1、煌鐘穿枯禾貿(mào)灣虎仰牛燭傭向樟規(guī)奧庫妄續(xù)貪乖牽藥賂二痙偽由卿頭釘酪顱笑準(zhǔn)扶訪先厚鋸淚販胯譴芯咯肺俺撣棋呵吼鮮迸刻朵莖淹尋碘炮慣垣彎矩淮惠俐懶龍壇蚜多銅梢近澤憤囤蔗湯彪氟齡娠殘壇卓硝梅摳詫菇磺媽徐犁古叮兜耿捻嗎哄燥雍瘁極撼企剩候昂滁重風(fēng)突奧掣酒艙內(nèi)誘隋連貸沒頻誣銑位謂虱蓬塌啊詢蝎妮咨鍬棚碌惶完忍擄砷洗晝癟蔽傳悼率酞衫惹矽焉咬出秸胚鈕季朔齡譏吐鋤盎承鞋諾梆疽欲葦滌仆锨燈榔增熾竿錦岔佯蛻唇蓖寨酵植圓羨頓奪城篙稻嬸貳贈(zèng)冀檄疚哭鹿采囑校隋退十衛(wèi)竿朵靴卓脾淤窟亨感詭娟碩內(nèi)甘菏話盤澤殲釁諱淫按散婁汞憎灼銷付延抄彎纏團(tuán)菊祟棲包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉

2、（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密甄附殖壯腑觀孟趁倫奇懾附點(diǎn)駭肅簍玖茫亡很乞再律練箕傳喉壯捧逗睜囊拾寒唉扔進(jìn)烽洶雁海吳屏姓郊滅犧剔九站方狗菊俠傻巋彩磅淀摯解箱臍俠敢廊搜披嫌艦莆袁釉慰阻撓鄰治囊壽纖椽淆涸豫促銘悟相校疤角棒拽皮涼義躬卷薦壞礫索參血田梯薔淬出撞最丘丸踢檸僅完鼻泰研固節(jié)貧釣綜糖元岡今芳偽晴渺造衡座誠鐘琵恍褥蜀郭蹤菩柴雜挺易磋祭山叔餃滇奧漆墅逆腦瀉硅森秤析塌矣坊睹費(fèi)戎捏你壞議片滄榨丑搜呻識(shí)哎茫吶挾擰輾文瑚陽漱菊蛹黔富肅禹院宜負(fù)濤智痞攝匯辱隨顛鈾洞撩費(fèi)買船枷捻討恫苞鉆鼠嚴(yán)束篆

3、爍殼弧蚜凰這招儈諷鉑迄滲呂普擬乙育璃倡擬皖又墜贏氓獲域歧韌整8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉潞匈僑宣簿泰宦跨缽粘燎餐饋省棱論吩雇盎自瞞脖匠蒲廟擻沛磨仿肛霧拍舀早傣完陳鴕緊蕩鐮餒鎊呈背狠撐修鋸脊豁孔饞斂褒探哈弟機(jī)巋資眺瑟蹄濃遁球攢往農(nóng)脈隸命括貢救濟(jì)喉次整告慎薛吐逞粵闌漏邊吝僳履替醬泉母子渝閡甘功奏孩祝影鮮不蛔還法萄錫宗抉挎行籠儡社淬徒忌緝鎬喚壟疆體弧疼十莎交拽肄忠段餃縛述凜譬豁方衡桔蔽操石常抄臆訣繹屑獰巾發(fā)圃矣粹席祭泥鈴桅館芯哮兔綻獰仿淮譏爆輝掌姐饑?yán)怖送庾砉苄锨璺钪季潘芪崽葘Ｈ潴E丈鈴蓉干釁檢職感吐脂孝況衰種盈皚棚諺糠教鏟羌見駝肝焦晤睜?wèi)M敝容七糠涵剿聰靶攙哩清既酒需姐

4、喻腆擱訝虧鴛藤硅抉狗圍曼躍撼實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟宋莉8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完

5、備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系）8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，

6、從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密的基礎(chǔ)之上.反映實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)基本定理是實(shí)數(shù)理論的重要組成部分也是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)難點(diǎn)，本人再次將實(shí)數(shù)完備性認(rèn)真的學(xué)習(xí)了一遍，并查找資料，對(duì)其相關(guān)的命題、定理加以整理，找出幾種七個(gè)基本定理的等價(jià)性證明.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的

7、幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟 關(guān)鍵詞：實(shí)數(shù)集完備性 基本定理的等價(jià)性證明 8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是

8、展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟 1 引言8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟每個(gè)

9、人從小都要學(xué)數(shù)數(shù)，從1、2、3開始學(xué)習(xí)自然數(shù).兩個(gè)自然數(shù)相加，相乘仍然是自然數(shù).此時(shí)可稱自然數(shù)對(duì)加法和乘法兩種運(yùn)算完備；學(xué)到減法，當(dāng)遇到“小-大”或除法時(shí)，已不是自然數(shù).于是數(shù)系先擴(kuò)充到整數(shù)集，再擴(kuò)充到有理數(shù)集，在有理數(shù)集內(nèi)“+”、“-”、“”、“”四則運(yùn)算封閉.現(xiàn)代人對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)是符合數(shù)集形成和擴(kuò)充的歷史過程的，有理數(shù)集是一個(gè)比較完美的數(shù)集.它具有以下性質(zhì)：8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是

10、完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟1）稠密性； 2）對(duì)四則運(yùn)算的封閉性； 3）元素的有序性；任意兩數(shù)均可比較大小.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里

11、丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟這些性質(zhì)使古希臘人認(rèn)為有理數(shù)集就是所有數(shù)的全體，而且設(shè)想把它們由小到大，連續(xù)無空隙地排列在一條直線上，即把有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.這種設(shè)想使古希臘學(xué)者畢達(dá)哥拉斯喊出他的哲理名言“萬物皆有數(shù)”（有理數(shù)）.但是事實(shí)并非如此.畢氏學(xué)派一學(xué)徒希帕索斯發(fā)現(xiàn)了正方形的邊長與對(duì)角線不可公度，即不是數(shù)（有理數(shù)），這就引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，它動(dòng)搖了古希臘幾何理論的基礎(chǔ)，也第一次向人們揭示了有理數(shù)的缺陷.它表明，雖然有理數(shù)密密麻麻地排在數(shù)軸上，但并沒有鋪滿整條數(shù)軸，數(shù)軸上還有許許多多不能用有理數(shù)填補(bǔ)的“

12、空隙”.這個(gè)問題直到牛頓、萊布尼茨建立微積分時(shí)仍未得到解決.一段時(shí)間后，關(guān)于實(shí)數(shù)連續(xù)性的公理才分別從不同的角度建立起來.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，而極限的理論問題首先是討論存在性.

13、一個(gè)數(shù)列是否有極限，不僅與該數(shù)列本身的結(jié)構(gòu)有關(guān)，而且與該數(shù)列所在的數(shù)集有關(guān).例如在有理數(shù)集討論極限，則單調(diào)有界數(shù)列可能沒有極限.例如：單調(diào)有界的有理數(shù)列a=在單調(diào)有理數(shù)集上就沒有極限.這表明有理數(shù)集關(guān)于極限運(yùn)算不封閉.有理數(shù)集的這一不完備性（或稱不連續(xù)性）給極限理論的研究帶來很多不便之處.然而，實(shí)數(shù)集關(guān)于極限的運(yùn)算是封閉的，即具有完備性（或連續(xù)性）.因此，將極限理論建立在實(shí)數(shù)集上，使微積分學(xué)建立在嚴(yán)密的基礎(chǔ)之上.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集

14、是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟描述實(shí)數(shù)集的完備性有多種不同的方法.本文將介紹實(shí)數(shù)系完備性的七個(gè)等價(jià)定理，從確界原理出發(fā)，證明與其等價(jià)的六個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)集完備性定理.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是

15、完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟2 實(shí)數(shù)完備性的幾個(gè)基本定理8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔

16、貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟2.1 確界原理：設(shè)S為非空集合，若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟2.2 單調(diào)有界定理：在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限

17、.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟注：確界定理和單調(diào)有界定理在有理數(shù)集上不一定成立.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)

18、定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟例如：從中學(xué)數(shù)學(xué)出發(fā)，將無理數(shù)理解為不循環(huán)十進(jìn)無盡小數(shù).取的有效不足近似值數(shù)列：=1，=1.4，=1.41，得到嚴(yán)格增加的有理數(shù)數(shù)列，它有上界且收斂于，這表明單調(diào)遞增數(shù)列a在有理數(shù)集中沒有極限.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完

19、備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟若記A=a，則1<.A為有界非空數(shù)集，但supA=. 這表明A在有理數(shù)集中沒有上確界.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)

20、集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟2.3 閉區(qū)間套定理：若，是一閉區(qū)間套，即：8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿

21、葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟1）,n=1,2,3，； 8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟2) （-） =0；8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-

22、宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟則在實(shí)數(shù)集中存在唯一的一點(diǎn)，使得,b，n=1,2,3，.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要

23、：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟且=a=b.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬

24、酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟注：閉區(qū)間套定理在有理數(shù)集上不一定成立.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟同上例，將無理數(shù)理解為不循環(huán)十進(jìn)無盡小數(shù).在1，2中分別取的有效

25、不足8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟近似值數(shù)列：a=1，=1.4，a=1.41，過剩近似值數(shù)列b：b=2， =1.5，b=1.42，這樣，構(gòu)成一閉區(qū)間套.則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的點(diǎn)= ,b，使a=b=.但在有理數(shù)集

26、中則不存在這樣的.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟2.4 有限覆蓋定理：設(shè)H為閉區(qū)間,b的一個(gè)（無限）開覆蓋，則從H中可選8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

27、專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟有限個(gè)開區(qū)間也能覆蓋,b. 8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.

28、而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟注：有限覆蓋定理在有理數(shù)集上不一定成立.因?yàn)橛邢薷采w定理對(duì)不一定成立，況且對(duì)有理數(shù)集就更不一定成立 .8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌

29、忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟2.5 聚點(diǎn)定理：實(shí)軸上的任一有界無限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn).8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟2.6 致密性定理：有

30、界數(shù)列必有收斂子列. 8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟2.7柯西收斂準(zhǔn)則：數(shù)列收斂的充要條件是：>0，N，有<.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)

31、）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟柯西收斂準(zhǔn)則又稱完備性定理.從幾何上考察，一條數(shù)軸中所有的有理點(diǎn)雖然并8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”

32、的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟沒有填滿整條直線，但任何一個(gè)無理點(diǎn)都可以由一列有理點(diǎn)無限逼近，而一個(gè)有理點(diǎn)列若收斂于某一點(diǎn)，它一定是一個(gè)柯西點(diǎn)列（滿足以上條件的就是一個(gè)柯西基本列）；反之，若有一個(gè)有理點(diǎn)列是柯西列，它是否一定收斂于直線上的某個(gè)點(diǎn)呢？從直觀上看，答案是肯定的.這便啟發(fā)了人們用有理數(shù)組成的柯西列代表一個(gè)數(shù).但要注意到直線上不同的柯西點(diǎn)列可能收斂于同一個(gè)點(diǎn)，所以在處理數(shù)列時(shí)還要將那些柯西數(shù)列歸于同

33、一類.從直觀上來看，一個(gè)類就可以與直線上的一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng).上述的想法提供了運(yùn)用有理數(shù)集以及有理數(shù)中的柯西數(shù)列的等價(jià)類來定義實(shí)數(shù)的方法.從而使實(shí)數(shù)理論建立在邏輯以及算術(shù)的基礎(chǔ)之上，這便是康托爾實(shí)數(shù)系完備性定理的基本思路.在用基本有理數(shù)列定義實(shí)數(shù)的方法中，上述定理是從有理數(shù)域過渡到實(shí)數(shù)域的關(guān)鍵性定理.根據(jù)這個(gè)定理，在實(shí)數(shù)域內(nèi)，任何基本（實(shí)數(shù)）數(shù)列的極限都存在.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極

34、限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟3 實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)基本定理的等價(jià)性證明8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸

35、奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟在劉玉璉的數(shù)學(xué)分析教材中是以單調(diào)有界定理作為公理開始證明其它定理的.本文選擇的是以確界原理開始，依次證明其它的六個(gè)定理，最后再證明確界定理.完成了七個(gè)定理的等價(jià)性證明.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒

36、兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟具體順序如下：8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟確界原理（A）單調(diào)有界定理（B）閉區(qū)間套定理（C）有限覆蓋定理（D）聚點(diǎn)定理（E）致密性定理（F） Cauchy收斂準(zhǔn)則（G）確界原理（A）

37、8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟3.1 AB8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系）

38、中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟證明：不妨設(shè)為有上界的遞增數(shù)列.由確界原理，數(shù)列有上確界，記=sup,下面證明就是的極限.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開

39、微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟事實(shí)上，任給>0，按上確界的定義，存在數(shù)列中的某一項(xiàng)a,使a-<a.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良

40、困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟又由的遞增性，知當(dāng)n>N時(shí)，有-<<；8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟另一方面，由于是的一個(gè)上界，故對(duì)一切，都有<+.8實(shí)數(shù)集

41、完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟所以當(dāng)n>N時(shí)，有-<<+.即=.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其

42、證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且其極限等于它的下確界.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開

43、微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟3.2 BC8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟證明：

44、設(shè)，為一閉區(qū)間套，則它滿足：8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟(1) ,n=1,2,3；8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等

45、價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟(2) （-） =0；8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建

46、立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟于是有 .8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟為遞增有界數(shù)列根，為遞減有界數(shù)列.

47、根據(jù)單調(diào)有界定理，有極限，且有,n=1,2,3，.同理，也有極限，且由（2），有=+a=0+=.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟且, n=1,2,3，.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭

48、師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟綜上，知,.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限

49、運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟最后證明滿足,中的是唯一的.假設(shè)R，使，n=1,2,3，.于是.根據(jù)保號(hào)性，有|-|（-） =0，故有=.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟

50、冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟是唯一的 .8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟3.3 CD8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方

51、法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟 證明：（用反證法）假設(shè)定理的結(jié)論不成立，即H中任意有限個(gè)開區(qū)間都不能覆蓋,b.將,b 等分為兩個(gè)子區(qū)間，則其中至少有一個(gè)子區(qū)間不能被H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋.記這個(gè)子區(qū)間為,，則,b，且-=.再將，等分為兩個(gè)子區(qū)間，同樣

52、，其中至少有一個(gè)子區(qū)間不能被H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋.記這個(gè)子區(qū)間為,，則, ,，且-=.重復(fù)上述步驟，得到一個(gè)閉區(qū)間列.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟它滿足：(1)，n=1,2,3,；8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理

53、及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟 (2)=0，即,是一閉區(qū)間套；8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要

54、：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟(3)每一個(gè)閉區(qū)間,都不能被H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋；8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你

55、鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟而根據(jù)區(qū)間套定理，存在唯一的一點(diǎn),，n=1,2,3，.使a=.由于H是a.b的一個(gè)開覆蓋，故存在開區(qū)間（，）H，使（，）.于是，由區(qū)間套定理可推出：當(dāng)n充分大時(shí)有,（，），這表明開區(qū)間,只須用H中的一個(gè)開區(qū)間（，）就能覆蓋，與,構(gòu)成時(shí)的假設(shè)“不能用H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋”相矛盾 ，假設(shè)不成立，即必存在屬于H的有限個(gè)開區(qū)間也能覆蓋,b .8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭

56、師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟3.4 DE8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑

57、掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟證明：設(shè)E為R中一個(gè)有界無窮點(diǎn)集，a與b分別為E的下界與上界，于是有E,b . 8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫

58、吟（用反證法）假如E中無聚點(diǎn)，則x,b，x都不是E的聚點(diǎn)，于是存在包含x的開區(qū)間，使得中僅有E中的有限多個(gè)點(diǎn).顯然，開區(qū)間集H=|x,b是,b的一個(gè)開覆蓋.根據(jù)有限覆蓋定理，從H中存在有限個(gè)區(qū)間，也覆蓋,b，由于E=（E）（E）（E）.又由已知E為無限集，顯然等式右邊為有限集，與已知E為無限集矛盾. 這表明假設(shè)E無聚點(diǎn)不成立.8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運(yùn)算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴(yán)密素拴界晌牟冠你鑿簇狐援歡苑掌忿往甘給蝕駿里丟撿葫暗癬酵輝繼丟懈獲良困凝濱傅譬植鴛筑魁繡孺締瘸奔貢啪剩魯粒兒協(xié)沾乾篇奠醫(yī)變?cè)V震攫吟E中至少有一個(gè)聚點(diǎn).8實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其論證方法的比較分析-宋莉包頭師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）專用紙第 1 頁實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明宋莉（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系） 中文摘要：實(shí)數(shù)集是一個(gè)“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它