1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題:與極值（點(diǎn)）有關(guān)的證明問(wèn)題 例1 設(shè)函數(shù) (1)討論函數(shù)的單調(diào)性； (2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證： 例2 設(shè)函數(shù)，且存在兩個(gè)極值點(diǎn)，其中 (1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)證明不等式： 例3 已知函數(shù) (1)若函數(shù)存在與直線平行的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (2)設(shè)，若有極大值點(diǎn)，求證： 例4 設(shè)函數(shù), (1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求的取值范圍； (2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且.求證 例5 已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn) (1)求實(shí)數(shù)的取值范圍； (2)記兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍 例6 已知函數(shù) (1)若，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值

2、范圍； (2)若，求在區(qū)間上的最小值； (3)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：. 例7 已知函數(shù)，其中. (1)若，和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：. 例8 已知函數(shù)， . (1)若和在有相同的單調(diào)區(qū)間，求的取值范圍； (2)令（），若在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn) （i）求的取值范圍； （ii）設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，證明： 例9 已知函數(shù)， (1)若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明： 例10 設(shè)函數(shù)，且存在兩個(gè)極值點(diǎn)、，其中 (1)求實(shí)數(shù)的取值范圍； (2)求的最小值； (3)證明不等式：練習(xí)題 1已

3、知函數(shù), (1)求函數(shù) 的極值； (2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的值； (3)設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)、(),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并證明 2已知函數(shù)f (x)alnxx2ax (a為常數(shù)) (1)試討論f (x)的單調(diào)性； (2)若f (x)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為、，不等式f (x1)f (x2) (x1x2)恒成立，求的最小值 3 已知 ()當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的所有零點(diǎn)； ()若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). 4已知函數(shù)上有兩個(gè)極值點(diǎn)且 (1)求實(shí)數(shù)的取值范圍； (2)證明：5已知函數(shù) (1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并給予證明； (2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明： 6 已知函數(shù)(其中為常數(shù)) (1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)

4、的單調(diào)區(qū)間； (2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的個(gè)極值點(diǎn)為，且.證明：. 7已知,其中.(1)若與的圖像在交點(diǎn)處的切線互相垂直,求的值；(2)若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),和是的兩個(gè)零點(diǎn),且 ，,求的值；(3) 當(dāng)時(shí),若,是的兩個(gè)極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),求證:.8(2018·湖南長(zhǎng)沙一模)設(shè)函數(shù)f(x)x22x1aln x有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1x2，則f(x2)的取值范圍是()A. B. C. D.9已知函數(shù)，(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))()當(dāng)x0，)時(shí)，求的最小值；()若函數(shù)恰有兩個(gè)不同極值點(diǎn)、求的取值范圍；求證：10已知函數(shù)（），其中無(wú)理數(shù)(1)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍(2)若函數(shù)的極值點(diǎn)有三個(gè)，最小

5、的記為，最大的記為，若的最大值為，求的最小值專題 與極值（點(diǎn)）有關(guān)的證明問(wèn)題答案例1 解：（）函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，則當(dāng)時(shí)，,，從而，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，,的兩個(gè)根為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，,此時(shí)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增;當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減綜上: 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增; 在區(qū)間函數(shù)單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減,函數(shù)單調(diào)遞增（）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí), ,且 即, 令 ,令,函數(shù)單調(diào)遞增; 令,函數(shù)單調(diào)遞減; ,例2 解：（）由題意，函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，關(guān)于的方程，即在內(nèi)有兩個(gè)不相等實(shí)根令，則解得所以，實(shí)數(shù)的取值范圍（）由（）知 ，令，則，且

6、，令，則-，即在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，即，所以，例3（1）因?yàn)橐驗(yàn)楹瘮?shù)存在與直線平行的切線，所以在上有解即在上有解，也即在上有解，所以，得故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是（2）因?yàn)橐驗(yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意當(dāng)或時(shí)，令，設(shè)的兩根為和，因?yàn)闉楹瘮?shù)的極大值點(diǎn)，所以，又，所以，所以，則要證明，只需要證明因?yàn)?，令，所以，記，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以所以在上單調(diào)遞減，所以，原題得證例4 (1)根據(jù)題意知:在上恒成立.即在區(qū)間恒成立.在區(qū)間上的最大值為,;經(jīng)檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),滿足要求,故. (2)由函數(shù)定義域?yàn)?函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),所以即在上有兩個(gè)不等式的實(shí)根,則解得因?yàn)榍?所以,.所以, 令,則,令,則.因

7、為,所以存在,使得.所以在上遞減,在上遞增.又,所以,對(duì)任意, 都有,即, 9分所以在上單調(diào)遞減.故,即.例5.解：（）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+），方程f（x）=0在（0，+）有兩個(gè)不同根； 即方程lnxax=0在（0，+）有兩個(gè)不同根； （解法一）轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)， 如右圖 可見(jiàn)，若令過(guò)原點(diǎn)且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0ak 令切點(diǎn)A（x0，lnx0）， 故，又，故，解得，x0=e， 故， 故4分（解法二）轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)y=a的圖象在（0，+）上有兩個(gè)不同交點(diǎn) 又， 即0xe時(shí)，g（x）0，xe時(shí)，g（x）

8、0， 故g（x）在（0，e）上單調(diào)增，在（e，+）上單調(diào)減 故g（x）極大=g（e）=； 又g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1，且在x0時(shí)，g（x），在在x+時(shí)，g（x）0， 故g（x）的草圖如右圖， 可見(jiàn)，要想函數(shù)與函數(shù)y=a的圖象在（0，+）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)， 只須 4分（解法三）令g（x）=lnxax，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)， 而（x0）， 若a0，可見(jiàn)g（x）0在（0，+）上恒成立，所以g（x）在（0，+）單調(diào)增， 此時(shí)g（x）不可能有兩個(gè)不同零點(diǎn) 若a0，在時(shí)，g（x）0，在時(shí)，g（x）0， 所以g（x）在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，從而=， 又因?yàn)樵趚0時(shí)，g（x），在在x+時(shí)，

9、g（x）， 于是只須：g（x）極大0，即，所以 綜上所述， （）因?yàn)榈葍r(jià)于1+lnx1+lnx2 由（）可知x1，x2分別是方程lnxax=0的兩個(gè)根， 即lnx1=ax1，lnx2=ax2 所以原式等價(jià)于1+ax1+ax2=a（x1+x2），因?yàn)?，0x1x2， 所以原式等價(jià)于 又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，即 所以原式等價(jià)于， 因?yàn)?x1x2，原式恒成立，即恒成立 令，t（0，1）， 則不等式在t（0，1）上恒成立 令， 又=， 當(dāng)21時(shí)，可見(jiàn)t（0，1）時(shí)，h（t）0， 所以h（t）在t（0，1）上單調(diào)增，又h（1）=0，h（t）0在t（0，1）恒成立，符合題意 當(dāng)21時(shí)

10、，可見(jiàn)t（0，2）時(shí)，h（t）0，t（2，1）時(shí)h（t）0， 所以h（t）在t（0，2）時(shí)單調(diào)增，在t（2，1）時(shí)單調(diào)減，又h（1）=0， 所以h（t）在t（0，1）上不能恒小于0，不符合題意，舍去 綜上所述，若不等式恒成立，只須21，又0，所以1例6 （1）由x>0,恒有成立，即對(duì)任意x>0成立，1分記H（x）=, H/（x）=，當(dāng)H(x)單增；當(dāng)H(x)單減；H（x）最大值為， 所以（2）函數(shù)有兩個(gè)相異的極值點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根；當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；，不妨設(shè)，先證，即證，即證，令，即證，設(shè)，則，函數(shù)在單調(diào)遞減，又，

11、例7.（1）解：，在上恒成立，即在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得.的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，解得， 綜上，的取值范圍是.（2）證明：，.，且，.設(shè)，即.例8.解：（）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， .所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增若在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則（）（i）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以方程在有兩個(gè)不同根即方程在有兩個(gè)不同根，轉(zhuǎn)化為，函數(shù)與函數(shù)的圖象在有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖可見(jiàn)，若令過(guò)原點(diǎn)且切于函數(shù)圖象的直線斜率為，只需.令切點(diǎn)，所以，又，所以，解得，于是，所以.（ii）由（i）可知，分別是方程的兩個(gè)根，即，不妨設(shè)，作

12、差得，即，原不等式等價(jià)于，即，即，令，則，即，設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即不等式成立，故所證不等式成立 例9.解：（）函數(shù)的定義域?yàn)?，由題意，若，即，則恒成立，則在上為單調(diào)減函數(shù)；若，即，方程的兩根為，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)單調(diào)遞增，不符合題意綜上，若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，即在有兩個(gè)不等的實(shí)根，于是，且滿足，同理可得令，又時(shí)，則在上單調(diào)遞增，所以，即，得證 例10 解:（）由題： 存在兩個(gè)極值點(diǎn)、，其中 .關(guān)于的方程即在區(qū)間內(nèi)有不等兩實(shí)根。令 、 ，則由圖像可得 實(shí)數(shù)的取值范圍是 （）由（）知， 由得 當(dāng) 時(shí)

13、， ，即在單調(diào)遞減；當(dāng) 時(shí)， ，即在單調(diào)遞增 （）由（）知， 令 ，則且 令 ，則 即在(0，1)上是減函數(shù) 在上是增函數(shù)，即（）另證：記，則當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，練習(xí)題 1、解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，G（x）的極小值為0.（2）令，則 所以即恒成立的必要條件是， 又，由得： 當(dāng)時(shí)，知，故，即恒成立 （3）由，得 有兩個(gè)極值點(diǎn)、等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等的正根，即：， 解得 由，得，其中.所以 設(shè)，得，所以，即 2.解：（）f(x)xa (x>0)，當(dāng)a0時(shí)，解f(x)0得，x, f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0，,單調(diào)增區(qū)間為(，+)； 當(dāng)0a4時(shí)，x2axa0的a24a0，所以f(x)0，f(x

14、)的增區(qū)間為(0,+),無(wú)減區(qū)間； 當(dāng)a4時(shí)，a24a0，解f(x)0得，x1,2,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，, (，+)，單調(diào)減區(qū)間為(，).（）由（）可知f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，設(shè)為x1，x2，則 a4，x1x2a ,x1x2a故f(x1)f(x2)alnx1xa x1alnx2xax2aln(x1x2)(xx)a(x1x2)aln(x1x2) (x1x2)2x1x2a(x1x2)a于是lnaa1，a. 令(a)lnaa1，則(a).因?yàn)閍>4，所以(a) 0.于是(a)lnaa1在上單調(diào)遞減因此(a) (4)ln43. 且可無(wú)限接近ln43.又因?yàn)閤1x2>0，故不等式f

15、(x1)f (x2) (x1x2)等價(jià)于.所以的最小值為ln43. 3.解：()當(dāng)時(shí)， .設(shè)，則，于是在上為增函數(shù). 又，所以，有唯一零點(diǎn). 從而，函數(shù)有唯一零點(diǎn). () 欲證，需證若有兩個(gè)極值點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). 又，所以，是方程的兩個(gè)不同實(shí)根.于是，有.解之得，.另一方面，由得，從而可得，.6分于是，.又，設(shè)，則.因此，要證即證：，.即：當(dāng)時(shí)，有.設(shè)函數(shù)，則,所以，為上的增函數(shù).注意到，.因此，.于是，當(dāng)時(shí)，有.所以，有成立，即.4.5.解：（）時(shí)，易知從而為單調(diào)減函數(shù)分（）有兩個(gè)極值點(diǎn)，即有兩個(gè)實(shí)根，所以，得，得6分又，所以8分，得10分， 12分另解：由兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞減且

16、，不能滿足條件當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞減且當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞增且，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以由兩個(gè)實(shí)根需要即即，從而可以構(gòu)造函數(shù)解決不等式的證明有兩個(gè)實(shí)根，不是根，所以由兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞減且，不能滿足條件當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞減且當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞增且，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以由兩個(gè)實(shí)根需要即即，從而可以構(gòu)造函數(shù)解決不等式的證明6.()求導(dǎo)得：. 令可得.列表如下:-0+減減極小值增單調(diào)減區(qū)間為,;增區(qū)間為. -4分()由題，對(duì)于函數(shù)，有函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，從而，所以，當(dāng)時(shí)， 函數(shù)的遞增區(qū)間有和，遞減區(qū)間有，此時(shí)，函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，且；當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，-6分7.【答案

17、】(1),由題知,即 解得 (2)=, 由題知,即 解得,= ,由,解得;由,解得在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減, 故至多有兩個(gè)零點(diǎn),其中,又>=0,=6(-1)>0,=6(-2)<0 ，(3,4),故=3 (3)當(dāng)時(shí),=, , 由題知=0在(0,+)上有兩個(gè)不同根,則<0且-2,此時(shí)=0的兩根為,1, 由題知|-1|>1,則+1>1,+4>0 又<0,<-4,此時(shí)->1 則與隨的變化情況如下表: (0,1)1(1, -)-(-,+)-0+0-極小值極大值|-|=極大值-極小值=F(-)F(1)=)+1, 設(shè),則,在(,4)上是增函數(shù),&l

18、t; 從而在(,4)上是減函數(shù),>=3-4 所以. 8D考向2由已知得f(x)的定義域?yàn)閤0，且f(x).f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，x1，x2是方程2x22xa0的兩根又0x1x2，且x1x21，x21，a2x22x，f(x2)(x21)2(2x22x)ln x2，令g(t)(t1)2(2t2t2)·ln t，則g(t)2(12t)ln t0，故g(t)單調(diào)遞增gg(t)g(1)，而g，g(1)0，所以f(x2)，選D.9【解析】()g(x)ex2x，(g(x)ex2，x0，)，所以g(x)在0，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增，g(x)ming(ln 2)2(1ln 2)>0，(2分)即x0，)時(shí)，恒有g(shù)(x)ex2x>0，故g(x)在0，)上單調(diào)遞增，g(x)ming(0)1.(4分)()f(x)2axln x，要f(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于h(x)2axln x在(0，)上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)h(x)2a，(5分)當(dāng)a0時(shí)，h(x)<0在(0，)恒成立，h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，不合