>0, x-y>0, 故函數(shù)的定義域?yàn)?D=(x, y)|x+y>0, x-y>0. (3); 解 要使函數(shù)有意義, 必須 y³0,即, 于是有 x³0且x2³y,故函數(shù)定義域?yàn)?D=(x, y)| x³0, y³0, x2³y. (4); 解 要使函數(shù)有意義, 必須 y-x>0, x³0, 1-x2-y2>0, 故函數(shù)的定義域?yàn)?D=(x, y)| y-x>0, x³0, x2+y2<1. (5)(R>r>0);

5、解 要使函數(shù)有意義, 必須 R2-x2-y2-z2³0且x2+y2+z2-r2>0, 故函數(shù)的定義域?yàn)?D=(x, y, z)| r2<x2+y2+z2£R2. (6). 解 要使函數(shù)有意義, 必須 x2+y2¹0, 且即z2£x2+y2, 故函數(shù)定義域?yàn)?D=(x, y, z)|z2£x2+y2, x2+y2¹0. 6. 求下列各極限: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6). 解 (用等價(jià)無(wú)窮小代換). 7. 證明下列極限不存在: (1); 證明 如果動(dòng)點(diǎn)p(x

6、, y)沿y=0趨向(0, 0), 則 ; 如果動(dòng)點(diǎn)p(x, y)沿x =0趨向(0, 0), 則 . 因此, 極限不存在. (2). 證明 如果動(dòng)點(diǎn)p(x, y)沿y=x 趨于(0, 0), 則 ; 如果動(dòng)點(diǎn)p(x, y)沿y =2x趨向(0, 0), 則 . 因此, 極限不存在. 8. 函數(shù)在何處間斷？ 解 因?yàn)楫?dāng)y2-2x=0時(shí), 函數(shù)無(wú)意義, 所以在y2 -2x=0處, 函數(shù)間斷. 9. 證明. 證明 因?yàn)? 所以 . 因此 . 方法二: 證明 因?yàn)? 故. 對(duì)于任意給定的e>0, 取d=2e, 當(dāng)時(shí)恒有 , 所以 . 10. 設(shè)F(x, y)=f(x), f(x)在x0處連續(xù), 證明: 對(duì)任意y0ÎR, F(x, y)在(x0, y0)處連續(xù). 證明 由題設(shè)知, f(x)在x0處連續(xù), 故對(duì)于任意給定的e>0, 取d>0, 當(dāng)|x-x0|<d時(shí), 有|f(x)-f(x0)|<e. 作(x0, y0)的鄰域U(x0, y0), d), 顯然當(dāng)(x, y)ÎU(x0, y0), d)時(shí), |x-x0|<d, 從而 |F(x, y